2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(二)解析版

绝密 ★ 启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（二）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|1M x x =<，{}
21x N x =>，则M N =（ ）
A ．{}|01x x <<
B ．{}|0x x <
C ．{}|1x x <
D ．∅
【答案】A
【解析】{}
{}210x N x x x =>=>，{}|1M x x =<，{}|01M
N x x ∴=<<．故选：A ．
2．若双曲线2
2
1y x m
-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A
．B ．8 C ．9 D ．64
【答案】B
【解析】由双曲线性质：21a =，2b m =，219c m ∴=+=，8m =，故选B ．
3．已知()()
22log 111
sin
1
3x x f x x
x ⎧--<<⎪
=⎨π⎪⎩
≥
，则312f f ⎛⎫
+
=
⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．52 B ．52-
C ．3
2
-
D ．12
-
【答案】B
【解析】
()()
22log 111
sin
13x x f x x
x ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩
≥
，2
23131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫
=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．故选B ．
4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4
C ．－7
D ．4
【答案】B 【解析】
342y x ax '=+，428a ∴--=，6a ∴=-，()1114f a ∴-=++=-，故选B ．
5．已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）
A ．1 B
C
．12
D ．
2
【答案】D
【解析】设a 与b 的夹角为θ，()⊥-a a b ，()20∴⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ
-⋅=a a b ，
cos 2
θ∴=
，∴向量a 在b 方向上的投影为cos 2θ⋅=a ，
故选D ．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83
B ．
163
C ．
203
D ．8
【答案】B
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积116
8233
V =⨯⨯=，故选B ．
7．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2
ωϕπ
>><A 在一个周期内的图象如图所示，则
4π⎛⎫= ⎪⎝⎭
f （ ）
A
．2
-
B
．2
C
D
．
【答案】C
【解析】由图象可知，2A =，
5ππππ2882T ω
=-==，所以2ω=，由π28f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 得ππ22π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得π2π4k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，
所以πππ2sin 2444f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭C ．
8．已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，
则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A ．n B ．()12
n n - C ．()12
n n +
D ．
()()
122
n n ++
【答案】C
【解析】由221120n n n n a a a a ++--=，可得：()()1120n n n n a a a a +++-=，
又0n a >，∴12n n a a +=，∴112n n a a +⋅=，∴
∴数列{}n b 的前n 项和
()12
n n +，故选：C ．
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）
A ．12
B ．18
C ．120
D ．125
【答案】C
【解析】第一次运行：011a =+=，1i =为奇数，112S =+=，112i =+=； 第二次运行：123a =+=，2i =为偶数，326S =⨯=，213i =+=； 第三次运行：336a =+=，3i =为奇数，6612S =+=，314i =+=； 第四次运行：6410a =+=，4i =为偶数，1012120S =⨯=，415i =+=； 程序终止运行，输出120S =．故选C ．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A
B
C ．41π
D ．31π
【答案】C
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，
正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A ，D
的平行于底
面的中截面上，
设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为4x -，
(2
22R x ∴=+，()2
2224R x =+-，
解得出：32x =，2
2341824R ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，
该多面体外接球的表面积为：2441R π=π，故选C ．
11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5
x
θ=
， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1
()2
QOH θ∠=π-，
2sin
2cos 22
BQ OQ OQ θθ
π-=⨯=⨯
，CQ ===
=
即(
)f x =，由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10，
只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．
12．设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的
垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动
点，且1123
2
+>
PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A
．⎫
+∞⎪⎪
⎝⎭
B ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
C
．76⎛ ⎝⎭
D
．⎛ ⎝⎭
【答案】B
【解析】令x =c
代入双曲线的方程可得2
b y a
=±=±，由|F 2Q |>|F 2A |，可得232a b a >，即为32a >22b =2(2c −2a )
，即有c e a =<
①， 又1123
2
PF PQ F F +>
恒成立，由双曲线的定义，可得223++>a PF PQ c c 恒成立， 由2F ，P ，Q 共线时，2PF PQ +取得最小值232a F Q =，可得3322
a
c a <+，
即有76c e a =
<②，由e >1，结合①②可得，e 的范围是71,6⎛⎫
⎪⎝⎭
．故选：B ． 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知x ，y ∈R ，则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个） 【答案】充要
【解析】若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则有21a =，即1a =±，且当1a =-
时，两
直线重合，舍去，因此1a =，即1a =是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的充要条件，故答案为充分必要．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+(0ω>，
)0πϕ<<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________．
【答案】
34
π
【解析】不妨设0x ωϕ+=，πx ωϕ+=，2πx ωϕ+=
πA x ϕω-=，2πC x ϕ
ω
-=，
由2OA OC OB +=
15．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=，14DF DC λ=，且23
8
AE AF ⋅=，则λ=_________．
【答案】2
【解析】在等腰梯形ABCD 中，AE AB BE AB BC λ=+=+，1
4AF AD DF AD DC λ
=+=+
， ()
14AE AF AB BC AD DC λλ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭1144AB AD AB DC BC AD BC DC λλ⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭
，
在等腰梯形ABCD 中，12cos601AB AD ⋅=⨯⨯︒=，2AB DC ⋅=，111cos602
BC AD ⋅=⨯⨯︒=
，1
11cos1202
BC DC ⋅=⨯⨯︒=-．
111723
12282288
AE AF λλλλ⋅=++-=++=
，解得2λ=±
因为E 在线段BC 上，所以01λ<<
，所以2λ=-
2．
16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，24AB CD ==，60ABC ∠=︒，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC （包含端点D ，C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
【答案】(
1⎤⎦
【解析】以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线2c =
，(C ．设双曲线
方程为22221x y a b -=，只需C 点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即2213
1a b -≤，
两边乘以22a b 得22223b a a b -≤，由于22224b c a a =-=-，所以上式化为()2222434a a a a --≤-，
解得12a ≤<
，
112a <≤
11c
a
<≤．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
（1）求cos B 的值；
（2）若1a c +=，求b 的取值范围． 【答案】（11（21
【解析】（1
·······3分
因为sin 0A ≠，∴．又cos 0B ≠，∴
又0πB <<
，∴·······6分
（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-． 因为1a c +=，1
cos 2
B =
，·······9分 ，又01a <<，于是有
·······12分
18．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率
y 与月份代码x 之间的关系；
（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元
/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据：()6
2
1
17.5i i x x =-=∑，()()6
1
35i i i x x y y =--=∑36.5≈．
参考公式：相关系数n
x x y y r --=
；
回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+，其中()()()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx
=-． 【答案】（1）见解析；（2）ˆ29y x =+，23%；（3）见解析． 【解析】（1）散点图如图所示：
········
···1分
111316152021166y +++++==，∴()6
21
76i i y y =-=∑，
∴
n
x x y y r --=
35
0.9636.5
=
==≈，
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
（2）()()()
12
131ˆ527.5n
i i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑，···········4分 又123456
3.56
x +++++=
=，
∴16ˆ59ˆ2 3.a y bx =-=-⨯=，···········5分
∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分
2018年2月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=， 所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分 （3）用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：
∴()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+
⨯
=（元）
．
···········9分
B 款单车的利润Y 的分布列为：
∴()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．······11分
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型．········12分
19．如图，在三棱锥P ABCD -中，平面ABC ⊥平面APC
，AB BC AP PC ====90ABC ∠=︒．
（1）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；
（2）若动点M 在底面ABC △边界及内部，二面角M PA C --
求BM 的最小值． 【答案】（1
）3；（2
）．
【解析】（1）取AC 中点O ，
AB BC =，AP PC =，OB OC ∴⊥，OP OC ⊥．
平面ABC ⊥平面APC ，平面ABC
平面APC AC =，OB ∴⊥平面PAC ，
OB OP ∴⊥．
以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
AB BC =1OB OC OP ∴===，
()0,0,0O ∴，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ， ∴()1,1,0BC =-，()1,0,1PB =-，()0,1,1AP =，·······2分
设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，由0BC ⋅=m ，0PB ⋅=m 得方程组00x y x z -+=-=⎧⎨⎩，取
()1,1,1=m ，·······4分 ,AP >=
m ·······5分 ∴直线PA
与平面PBC ．·······6分
（2）由题意平面PAC 的法向量()1,0,0=n ， 设平面PAM 的法向量为()000,,x y z =k ，(),,0M m n ，
∵()0,1,1AP =，(),1,0AM m n =+，0AP ⋅=k ，0AM ⋅=k ，
∴()000
0010y z mx n y +=++=⎧⎨⎩，取1,1⎫
-⎪，·······9分
2
19n m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13n m +=或13n m +=-（舍去）． ∴
B 点到AM 的最小值为垂直距离5
d =
．·······12分 20．如图，曲线22
:1(0,0)x y E m n m n
+
=>>
与正方形L
（1）求m n +的值；
（2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，
是否存在这样的曲线E ，使得CA ，AB ，成等差数列？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16m n +=；（2
【解析】（1，得()28160n m x mx m mn +-+-=，
有()()2644160m m n m mn ∆=-+-=，···········2分 化简的()4640mn m n mn +-=．
又0m >，0n >，所以0mn >从而有16m n +=；···········4分 （2）由2AB CA BD =+，
3
AB =
···········5分 ，得()2220n m x bmx mb mn +++-=， 由2224440nmb n m m n ∆=-++>可得216b m n <+=，
且122bm x x n m -+=+，212mb mn
x x n m -=+，···········7分
·······
····8分 32
3
=，
···········10分 符合2
16b m n <+=，故当实数b
存在直线l 和曲线E ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．···········12分 21．已知函数()()ln 1a
f x x x a a x
=+
-+-∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使()1x
f x x x
-+<
成立，求整数a 的最小值． 【答案】（1）答案见解析；（2）5．
【解析】（1）由题意可知，0x >，()222
11a x x a f x x x x -+-'=--=，·······1分
方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 当140a ∆=-≤，即1
4
a ≥
时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；·······2分 当104
a <<
时，方程2
0x x a -+-=
，
且0
<
< 此时，
()f x 在11,22⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭上()0f x
'>，函数()f x 单调递增， 在10,2
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上()0f x '<，函数()f x 单调递减；·······4分 当0a ≤时，
11402a --<，1
02
>， 此时当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x
'>，()f x 单调递增， 当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，(
)f x 单调递减； 综上：当0a ≤时，10,2x ⎛∈
⎝⎭，()f x 单调递增， 当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()f x 单调递减； 当1
04
a <<
时，(
)f x 在
⎝⎭
上单调递增， 在⎛
⎝⎭，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减； 当1
4
a ≥
时，()f x 在()0,+∞上单调递减；·······6分
（2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-， 即存在1x >，使()
ln 21
1x x x a x +->
-成立．
设()()ln 211x x x g x x +-=
-，1x >，则()()
2
ln 2
1x x g x x --'=-，·······7分 设()ln 2h x x x =--， 则()11
10x h x x x
-'=-
=>，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()33ln321ln30h =--=-<，()44ln 4222ln 20h =--=->，
根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，·······9分 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=， ∴()0000min 0ln 21
11
x x x g x x x +-=
=+-，
由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a ∈Z ，∴a 的最小值为5．······12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22
1164
y x +=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，
取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭．
（1）求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；
（2）设(),M x y 为椭圆C
上任意一点，求1y +-的最大值．
【答案】（1）直线l
60y +-=，椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕ
ϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参
数）；（2）9．
【解析】（1）由πsin 33ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，得1sin cos 32ρθρθ+=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得直线l
60y +-=．·········3分
椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕ
ϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．·········5分
（2）因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M ϕϕ，
则14sin 18sin 193y ϕϕϕπ⎛
⎫+-=+-=+- ⎪⎝
⎭≤，
当且仅当sin 13ϕπ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
时，取等号，所以max 19y +-=．·········10分 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()()1
3
f x x a a =
-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()1
13
x f x -
+≥； （2）设不等式()13x f x x -
+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|01}x x x ≤≥或；（2）14,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥． ①当1
3
x ≤
时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当1
23
x <<时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以12x ≤<；
③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得3
2
x ≥，所以2x ≥．
综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或．·····5分 （2）不等式()1
3
x f x x -
+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，
所以113
1
12a a ⎧-≤⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩
．解得1423a -≤≤，
故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．·····10分。