人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件

1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6

3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3



5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6



1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .

又
2
<

2

∴
2

<


2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=

2
=
1+
2

2
15
= −4.
1+17
2
=
3



，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −

1 +

1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
2
2
2
2
2
1 +
α
并称之为半角公式，符号由 所在象限决定.
2
因为不同的三角函数式不仅会有结构情势方面的差异，而且还会存在所包含的
角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常
练习
变2.求证：
2
1

−
2Biblioteka 2 2 证:左边=


2
2
−

2 2
= ∙
=



2
2
=
1

4
2.
2
2 −2


2 2
1
2
=
2



2 2
要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式.这是
三角恒等变换的一个重要特点.
新知探索&例析
例8.求证：
1
(1) = [( + ) + ( − )]；
2
(2) + =
+
−
2

.
2
2
证明：(1)因为
( + ) = + ，
(1) = + 3 ；(2) = 3 + 4 .
解：(1) = + 3 =

3

3
1
2(
2
+
3

2
) ※

3
= 2( + ) = 2( + ).
因此，所求周期为2，最大值为2，最小值为−2.
1
4
= = 2 =右边.
练习
方法技能：
三角恒等式证明的5种常用方法
执果索因法 证明的情势一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法
针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，
以消除它们之间的差异，简言之，即化异为同
比较法
分析法
设法证明“左边—右边=0”或“左边/右边=1”
3
，
5
=
4
.
5
由 = 5( + )可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为−5.
新知探索&例析

例10.如图，已知是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，
3
ABCD是扇形的内接矩形.即∠ = ，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最
大？并求出这个最大面积.
( − ) = − ，
将以上两式的左右两边分别相加，得：
( + ) + ( − ) = 2 ，
1
2
即 = [( + ) + ( − )].
思考1：这两个式子的左
右两边在结构情势上有
解：在∆中， = ， = .

在∆中，

所以 =
3

3
= 60° = 3.
=
3

3
=
3

3
， = − = −
设矩形ABCD的面积为S，则 = ∙ = ( −
= −
2 (2 2 − 2 )

| 2 |

2

2
(1− − )( + )
− 2

2
| |
= .
.

=




2 2 ( 2 − 2 )( 2 + 2 )

2
2| |
练习
题型二：三角恒等式的证明
从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条
件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以
断定原等式成立
练习
题型三：三角恒等变换的综合应用
例3.已知函数(��) = ( − )2 −2 2 .
(1)求函数()的最小正周期与单调递减区间；
解：(1)∵() = ( − )2 −2 2
6
2
6
3
6
6

3
因此，当 = 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 .
6
6
由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把 = + 转化
为 = ( + )的情势，这个过程蕴含了化归思想.
练习
题型一：化简、求值问题
例1.(1)已知 = −
解：∵ =
(1)求()的最小正周期和对称中心；
辅助角公式： + = 2 + 2 ( + )( ≠
0)，
其中 =

，所在象限由和的符号确定.

思考3：※你能说一说
这一步变形的理由吗？
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) = + 3 ；(2) = 3 + 4 .
例2.(1)求证：1 + 2 2 − 2 = 2；
2
(2)
( + −1)( − +1)
=
1+
.

证：(1)左边= 1 + 2 2 − (2 2 − 1) = 2 =右边.
(2)左边=
=

=−
1−17
2
=
− 17
；
17
练习
例1.(2)化简：

2
2−2

解：原式=

=




=
− 2

| 2 |

2

2
< 0.
< 0，

∴原式=


2×22 2
∵− < <0，∴− <
∴

(−π < α <0).

(22 2 −2 2 2 )( 2 + 2 )
解得

−
8
≤ ≤
3
+ ，
8
∈ ；

8
∴()的单调递减区间为[ − , +
3
](
8
∈ ).

)，
4
练习
例3.已知函数(��) = ( − )2 −2 2 .
(2)若(0 ) = −1，且0 ∈

(−, − )，求0 的值.
2
解：(2)若(0 ) = −1，则：

4

4
2(20 + ) = −1， 即(20 + ) = −
再由0 ∈

4

(−, − )，可得：20
2
∴20 + = −
5
，解得0
4
=−

+
4
3
.
4
∈
2
，
2
7
(− ，
4
−
3
)；
4
练习
变3.已知函数() = 2 − 2 3 2 + 3.
解：(2)设3 + 4 = ( + )，则
3 + 4 = + .
于是 = 3， = 4，
于是2 2 + 2 2 = 25，所以2 = 25.
取 = 5，则 =
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
复习导入
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工
具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
( ± ) = ∓ .
((±) )
( ± ) = ± .
2
(2) + = 2
+
−

.
2
2
积化和差
和差化积
例8的证明用到了换元的方法.如把 + 看作， − 看作，从而把包含
，的三角函数式转化成，的三角函数式.或者，把 看作
， 看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为解方程(组)
±
( ± ) =
.
∓
((±) )
((±) )
= ∙ ， ( )
= − ， ( )
=

.
−
( )
新知探索&例析
= 1 − 2 − 2 ∙
1− 2
2
= 2 − 2 = 2(2 +
∴函数()的最小正周期为 =
2
2
= .
又函数 = 的单调减区间为[2, + 2]， ∈ ；

4
令2 ≤ 2 + ≤ + 2， ∈ ；
= (
=
+
−

2
2
+
2
+
+
−
2

.
2
2
2
+
=
+
2
−
)
2
−
−
.
2
+
2
+ (
+
−

)
2
2
+ (
−
−
)
2
+
−

2
2
−
+
−

)
2
2
新知探索&例析
例8.求证：
1
(1) = [( + ) + ( − )]；

2

2

2
例7.试以 表示2 ， 2 ，2 .

2
(提示：与 有什么关系？)

解： 是 的二倍角.在倍角公式 2 = 1 − 22 中，
2


以代替2，以 代替，得： = 1 − 22 ，
2
2
1−
2
∴ =
.①
2
2
在倍角公式 2 = 2 2 − 1中，

2
1+
.②
2

2
以代替2，以 代替，得： = 2 2 − 1，

2
∴ 2 =

2
∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得：2 =
1−
.
1+
新知探索&例析
例7的结果还可以表示为：

设 + = ， − = ，那么 =
把，的值代入①，即得
+ =
+
−
2

.
2
2
+
，
2
=
−
.
2
新知探索&例析
例8.求证：
+
−
(2) + = 2

.
2
证法二：∵ =
+
2
+
−
，
2
∴ + = (
什么不同？
新知探索&例析
例8.求证：
1
(1) = [( + ) + ( − )]；
2
(2) + =
思考2：如果不用(1)的
结果，如何证明？
+
−
2

.
2
2
证明(证法一)：(2)由(1)可得
( + ) + ( − ) = 2 .①
求.它们都体现了化归思想.
新知探索&例析
辨析1：判断正误.

2
1
2
(1)存在 ∈ ，使得 = .
(
)
(2)对于任意 ∈

，
2
=
1

2

(3)若是第一象限角，则
2
答案：√，×，√.
=
都不成立.
(
)
1−
.
1+
(
)
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
3
2
3
=
1
2
2
−
3
(1
6
− 2)
3

3
3

3
)
.
新知探索&例析

例10.如图，已知是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，
3
ABCD是扇形的内接矩形.即∠ = ，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最
大？并求出这个最大面积.
解： =
22

2






(2 2 2−22 2)(2 2 2+22 2)

=
2
2


2

=
2 2 2

2
2

2
=
1+

=右边.
=
2



42 2( 2 2−2 2)