计算机数学基础 ppt课件

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1. 2., E}，{a}，P，A)，其 中P = {Aa，AaE，EaA}。 在许多的文法中，有多条产生式的左部相 同，可以将左部相同的产生式写成合并的 产生式形式。在此例文法G中，P中的前两 个产生式的左部相同，都是A，可以合并 为A a | aE，这样一来，P = { A a | aE， EaA}。 在许多情况下，只需要将文法的产生式写 出就可以表明该文法了。
文法所生成的语言，根据四种类型文法，也分为四种，即： 0型语言、1型语言、2型语言和3型语言。
Chomsky建立的形式语言理论对计算机科学的发展规律有 着深刻的影响，特别是对计算机程序设计语言的设计、编 译方法和计算复杂性等方面具有更大的作用。
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1.2.5 文法和语言的类型
定义1.11 设文法G = (V, T, P, S)，如果，对 于P，满足(V∪T)+且中至少含 有一个非终结符，(V∪T)*，则G称为0型 文法（或短语结构文法，简记为PSG)或者 无约束文法(Unrestricted Grammar)。
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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1.1 符号、符号串及其运算
符号串的联结：联结是符号串的基本运算。两个符号串X和Y的 联结，记为XY，就是把Y跟随在X的后面形成的符号串。 例1.1：设 = {1, 2}是一个字母表。设X = 11、Y = 22分别是 上的两个符号串。则： XY = 1122是X、Y两个符号串的联结，XY是上的一符号串。 YX = 2211是Y、X两个符号串的联结，YX也是上的一符号串。
符号串的方幂：设X是符号 串，把X自身联结n次后，得 到的符号串Z，即Z = XX…XX = Xn，称为X的方幂。 我们约定X0 = 。这个定义 可以递归地表示为：
Xn
Xn1X
n0 n0
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1.1 符号、符号串及其运算
符号串的子串、前缀 和后缀： 符号串V是 符号串W的子串，当 且仅当存在符号串X 和Y，使得W = XVY。 这里，X和Y都可能是 空串。
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1. 2. 1 文法的形式化定义
定义1. 2：文法G定义为一个四元组 G = (V，T，P，S), 其中： 1、V是一个非空的有穷集合，称为非终结 符集。 2、T是一个非空的有穷集合，称为终结符 集，且V∩T = 。 3、P是一个非空的有穷的产生式的集合。 4、S∈V，称为文法的开始符号，S至少要 在P中的一条产生式中作为左部出现。
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1.2.3 语言的形式化定义
定义1.7：给定一个文法G = (V, T, P, S)，由G所生成 的语言记作L(G)，令L(G) = {x | S+x且x∈T*}，其 中x称为语言L(G)的句子。即： L(G)是一个由从文法 G的开始符号S所推导出来的所有句子所构成的集合。 例1.3 给定文法G[S]：S aSb | ab
定义1.8 给定任意两个文法G1、G2，如果 它们所生成语言相同，即：L(G1) = L(G2)， 则称文法G1与G2是等价的。
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1.2.4 语法树
语法树是句型推导过程 的图形表示。
<标识符>
例如，设句子bd0的最
<标识符>
<数字>
右推导或规范推导为：
<标识符> <标识符 <标识符> <字母>
A* = A0∪A1∪A2∪…∪An∪… 而称A+ = A1∪A2∪…∪An∪… 为A上的正闭包，显然,有 A* = A0∪ A+ ， A+ = A*A = AA*。
语言：令为一个字母表。若L *，则L是字母表上的一个语言。 即：L为一个由字母表上的字符 串所构成的集合。
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1.2 文法与语言的形式定义
语言都是用文法来描述的。 一个文法实际上是一组有限 的规则式。
非终结符（一种过渡性符 号）：也是一种符号，但不 是字母表中的符号。我们 将它记为V。
终结符：是一个语言的字母 表中的符号。我们将它记 为T。
对于一个形式语言L，设T和 V分别是它的终结符集和非 终结符集，显然有L T*， 且T∩V = 。
定义1.10 如果一个语 言L的任何文法都是 二义性文法，则称该 语言L是二义性语言。
在理论上已经证明了， 存在着这种二义性的 语言。
文法的二义性与语言 的二义性是两个不同 的概念。
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1.2.5 文法和语言的类型
诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky, 1928--），美国语言学 家，转换-生成语法的创始人。1928年12月7日出生于美国 宾夕法尼亚州的费城。1947年，在哈里斯的影响下他开始 研究语言学。1951年在宾夕法尼亚大学完成硕士论文《现 C代h希om伯s莱ky语于语19素56音年位把学文》法，分1成95四5年种在类该型校，完即：成0博型士文论法文、《 1转在型换麻文分省法析理、》工2，学型获院文得工法博作和士，3型学曾文位任法。该。从校这语1种9言5文5学年法与秋的哲天分学开类系始称主，作任他，一并直任 C该h校om认s知ky科分学类研。究中心主任，为语言学界培养了一批有素养 的学者。
集合的联结：设A和B
都是符号串的集合，定
以集合A和B的联结为：
AB = {XY | X∈A且
Y∈B}， 即集合A和B的联结是 集合A中的符号串和集 合B中的符号串的联结 所构成的集合。
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1.1 符号、符号串及其运算
集合的方幂：设A是符号串的集合，把A 自身联结n次后，得到的新的集合An，即 An = A…A…A，称为集合A的方幂。 我们约定A0 = {}。这个定义可以递归地 表示为：
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1.2.3 语言的形式化定义
例1.4 设文法G[V]：V aVb，Vb bW， abW c。求文法G[V]所生成的语言。 解：V是文法的开始符。继续多次使用该产生 式，得到的推导结果是：anVbn，n≥1。在 anVbn中，为了消除非终结符V，必须使用产 生式VbbW，得到推导结果是：anbWbn-1 = an-1abWbn-1，n≥1。只有使用产生式abWc， 才能消除非终结符W，最终得到推导结果： an-1cbn-1，n≥1。 另一方面，不难证明，对任何形式为ancbn， n≥0的符号串都可以用文法G[V]推导出来。 因此，文法G[V]生成的语言为：
由该文法生成的任何一个句子都是： 先使用产生式SaSb若干次得到：S aSb aaSbb … an-1S bn-1 ，即S+ an-1S bn-1 ；再使 用产生式S ab一次得到：S+ an-1S bn-1 anbn。 不难对推导的步数用数学归纳法证明该文法推导的所 有符号串都是anbn的形式。 另一方面，我们也不难对符号串的长度用数学归纳法 证明，对任何形式为anbn，n≥1，的符号串，一定可 以用文法G[S]推导出来，即存在推导S+ anbn。 所以，L(G[S]) = {anbn | n1}。
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计算机科学的数学基础
第一章：语言与 正规语言
1.1 符号、符号串及其运算
•符号和符号串在形式语言中是非常重要的基本概念。
•在计算机科学的发展中，符号主义一直占据着非常重要的位置。 •语言的基础是字母表。
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1.1 符号、符号串及其运算
字母表：一个非空的有限集合称为字母表，通常 用或者大写的西文字母表示。字母表中的元素称 作为字母或符号，一般用小写字母、数字等表示。
2、 我们用x+y表示存在n＞0且x n y； 用x*y表示有x + y或者x = y。
最左(右)推导：如果在推导的每一步x y，都是对 x中的最左(右)边的非终结符选用产生式进行替换， 则这种推导称为最左(右)推导。最右推导也称为规 范推导。
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1. 2. 2 推导的形式化定义
规范句型、 短语、直 接短语和 句柄
约定：第一条产生式的左部是文法的开始 符
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1. 2. 2 推导的形式化定义
定义1. 3：给定一个文法G = (V, T, P, S)， 如果是G中的一条产生式，和是V’* 中的任意符号，若存在符号串x, y满足：x = ，y = ，则称x使用了产生式 直接产生了y，或者称y是x的直接推导，或 者称y可以直接归约到x，记作x y。
0
><数字> <标识符>0
<标识符><字母>0 <字母>
d
<标识符>d0 <字母>d0 bd0
b
图1.2 句子bd0的语法树
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1.2.4 语法树
定义1.9 如果一个文 法存在某个句子对应 两棵以上的不同的语 法树，或有两个以上 的不同的最左(右)推 导，则称该文法是二 义性文法（程序设计 语言不能有二义性 ）。
例：令x = aAb，y = acb， = a， = b， 则y是x的直接推导，即：aAb acb，所 使用的产生式为Ac。
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1. 2. 2 推导的形式化定义
定义1. 4：给定一个文法G = (V, T, P, S)，设x， yV*，如果：
1、存在如下的直接推导序列： x = w0 w1 w2 … wn = y(n＞0) 则称x推导出(产生)y，推导长度为n，或者称为y归 约到x，记作x n y。
定义1. 5：给定一个文法G = (V, T, P, S)，如果符号串x是从文法 G的开始符号S推导出来的，即S *x，则称x是文法G的句型。 如果符号串x是仅由终结符组成 的句型，即S*x且x∈T*，则称 x是文法G的句子。
由规范推导所得到的句型就称之 为规范句型。
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1. 2. 2 推导的形式化定义
An{An}1A
n0 n0
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1.1 符号、符号串及其运算
集合的闭包和正闭包：设A是符号 串的集合，用A*表示A的所有的有 限次方幂的并集，则称A*为集合A 上的闭包，即：
注意：闭包A*与正闭包A+的差别 在于是否包含空串。在闭包A*中 去掉空串后就成为正闭包A+。A*
具有可数无穷多的符号串。
规范句型、 短语、直 接短语和 句柄
定义1. 6 设G[S]是一文法，x = w是一句型， 如果：S*A且A * w 则称w是句型x的一个相对于非 终结符A的短语； 如果：S*A且Aw 则称w是句型x的一个相对于非 终结符Ａ的直接短语(或简单短 语)； 如果w是一个句型x的最左直接 短语，称w为句型x的句柄。
符号串：一个符号串是由字母表中的字母组成的 一个有限序列。 符号串的长度：符号串所包含符号的个数称为符 号串的长度。符号串w的长度记为|w|。 空串：长度为0的符号串称为空串，用表示。
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
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1. 2. 1 文法的形式化定义
定义1. 1：一条产生式是一个有序对(, ), 通常可写作如下形式
∷ = 或 其中：∈V+，∈V’*，V’= V∪T 。称为 产生式的左部，称为产生式的右部。 注意：∈ V+说明是一个非终结符且≠， 即产生式的左部不允许是空串。∈ V’*说 明产生式的右部是这样的一个符号串，它 可以含有终结符，也可以含有非终结符， 同时还可以为空串。
L(G[V]) = {an-1cbn-1 | n≥1} = {ancbn | n≥0}。
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1.2.3 语言的形式化定义
例1.5 文法G[A]：AaR，Aab，RAb 所生成的语言L(G[A]) = {anbn | n1}。 (留做课后习题)。
从上面可以看出，尽管文法G[A]与例1.7 中的文法G[S]是两个不同的文法，但是所生 成的语言是相同，都是{anbn | n 1}。
一般来说，符号串的联结不满足交换律。显然符号串的联结是 满足结合律的，即有，(XY)Z = X(YZ)。在例1.1中，显然有 XY≠YX，(XY)X = X(YX) = 112211。
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1.1 符号、符号串及其运算
由于是不含符号的 符号串(空串)，所以 对任意符号串X都有， X = X = X。由此 我们可以认为是符 号串联结运算的单位 元。