最新精选2020高考数学《立体几何初步》专题完整版考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ
⊥（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 2．下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
3．空间四点中，有且仅有三点共线是这四点共面的-----------------------------------------------（ ）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)以上都不对
4．若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．01k <≤
C ．1k >
D ．1k ≥
5．用一个平面截一个正方体，对于{三角形，四边形，五边形，六边形}四种形状中，借口可能出现的形状有（ ） A ．1种 B ．2种
C ．3种
D ．4种
二、填空题
6．圆柱的底面半径为3cm ，体积为π18cm 3，则其侧面积为 cm 2
7．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，γβα,, 是三个不同的平面，下列命题： ①若
l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ； ②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则
l ∥m ；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ。

其中真命题是_________．（写出所有真命题
的序号）．
8． 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为 ▲ cm ．
9．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD
的外接球的表面积为 2cm .
10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB=BC=1，AB ⊥BC ，PB 与面ABC 所成的叫为
45，则三棱锥P ABC -的侧面积为__________
11．如图，在四面体P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，∠APB ＝∠BPC ＝ ∠APC ＝30°，一只蚂蚁从A 点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到 A 点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时 路程最短，最短路径是________．
解析：如右图，将四面体沿P A 剪开，并将其侧面展开平铺在一
个平面上，连接AA ′分别交PB ，PC 于E ，F 两点，则当蚂蚁沿 着A 刘E 刘F 刘A ′路径爬行时，路程最短．在△AP A ′中，∠A P A ′＝90°，P A ＝P A ′＝2，∴AA ′＝22，即最短路程AA ′的长 为2 2.
12．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγ
αγβ⊥==⊥m l l m ,那么
①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.
可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上). (江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研) ②④
13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点． （1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．
14．已知：直线,a b 是异面直线，直线,c d 分别与直线a 交于相异两点P 和Q ，分别与直线b 交于相异两点M 和N ，求证：直线,c d 是异面直线。

三、解答题
15．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90C ∠=︒，侧棱与底面所成的角为(090)αα︒<<︒，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． （1）求证：AC ⊥平面11BB C C ；
（2）若点D 恰为BC 的中点,且11AB BC ⊥，求α的值．
16．如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，
且ACE BF 平面⊥.
(Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； (Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； (Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.
A1
B1
C1
A B
D
C
17． 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求多面体ABCDE 的体积．
18．如图，P ,Q ,R 分别是三棱椎A —BCD 的棱AC ，BC ，BD 的中点，过三点P ，Q ，R 的平面交AD 于S ． 求证：四边形PQRS 是平行四边形．
19．已知：如图，四面体A BCD -中，,,AB CD AD BC H ⊥⊥为BCD 的垂心。

求证：AH ⊥平面BCD
H C
A
B
D
20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，对角线4,2,AC BD ==高
12,DD E =是1DD 的中点
（1）求1BD 与AE 所成的角的余弦值 （2）求点B 到平面11AC E 的距离
21．在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//CB ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=6，BC=3，DC=6，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置，使二面角P —CD —B 成45°角.设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. (1）求证：AF//平面PEC ； (2）求PC 与底面所成角的正弦值.
22．已知空间四边形ABCD 的对角线AC 、BD ，点E 、F 、
G 、H 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点．求证：三线段EG 、FH 、 MN 交于一点且被该点平分．
证明：如图所示，连接EF 、FG 、GH 、HE .∵E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥HG ，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．设EG ∩FH ＝O ，则O 平分EG 、FH .同理，四边形 MFNH 是平行四边形，设MN ∩FH ＝O ′，则O ′平分MN 、FH . ∵点O 、O ′都平分线段FH ，∴点O 与点O ′重合，∴MN 过EG 和 FH 的交点，即三线段EG 、FH 、MN 交于一点且被该点平分．
23． 【2014高考辽宁理第19题】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且
2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值
.
易得11(0,,0)22E F ,所以33
(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而得
（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B （0,0,0），A (0，-1D ，C (0,2,0),因而11
(0,,0)22
E F ,所以33
(
,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.
A
B
C P
（第
16
D
24． 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC//平面PAD ，PBC ∠90=, 90PBA ∠≠．求证：
（1）//AD 平面PBC ；
（2）平面PBC ⊥平面PAB ．（本小题满分14分）
【证】（1）因为BC//平面PAD ，
而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD I 平面PAD = AD ， 所以BC//AD ． …………………………………3分 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
A B C
P D
H
所以//AD 平面PBC ．……………………………………………………6分 （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面
ABCD =AB ，
所以PH ⊥平面ABCD ．………………………9分 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ．
因为PBC ∠90=,所以BC ⊥PB ，
而90PBA ∠≠，于是点H 与B 不重合，即PB I PH = H ． 因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．…………12分 因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ．…………………… 14分
25．如图，在四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若ABCD 是平行四边形， 求证：MN //平面PAD ．(本小题满分14分)
证明：取PD 的中点E ，连结EA ，EN………………3分 ∵M 为AB 中点，∴AM=
2
1
AB ， ……………5分 ∵E 、N 为PD 、PC 中点， ∴EN 平行且等于
2
1
DC ， ……………7分 ∵AB 平行且等于DC ，∴AM ∥EN 且AM=EN ……………9分 四边形AMNE 为平行四边形，MN ∥AE ， ………………11分 又∵MN 不包含于平面PAD ，AE 包含于平面PAD ，…………13分 ∴MN 平行于平面PAD ………………14分
26．如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证： (1) FD ∥平面ABC;
P
N
C
B A
M
D 第17题图
(2) AF ⊥平面EDB.
27．如图，正三棱柱ABC--111C B A 中（地面是正三角形，侧棱垂直于地面），D 是BC 的中点，AB = a . （1） 求证：111C B D A ⊥
（2） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结
论(15分)
28．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．
（1）求证：//AP 平面MBD ；
（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD
.
A
B
C
C 1
B 1
A 1
D
29． 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面
ABCD
是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点.
(1)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置；
(2)求证:PAB PCD 平面平面.
30．如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一 P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ：
(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离．(2011年高考四川卷理科19) (本小题共l2分
) O P D C B
A
(3)因为11C B PD B PCD V V -=，所以1111
133
B PD PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B = 11111244
PCD PC C PC D S S S ∆∆∆=-=
-=, 在1B DP ∆
中，1111955344,3225522
B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅，
11331,2243B PD S h ∆∴=
⋅==。