3章 傅里叶变换

（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”;
（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”.
3.2 周期信号的傅里叶分析
三角函数 1 , c o s t , s i n t , c o s 2 t , s i n 2 t ,, c o s k t , s i n k t , 就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
ant2 2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a20n 1cncos(n1tn) t
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
f(t)[cos(n1t)jsin(n1t)]dtT 2 tt12
f(t)ejn1tdt
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f ( t )在复变正交函数空间
{ej(n1t) n1,2, }中展开，有
f (t) Fn ej(n1t) n
式中
Fn
t2 f(t)(ejn1t)*dt
t1
t2(ejn1t)(ejn1t)*dt
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T0 20(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
偶谐函数
满足 f(tT/2)f(t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后信号与原信 号重合。
2．横轴对称性 （1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那 么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分 量也包含有偶次谐波分量。
其中
1
2π T
2π t2 t1
周期的终点 周期的起点 周期
基频
三角函数集也可表示为：
{ c o s ( n 1 t) ,s in ( n 1 t)n 0 ,1 ,2 , }
满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有
t1 t2cos(n1t)sin(m 1t)dt0
t2
t1
t2
t1
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
例 已知奇谐函数：
解
f (t) E
2
T1
o
T1
t
2
E2
f (t)
2
f (t T1 )
2
f (t) E
2
f (t)
E
cos(1t
T1 2
)
2
T1
o
2
sin 1t
E
2
T1 t
T1
o
2
sin ( 1 t
T1 2
)
2 cos 1 t
表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵坐 标对应各频率分量的相位 （n 单 位常用度或弧度）。
例
f(t)1,
kTt kT
2
2 ，求频谱
0,
其它
f (t)
1
T
2
o
2
T
t
解 （1）单边频谱：
An n2 T41T, sin(n21), nn002TSa(n21)
（2）双边频谱：
第一个过零点情况时谱线间隔2脉冲宽度不变周期t变化示意图第一个过零点第一个过零点谱线间隔谱线间隔第一个过零点情况周期周期tt扩展一倍扩展一倍示意图谱线间隔减小一倍谱线间隔减小一倍第一个过零点不变第一个过零点不变幅值减小一倍幅值减小一倍第一个过零点情况周期周期tt再扩展一倍再扩展一倍2t示意图谱线间隔再减小一倍谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍幅值再减小一倍第一个过零点不变第一个过零点不变不变fn的第一个过零点频率不变即带宽不变
第一个过零点为n =4 。 F n 在2π/ 有4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2 π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(2 ) 0
π 2π
2
情况2： T 8,F nT S a (n T )8 1S a (n 8 )
第一个过零点n=8
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
3.3 周期信号的对称性
1．纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有 直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有
正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。
定义：
奇谐函数
满足 f(tT/2)f(t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后的信号与原 信号关于横轴对称。
cos(n1t)cos(m1t)dt 0
sin(n1t)sin(m1t)dt
0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
t21dt t1
T
t2
t1
可以将“任意”周期函数f ( t ) 在这个正交函数集中展开为
E 2
T1 t 2
f (t) E
2
f (t) E 2
T1
o
2
E
sin 21t 2
T1 t 2
T1
o
T1
t
2
E
2
cos 21t
2
3.4 常见周期信号的频谱
3.4.1 频谱的概念
振幅频谱
频 （幅频特性图） 谱 图
相位频谱
（相频特性图）
表示信号含有的各个频率分量 的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各 频率分量的幅度值 。F n
式中
A n c n e j na n 2 b n 2(c o sn jsinn) 复指数
幅度 cn an2 bn2nBiblioteka arctan( bn an
)
相位
A n 的具体求法如下：
A nanjbnT 2tt12f(t)cos(n1t)dtjT 2tt12f(t)sin(n1t)dt
2 t2 Tt1
3章 傅 里 叶 变 换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
傅里叶的两个最主要的贡献：
f1(t)(AT A 0t)u(t)u(tT0)
f (t)
A
则 f ( t ) 为 f 1 ( t ) 的周期延拓，即
-T0 O T0 2T0 t
f( t) n f1 ( t n T 0 ) n [A T A 0 ( t n T 0 ) ] [ u ( t n T 0 ) u ( t ( n 1 ) T 0 ) ]
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即： t2 f (t) dt t1
（2）f ( t在) 区间内有有限个间断点；
将 f ( t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f A C ( t )
fAC(t)f(t)nTA0[u(tnT0)u(t(n1)T0)]
n[ATA0 (tnT0)]{(tnT0)(t
(n1)T0)}
TA0 An(tnT0)TA0 A(T10
2
T0
n1cosn0t)2TA 0 n1cosn0t
f 带 宽1 不变。
• T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小
。
• T 时，谱线间隔 0 ，这时：
周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱
3.4.2 常见周期信号的频谱
典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅 里叶变换。典型周期信号如下：
1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号
T
t
幅值再减小一倍
o
2π
第一个过零点再增加一倍
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 2π/
所以 f 1/ 称为信号的带宽， 确定了带宽。 • 由大变小，频谱的幅度变小。 • 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π/T不变。
2）脉冲宽度不变, 周期T变化
情况 1： T 4 时，谱线间隔 2π/Tπ/(2) 第一个过零点 2π/
fA C (t)2 T A 0n 1 t co sn0dA πn 1sinn n0 t
fD A/ 2
故
f(t)AA sinn0t 2 πn1 n
（2）利用直接法求解
10 A A
a0
T0
tdt
T T0
0
2
an 0
bnT 20 0T0T A 0tsinn0tdtnA π
1
T
2
o
2
T
t
谱线间隔不变 2 π
T
Fn
1 8
幅值减小一倍 第一个过零点增加一倍
o 2π
情况3： 1 T 6,F nT S a (n T ) 1 1 6S a (n 1 6)
第一个过零点为n =16。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2 π
T
1 Fn
16
示意图
故
f(t)AA sinn0t 2 πn1 n
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
f(t)NF n e jn 1 t a 0 N a n c o s (n1 t) N b n s in (n1 t)
n N
n 1
n 1
用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的 （不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v 的定积分。
1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1
f (t)
E
T1
/ 2 o / 2
T1
t
f(t) E [u (t) u (t)], T 1 t T 1 2 2 22
f(t)a0 (ancosn1tbnsinn1t) n1
称为傅里叶级数
系
an
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
t1 t2cos2(n1t)dt
2 t21 t1
t2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt,
t2 f(t)dt, n0
t1
n0
数
bnt1 t2t1 tf2s(tin )s2i(n n(n1t)1td)tdtt22 t1
1 T
t2 f(t)ejn1tdt
t1
t1
Fn
Fn
ejn
An 2
例 已知冲激序列
…
T0(t) (t kT0)
k
T 0 ( t ) (t T0 )
(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求 T 0 ( t ) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
1 T0
Fn T0
2 T0
2
(t)ejn0tdt1 T0
备正交函数的三个条件：
1. 归一化：
t2 t1
fi(t)fi*(t)dt 1
2. 归一正交化：
t2 t1
fi(t)fj*(t)dt0，ij
3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号
3.2.1 傅里叶级数的三角形式
设三角函数的完备函数集为：
{ 1 , c o s 1 t , s i n 1 t , c o s 2 1 t , s i n 2 1 t ,, c o s k 1 t , s i n k 1 t ,}
1
FnT
/2ejn1tdt1ejn1t /2 2sinn21
/2
Tjn1/2 T n1
b
b24ac 2a
Tsin n2n 121
Sa(n1),
T2
n0,1,2,
包络线
频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度变化
情况1： T 4,F nT S a (n T )1 4S a (n 4 )
（3）f ( t )在区间内有有限个极值点。
Direchlet条件
傅里叶级数存 在的充要条件
3.2.2 傅里叶级数的复指数形式
1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导
利用欧拉公式:
e e j(n 1t n) j(n 1t n)
cos(n1tn)
2
f(t)1 2n [cnej(n 1 t n)]1 2n [A nej(n 1 t)]
o0 2 π2
第一个过零点不变
情况 3：T 16 时，谱线间隔 2π π
T 8
第一个过零点 2 π
周期T再扩展一倍
f (t) 1
2T
T
2
o
2
谱线间隔再减小一倍
Fn
11 1 68
Fn
示意图
T
2T
t
幅值再减小一倍
0 0
2π
2
第一个过零点不变
结论
• 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 2 π
谱线间隔 2π π
T 2
f (t)
1
T
2
o
2
T
1 4
Fn
示意图 t
幅值:
F0
Sa(0)1
T
4
0
2π
第一个过零点
情况 2：
T 8 时，谱线间隔
2π π T 4
第一个过零点 2 π
周期T扩展一倍
f (t) 1
T
o
2
1
F2 n
谱线间隔减小一倍
4
1
Fn
8
示意图
T
t
T
幅值减小一倍