山东省威海市中考数学试卷解析版

2 0 1 6
年 山 东 省 威 海 市 中 考 数 学 试 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分
1．﹣ 的相反数是（
）
A ． 3
B ．﹣ 3
C ．
D ．﹣
2 ．函数 y=
的自变量 x 的取值范围是（ ）
A ． x ≥﹣ 2
B ． x ≥﹣ 2 且 x ≠0
C ． x ≠0
D ． x ＞ 0 且 x ≠﹣ 2
3 ．如图， AB ∥ CD ， DA ⊥ AC ，垂足为 A ，若∠ ADC=35°，则∠ 1 的度数为（
）
A ． 65 °
B ． 55 °
C ． 45 °
D ． 35 ° 4 ．以下运算正确的选项
是（
）
A ． x 3+x 2=x
5 B ． a 3?a 4=a 12
﹣2
3 2 5 3
?（﹣ xy ） C ．（﹣ x ） ÷x =1 D ．（﹣ xy ）
=﹣ xy
5 ．已知 x ， x 是对于 x 的方程 x 2
+ax ﹣ 2b=0 的两实数根，且
x +x =﹣ 2， x ?x =1，则 b
a
的值是（
）
1
2
1 2 1 2
A ．
B ．﹣
C ． 4
D ．﹣ 1
6．一个几何体由几个大小同样的小正方体搭成，其左视图和俯视图以下图，则搭成这个几何体的小正方体 的个数是（
）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
7．若 x 2﹣ 3y ﹣ 5=0，则 6y ﹣ 2x 2
﹣ 6 的值为（ ）
A ． 4
B ．﹣ 4
C ．16
D ．﹣ 16
8．实数 a ， b 在数轴上的地点以下图，则 |a| ﹣ |b| 可化简为（
）
A ． a ﹣ b
B ． b ﹣ a
C ． a+b
D ．﹣ a ﹣ b
9．某电脑企业销售部为了定制下个月的销售计划，对
20 位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所
示的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的均匀数、中位数、众数分别是（
）
A ． 19， 20， 14
B ． 19， 20 ， 20
C ． 18.4 ， 20， 20
D ． 18.4 ， 25， 20
10．如图，在 △ ABC 中，∠ B=∠ C=36°， AB 的垂直均分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 H ， AC 的垂直均分线交 BC
于点 E ，交 AC 于点 G ，连结 AD ， AE ，则以下结论错误的选项是（ ）
A ．
=
B ． AD ， AE 将∠ BA
C 三均分
C ． △ ABE ≌△ AC
D D ． S △ADH =S △ CEG
11．已知二次函数
y=﹣（ x ﹣ a ） 2
﹣ b 的图象以下图，则反比率函数
y=
与一次函数 y=ax+b 的图象可能是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在矩形CF ，则
ABCD 中， AB=4， BC=6，
点 CF 的长为（
E 为
BC 的中点，将 △ ABE 沿
AE 折叠，使点
B 落在矩形内点
F
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共18 分
13 ．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为 0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为．
14．化简：=．
15．分解因式：（ 2a+b）2
﹣（ a+2b）
2
=．
16．如图，正方形ABCD 内接于⊙ O，其边长为4，则⊙ O 的内接正三角形 EFG的边长为．17．如图，直线y=x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，△ BOC与△ B′ O′是C以′点 A 为位似中心的位似图形，
且相像比为 1： 3，则点 B 的对应点 B′的坐标为．
18．如图，点 A的坐标为（1， 0）， A在 y 轴的正半轴上，且∠A A O=30°，过点 A作 A A⊥ A A ，垂足为121222312
A ，交 x 轴于点 A ；过点 A作 A A ⊥ A A，垂足为 A ，交 y 轴于点 A ；过点 A 作 A A⊥ A A，垂足为 A ，233342334445344交 x 轴于点 A；过点 A 作 A A ⊥ A A，垂足为 A ，交 y 轴于点 A ；按此规律进行下去，则点A的纵坐555645562016
标为．
三、解答题：本大题共7 小题，共66 分
19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数同样，甲班有48 人达标，乙班有45 人达标，甲班的达
标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
21．一个盒子里有标号分别为1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个小球，这些小球除标号数字外都同样．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒
里，充足摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或
同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说
明这个游戏对甲、乙两人能否公正．
22．如图，在△ BCE中，点A 时边 BE 上一点，以
⊙ O 的交点，连结AF．
AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点D， AD∥ OC，点 F 为OC 与（1）求证： CB 是⊙ O 的切线；
（2）若∠ ECB=60°， AB=6，求图中暗影部分的面积．
23．如图，反比率函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A， B 两点，点 A 的坐标为（2， 6），点B 的坐标为（n， 1）．
（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；
（ 2）点 E 为 y 轴上一个动点，若S=5，求点 E 的坐标．
△ AEB
24．如图，在△ ABC和△ BCD中，∠ BAC=∠ BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延伸CA 至点 E，使 AE=AC；延伸CB至
点F，使 BF=BC．连结 AD， AF， DF， EF．延伸 DB 交 EF 于点 N．
（ 1）求证： AD=AF；
（ 2）求证： BD=EF；
（ 3）试判断四边形 ABNE 的形状，并说明原因．
25．如图，抛物线
2
y=ax +bx+c 的图象经过点A（﹣ 2， 0），点B（4， 0），点D（ 2， 4），与y 轴交于点C，
作直线BC，连结AC， CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2） E 是抛物线上的点，求知足∠ECD=∠ ACO 的点 E 的坐标；
（ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点
C ， M ， N ，
P 为极点的四边形是菱形，求菱形的边长．
2016 年山东省威海市中考数学试卷
参照答案与试题分析
一、选择题：本大题共
12 小题，每题 3 分，共 36 分
1．﹣ 的相反数是（ ）
A ． 3
B ．﹣ 3
C ．
D ．﹣
【考点】 相反数．
【剖析】 一个数的相反数就是在这个数前方添上 “﹣ ”号．
【解答】 解：﹣ 的相反数是
，
应选 C
2．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A ． x ≥﹣ 2
B ． x ≥﹣ 2 且 x ≠0
C ． x ≠0
D ． x ＞ 0 且 x ≠﹣ 2 【考点】 函数自变量的取值范围． 【剖析】 依据被开方数大于等于
0，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【解答】 解：由题意得， x+2≥0且 x ≠0， 解得 x ≥﹣ 2 且 x ≠0，
应选： B ．
3．如图， AB ∥ CD ， DA ⊥ AC ，垂足为 A ，若∠ ADC=35°，则∠ 1 的度数为（ ）
A ． 65 °
B ． 55 °
C ． 45 °
D ． 35 ° 【考点】 平行线的性质．
【剖析】 利用已知条件易求∠ ACD 的度数，再依据两线平行同位角相等即可求出∠
1 的度数．
【解答】 解：
∵ DA ⊥ AC ，垂足为 A ，
∴∠ CAD=90°，
∵∠ ADC=35°，
∴∠ ACD=55°，
∵ AB ∥ CD ，
∴∠ 1=∠ ACD=55°，
应选 B ．
4．以下运算正确的选项是（
）
A ． x 3+x 2=x
5
B ． a 3?a 4=a
12
﹣2
3 2
5
3
C ．（﹣ x ） ÷x =1
D ．（﹣ xy ） ?（﹣ xy ）
=﹣ xy
【考点】 整式的混淆运算；负整数指数幂． 【剖析】 A 、原式不可以归并，即可作出判断；
B 、原式利用同底数幂的乘法法例计算获得结果，即可作出判断；
C 、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法例计算获得结果，即可作出判断；
D 、原式利用同底数幂的乘法法例计算获得结果，即可作出判断．
【解答】 解： A 、原式不可以归并，错误；
7
6 5
C 、原式 =x ÷x =x ，错误；
D 、原式 =﹣ xy ，正确． 应选 D ．
5．已知 x ， x 是对于 x 的方程 x 2
+ax ﹣ 2b=0 的两实数根，且
x +x =﹣ 2， x ?x =1，则 b
a
的值是（
）
1
2
1 2
1
2
A ．
B ．﹣
C ． 4
D ．﹣ 1
【考点】 根与系数的关系．
【剖析】 依据根与系数的关系和已知x
+x 和 x ?x 的值，可求 a 、 b 的值，再代入求值即可．
1
2
1
2
【解答】 解：∵ x 1， x 2 是对于 x 的方程 x 2
+ax ﹣ 2b=0 的两实数根，
∴ x
1+x 2=﹣ a=﹣ 2， x 1?x 2 =﹣ 2b=1 ，
解得 a=2， b=﹣ ，
∴ b a =（﹣ ） 2
= ．
应选： A ．
6．一个几何体由几个大小同样的小正方体搭成，其左视图和俯视图以下图，则搭成这个几何体的小正方体 的个数是（
）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
【考点】 由三视图判断几何体．
【剖析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层立方体的个数，
相加即可．
【解答】 解：由题中所给出的俯视图知，基层有 3 个小正方体；
由左视图可知，第 2 层有 1 个小正方体．
故则搭成这个几何体的小正方体的个数是 3+1=4 个．
应选： B ．
7．若 x 2﹣ 3y ﹣ 5=0，则 6y ﹣ 2x 2
﹣ 6 的值为（ ）
A ． 4
B ．﹣ 4
C ．16
D ．﹣ 16
【考点】 代数式求值．
2
【剖析】 把（ x ﹣ 3y ）看作一个整体并求出其值，而后辈入代数式进行计算即可得解．
2
【解答】 解：∵ x ﹣ 3y ﹣ 5=0，
∴ x 2
﹣ 3y=5，
则 6y ﹣ 2x 2﹣ 6=﹣ 2（ x 2
﹣ 3y ）﹣ 6
=﹣2×5﹣ 6 =﹣16 ， 应选： D ．
8．实数 a ， b 在数轴上的地点以下图，则 |a| ﹣ |b| 可化简为（
）
A ． a ﹣ b
B ． b ﹣ a
C ． a+b
D ．﹣ a ﹣ b
【考点】 实数与数轴．
【剖析】 依据数轴能够判断
a 、
b 的正负，从而能够化简 |a| ﹣ |b| ，此题得以解决．
【解答】 解：由数轴可得： a ＞ 0， b ＜ 0，
则 |a| ﹣ |b|=a ﹣（﹣ b ） =a+b ．
应选 C ．
9．某电脑企业销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成以下图的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的均匀数、中位数、众数分别是（ ）
A ． 19， 20， 14
B ． 19， 20 ， 20
C ． 18.4 ， 20， 20
D ． 18.4 ， 25， 20
【考点】 众数；扇形统计图；加权均匀数；中位数．
【剖析】依据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再依据均匀数、中位数和众数的定义分别进行
求解即可．
【解答】 解：依据题意得：
销售 20 台的人数是： 20×40%=8（人），
销售 30 台的人数是： 20×15%=3（人），
销售 12 台的人数是： 20×20%=4（人），
销售 14 台的人数是： 20×25%=5（人），
则这 20 位销售人员本月销售量的均匀数是
=18.4（台）；
把这些数从小到大摆列，最中间的数是第 10、 11 个数的均匀数，
则中位数是
=20（台）；
∵销售 20 台的人数最多，
∴这组数据的众数是 20．
应选 C ．
10．如图，在 △ ABC 中，∠ B=∠ C=36°， AB 的垂直均分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 H ， AC 的垂直均分线交 BC
于点 E ，交 AC 于点 G ，连结 AD ， AE ，则以下结论错误的选项是（ ）
A ．=
B ． AD ， AE 将∠ BA
C 三均分
C ． △ ABE ≌△ AC
D D ． S △ADH =S △ CEG 【考点】 黄金切割；全等三角形的判断；线段垂直均分线的性质．
【 分 析 】 由 题 意 知 AB=AC 、 ∠ BAC=108° ， 根 据 中 垂 线 性 质 得 ∠ B=∠ DAB=∠ C=∠ CAE=36°， 从 而 知
△ BDA ∽△ BAC ，得 = ，由∠ ADC=∠ DAC=72°得 CD=CA=BA ，从而依据黄金切割定义知 = = ，
可 判 断 A ； 根 据 ∠ DAB=∠ CAE=36°知 ∠ DAE=36°可 判 断 B ； 根 据 ∠ BAD+∠ DAE=∠ CAE+∠ DAE=72°可 得 ∠ BAE=∠ CAD ，可证 △ BAE ≌△ CAD ，即可判断 C ；由 △ BAE ≌△ CAD 知 S ，依据 DH 垂直均分 AB ，
△BAD =S △ CAE
EG 垂直均分 AC 可得
，可判断 D ．
S △ ADH =S △ CEG
【解答】 解：∵∠ B=∠ C=36°， ∴ AB=AC ，∠ BAC=108°，
∵ DH 垂直均分 AB ， EG 垂直均分 AC ， ∴ DB=DA ， EA=EC ，
∴∠ B=∠ DAB=∠ C=∠
CAE=36°， ∴△ BDA ∽△ BAC ，
∴
= ，
又∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD=72°，∠ DAC=∠ BAC ﹣∠ BAD=72°， ∴∠ ADC=∠ DAC ，
∴ CD=CA=BA ，
∴ BD=BC ﹣ CD=BC ﹣ AB ，
则
=
，即
=
=
，故 A 错误；
∵∠ BAC=108°，∠ B=∠ DAB=∠ C=∠ CAE=36°， ∴∠ DAE=∠ BAC ﹣∠ DAB ﹣∠ CAE=36°， 即∠ DAB=∠ DAE=∠ CAE=36°，
∴ AD ， AE 将∠ BAC 三均分，故 B 正确；
∵∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°，∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=72°，
∴∠ BAE=∠ CAD ，
在△ BAE 和△ CAD 中，∵，
∴△ BAE≌△ CAD，故由△ BAE≌△ CAD 可得∴S△BAD=S△CAE，C正确；
S△=S△，即S△+S△=S△+S△，BAE CAD BAD ADE CAE ADE
又∵ DH 垂直均分AB， EG 垂直均分AC，
∴ S=S， S=S，△ADH△ABD△CEG△CAE
∴ S，故 D 正确．
△ADH=S△CEG
应选： A．
11．已知二次函数y=﹣（ x﹣ a）2
﹣ b 的图象以下图，则反比率函数y= 与一次函数y=ax+b 的图象可能是
（）
A．B．C．D．
【考点】反比率函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【剖析】察看二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再联合反比率（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：察看二次函数图象，发现：
图象与y 轴交于负半轴，﹣b＜ 0， b＞ 0；
抛物线的对称轴a＞ 0．
∵反比率函数y=中ab＞0，
∴反比率函数图象在第一、三象限；
∵一次函数y=ax+b， a＞ 0， b＞ 0，
∴一次函数y=ax+b 的图象过第一、二、三象限．
应选 B．
12．如图，在矩形ABCD 中， AB=4， BC=6，点 E 为 BC 的中点，将△ ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连结CF，则 CF 的长为（）
A．B．C．D．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【剖析】连结 BF，依据三角形的面积公式求出 BH，获得 BF，依据直角三角形的判断获得∠ BFC=90°，依据勾股定理
求出答案．
【解答】解：连结BF，
∵BC=6，点 E 为 BC 的中点，
∴ BE=3，
又∵ AB=4，
∴ AE==5，
∴ BH=，
则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠ BFC=90°，
∴ CF== ．
应选： D．
二、填空题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共18 分
13 ．蜜蜂建筑的蜂巢既牢固又省料，其厚度约为0.000073 米，将5．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【剖析】绝对值小于 1 的正数也能够利用科学记数法表示，一般形式为的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左侧起第一个不为零的数字前方的【解答】解：将 0.000073用科学记数法表示为﹣5．
7.3 ×10
故答案为：
﹣5
．7.3 ×10
14．化简：=．【考点】二次根式的加减法．
﹣0.000073 用科学记数法表示为7.3 × 10
﹣ n
a×10 ，与较大数的科学记数法不一样
0的个数所决定．
【剖析】先将二次根式化为最简，而后归并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3 ﹣ 2 = ．
故答案为：．
15．分解因式：（ 2a+b）2
﹣（ a+2b）
2
= 3（ a+b）（ a﹣ b）．
【考点】因式分解 -运用公式法．
【剖析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式 =（ 2a+b+a+2b）（ 2a+b ﹣a﹣ 2b）
=3（ a+b）（ a﹣ b）．
故答案为：3（ a+b）（ a﹣ b）．
16．如图，正方形 ABCD 内接于⊙ O，其边长为 4，则⊙ O 的内接正三角形 EFG的边长为 2．
【考点】正多边形和圆．
【剖析】连结 AC、 OE、 OF，作 OM ⊥ EF于 M ，先求出圆的半径，在RT△ OEM 中利用 30 度角的性质即可解决问题．
【解答】解；连结 AC、OE、 OF，作 OM ⊥ EF 于 M ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=4，∠ ABC=90°，
∴ AC 是直径， AC=4，
∴OE=OF=2 ，∵ OM ⊥ EF，
∴EM=MF ，
∵△ EFG是等边三角形，
∴∠ GEF=60°，
在 RT△ OME 中，∵ OE=2，∠ OEM=∠ CEF=30°，
∴ OM=，EM=OM=，
∴ EF=2．
故答案为2．
17．如图，直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ， △
BOC 与 △ B ′ O ′是C 以′点
A 为位似中心的位似图形，
且相像比为 1： 3，则点 B 的对应点 B ′的坐标为 （﹣ 8，﹣ 3）或（ 【考点】 位似变换；一次函数图象上点的坐标特点．
【剖析】 第一解得点 A 和点 B 的坐标，再利用位似变换可得结果．
4， 3）
．
【解答】 解：∵直线
y= x+1 与
x 轴交于点
A ，与
y 轴交于点 B ，
令 x=0 可得 y=1；
令 y=0 可得 x=﹣ 2，
∴点 A 和点 B 的坐标分别为（﹣ 2， 0）；（ 0， 1），
∵△ BOC 与 △ B ′O ′是C ′以点 A 为位似中心的位似图形，且相像比为 1：3，
∴
== ，
∴ O ′B ′，=3AO ′=6，
∴ B ′的坐标为（﹣ 8，﹣ 3）或（ 4，
3）．故答案为：（﹣ 8，﹣ 3）或（ 4， 3）．
18．如图，点 A
的坐标为（ 1， 0）， A 在 y 轴的正半轴上，且∠ A
A O=30°，过点 A 作 A A ⊥ A A ，垂足为
1
2
1
2
2 2 3
1 2
A ，交 x 轴于点 A ；过点 A 作 A A ⊥ A A
，垂足为 A ，交 y 轴于点 A ；过点 A 作 A A ⊥ A A
4 ，垂足为 A ，
2
3
3
3 4
2 3
3
4
4
4 5
3
4
交 x 轴于点
A ；过点
A 作 A A ⊥ A A ，垂足为
A ，交 y 轴于点 A ； 按此规律进行下去，则点
A
的纵坐
5
5
5
6
4
5
5
6
2016
标为 ﹣（ ） 2015 ．
【考点】 坐标与图形性质．
【剖析】 先求出 A 1、 A 2、 A 3、 A 4、 A 5 坐标，研究规律，利用规律解决问题．
【解答】 解：∵ A （ 1， 0）， A [0，（ ） 1
]， A [ ﹣（
） 2
， 0]． A [0，﹣（
） 3
] ， A [（
）4
， 0] ，
1
2
3
4
5
∴序号除以 4 整除的话在 y 轴的负半轴上，余数是 1 在 x 轴的正半轴上，余数是 2 在 y 轴的正半轴上，余数是
3 在 x 轴的负半轴上，
∵ 2016÷4=504，
∴ A 2016 在 y 轴的负半轴上，纵坐标为﹣（ ）2015．
故答案为﹣（
） 2015． 三、解答题：本大题共
7 小题，共 66 分 19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
【考点】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【剖析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】 解：由 ① 得： x ≥﹣ 1，
由 ② 得： x ＜ ，
∴不等式组的解集为﹣
1≤x＜ ，
表示在数轴上，以下图：
20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数同样，甲班有
48 人达标，乙班有
45 人达标，甲班的达
标率比乙班高
6%，求乙班的达标率．
【考点】 分式方程的应用．
【剖析】设乙班的达标率是 x ，则甲班的达标率为 （ x+6%），依据 “甲、乙两班的学生数同样【解答】 解：设乙班的达标率是 x ，则甲班的达标率为（ x+6%），
”列出方程并解答．
依题意得：=，
解这个方程，得x=0.9，
经查验， x=0.9 是所列方程的根，并切合题意．
答：乙班的达标率为90%．
21．一个盒子里有标号分别为1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个小球，这些小球除标号数字外都同样．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒
里，充足摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或
同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说
明这个游戏对甲、乙两人能否公正．
【考点】游戏公正性；列表法与树状图法．
【剖析】（ 1）直接利用概率公式从而得出答案；
（2）画出树状图，得出全部等可能的状况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的状况数，
即可求出所求的概率．
【解答】解：（ 1）∵ 1， 2， 3， 4， 5， 6 六个小球，
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；
（ 2）画树状图：
18 种，
以下图，共有36 种等可能的状况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18 种，
∴ P（甲） ==，P（乙）==，
∴这个游戏对甲、乙两人是公正的．
O 与 CE 相切于点D， AD∥ OC，点 F 为OC 与22．如图，在△ BCE中，点A 时边 BE 上一点，以AB 为直径的⊙
⊙ O 的交点，连结AF．
（1）求证： CB 是⊙ O 的切线；
（2）若∠ ECB=60°， AB=6，求图中暗影部分的面
积．【考点】切线的判断与性质；扇形面积的计算．
【剖析】（ 1）欲证明CB 是⊙ O 的切线，只需证明BC⊥ OB，能够证明△ CDO≌△ CBO解决问题．
（2）第一证明 S 阴 =S 扇形ODF，而后利用扇形面积公式计算即
可．【解答】（ 1）证明：连结 OD，与 AF 订交于点 G，
∵ CE 与⊙ O 相切于点 D，
∴ OD⊥ CE，
∴∠ CDO=90°，
∵AD∥ OC，
∴∠ ADO=∠ 1，∠ DAO=∠ 2，
∵OA=OD，
∴∠ ADO=∠ DAO，
∴∠ 1=∠ 2，
在△ CDO 和△ CBO 中，
，
∴△ CDO≌△ CBO，
∴∠ CBO=∠ CDO=90°，
∴ CB 是⊙ O 的切线．
（2）由（ 1）可知∠ 3=∠ BCO，∠ 1=∠ 2，
∵∠ ECB=60°，
∴∠ 3=∠ ECB=30°，
∴∠ 1=∠ 2=60°，
∴∠ 4=60°，
∵OA=OD，
∴△ OAD 是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠ 1=∠ ADO，
在△ ADG 和△ FOG 中，
，
∴△ ADG≌△ FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙ O 的半径r=3，
∴ S 阴 =S 扇形==π．
ODF
23．如图，反比率函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A， B 两点，点 A 的坐标为（2， 6），点 B 的坐标为（n， 1）．
（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；
（ 2）点 E 为 y 轴上一个动点，若S△=5，求点 E 的坐标．
AEB
【考点】反比率函数与一次函数的交点问题．
【剖析】（ 1）把点 A 的坐标代入y=，求出反比率函数的分析式，把点 B 的坐标代入y=，得出n的值，得
出点 B 的坐标，再把A、 B 的坐标代入直线y=kx+b，求出 k、 b 的值，从而得出一次函数的分析式；
（ 2）设点 E 的坐标为（ 0， m），连结 AE， BE，先求出点P 的坐标（ 0， 7），得出 PE=|m ﹣ 7| ，依据 S△AEB=S△BEP ﹣ S△=5，求出m 的值，从而得出点 E 的坐标．
AEP
【解答】解：（ 1）把点 A（ 2， 6）代入 y=，得m=12，
则y= ．
把点 B（ n， 1）代入 y=，得n=12，
则点 B 的坐标为（ 12， 1）．
由直线y=kx+b 过点 A（ 2，6），点 B（ 12， 1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．
（ 2）如图，直线AB 与 y 轴的交点为P，设点 E 的坐标为（0， m），连结AE， BE，
则点 P 的坐标为（ 0， 7）．
∴PE=|m ﹣ 7| ．
∵ S△AEB=S△﹣S△=5，
BEP AEP
∴×|m﹣7|×（12﹣2）=5．
∴|m ﹣ 7|=1 ．
∴m1=6， m2=8．
∴点 E 的坐标为（ 0， 6）或（ 0， 8）．
24．如图，在△ ABC和△ BCD中，∠ BAC=∠ BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延伸CA 至点 E，使 AE=AC；延伸CB至
点F，使 BF=BC．连结 AD， AF， DF， EF．延伸 DB 交 EF 于点 N．
（ 1）求证： AD=AF；
（ 2）求证： BD=EF；
（ 3）试判断四边形 ABNE 的形状，并说明原
因．【考点】全等三角形的判断与性质；正方形的判
断．
【剖析】（ 1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ ACB=45°，求出∠ ABF=135°，∠ ABF=∠ ACD，证出 BF=CD，
由 SAS证明△ ABF≌△ ACD，即可得出 AD=AF；
（ 2）由（ 1）知 AF=AD，△ ABF≌△ ACD，得出∠ FAB=∠ DAC，证出∠ EAF=∠ BAD，由 SAS证明△ AEF≌△ ABD，得出对应边相等即可；
（ 3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ ABD=90°，证出四边形 ABNE 是矩形，由 AE=AB，即可得出四边形
【解答】（ 1）证明：∵AB=AC，∠ BAC=90°，
∴∠ ABC=∠ ACB=45°，
∴∠ ABF=135°，
∵∠ BCD=90°，
∴∠ ABF=∠ ACD，
∵CB=CD， CB=BF，∴ BF=CD，
在△ ABF 和△ ACD 中，
，
∴△ ABF≌△ ACD（ SAS），
∴AD=AF；
（2）证明：由（ 1）知， AF=AD，△ ABF≌△ ACD，
∴∠ FAB=∠ DAC，
∵∠ BAC=90°，
∴∠ EAB=∠ BAC=90°，
∴∠ EAF=∠ BAD，
在△ AEF 和△ ABD 中，
，
∴△ AEF≌△ ABD（ SAS），
∴BD=EF；
（3）解：四边形 ABNE 是正方形；原因以下：
∵ CD=CB，∠ BCD=90°，
∴∠ CBD=45°，
由（ 2）知，∠ EAB=90°，△ AEF ≌△ ABD ，
∴∠ AEF=∠ ABD=90°，
∴四边形 ABNE 是矩形，
又∵ AE=AB ，
∴四边形 ABNE 是正方形．
25．如图，抛物线 y=ax 2
+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），点 B （4， 0），点 D （ 2， 4），与 y 轴交于点 C ，作直线 BC ，连结 AC ， CD ．
（ 1）求抛物线的函数表达式；
（ 2） E 是抛物线上的点，求知足∠ECD=∠ ACO 的点 E 的坐标；
（ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C ， M ， N ， P 为极点的四边形是菱形，求菱形的边
长．【考点】 二次函数综合题．
【剖析】 （ 1）用待定系数法求出抛物线分析式即可．
（ 2）分 ① 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和 ② 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种状况，用三角函数求解即 可；
（ 3）分 ①CM 为菱形的边和 ②CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
【解答】 解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），点 B （ 4， 0），点 D （ 2， 4）， ∴设抛物线分析式为 y=a （ x+2）（ x ﹣ 4），
∴﹣ 8a=4 ，
∴ a=﹣ ，
∴抛物线分析式为 y=﹣ （ x+2）（ x ﹣ 4）=﹣ x 2 +x+4；
（ 2）如图 1，
① 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记 E ′，
连结 CE ′，过 E ′作 E ′⊥F ′CD ，垂足为 F ′，
由（ 1）知， OC=4，
∵∠ ACO=∠ E ′CF ，′
∴ tan ∠ ACO=tan ∠ E ′CF ，′
∴ = ，
设线段 E ′F ′，=h 则 CF ′=2h ，
∴点 E ′（ 2h ， h+4）
∵点 E ′在抛物线上，
∴﹣ （ 2h ） 2+2h+4=h+4 ，
∴ h=0（舍） h=
∴ E ′（ 1， ），
② 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，
同 ① 的方法得， E （ 3， ），
点 E 的坐标为（ 1， ），（ 3， ）
（ 3） ①CM 为菱形的边，如图 2，
在第一象限内取点
P ′，过点
P ′作 P ′ N ∥′y 轴，交 BC 于 N ′，过点 P ′作 P ′ M ∥′BC ，
交 y 轴于 M ′，
∴四边形 CM ′P ′是N ′平行四边形，
∵四边形 CM ′P ′是N ′菱形，
∴ P ′M ′=P ′，N ′
过点 P ′作 P ′Q ⊥′y 轴，垂足为 Q ′，
∵ OC=OB ，∠ BOC=90°，
∴∠ OCB=45°，
∴∠ P ′M ′C=45，°
设点 P ′（ m ，﹣ m 2+m+4 ），
在 Rt △ P ′M ′中Q ′， P ′Q ′=m ，P ′M ′= m ， ∵ B （ 4， 0）， C （ 0， 4），
∴直线 BC 的分析式为 y=﹣ x+4，
∵ P ′N ∥′y 轴，
∴ N ′（ m ，﹣ m+4），
∴ P ′N ′=﹣ m 2+m+4﹣（﹣ m+4） =﹣ m 2+2m ，
∴
m=﹣ m 2 +2m ，
∴ m=0（舍）或 m=4﹣ 2 ，
菱形 CM ′P ′的N ′边长
为 （ 4﹣ 2
） =4 ﹣ 4． ② CM 为菱形的对角线，如图 3，
在第一象限内抛物线上取点 P ，过点 P 作 PM ∥ BC ，
交 y 轴于点 M ，连结 CP ，过点 M 作 MN ∥ CP ，交 BC 于 N ， ∴四边形 CPMN 是平行四边形，连结
PN 交 CM 于点 Q ，
∵四边形 CPMN 是菱形，
∴ PQ ⊥ CM ，∠ PCQ=∠ NCQ ， ∵∠ OCB=45°，
∴∠ NCQ=45° ，
∴∠ PCQ=45°，
∴∠ CPQ=∠ PCQ=45°，
∴ PQ=CQ ，
设点 P （n ，﹣ n 2
+n+4），
∴ CQ=n ，OQ=n+2，
∴ n+4=﹣ n 2
+n+4 ，
∴ n=0（舍），∴此种状况不
存在．∴菱形的边长为 4 ﹣4．
2016 年 6 月 23 日。