专题2 巧解圆中最值问题（含答案）

专题2 巧解圆中最值问题
知识解读
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以填空、选择的最后一题出现.这类试题小而精，集多个知识点于一体，能全方位考查基础知识、基本方法、基本思想以及数学思维.
解决此类问题常用的方法技巧有：
①根据“两点之间线段最短”；
②根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”；
③利用轴对称性，求直线上一点到直线同一侧两点的线段之和最短；
④根据“过圆内一点的所有弦中，直径是圆中最长的弦，与直径垂直的弦是最短的弦”；
⑤将立体图形转化为平面图形，求两点之间最短距离；
⑥根据函数的性质求最值.
培优学案
典例示范
例1如图1-2-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆个交AB于点D，P 是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是________.
【提示】先确定点P的位置，再由勾股定理求得AP的长。

跟踪训练
如图1-2-2，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.
例2如图1-2-3，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点，若O的半径为7，则GE＋FH的最大值为________.
【提示】连接OA，OB.
跟踪训练
1.如图1-2-4，在O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知O半径为O，tan∠ABC=2，则CQ的最大值是________.
A.5
B.15
4
C.
25
3
D.
20
3
2.如图1-2-5，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与O 交于B，C两点，则弦BC长的最小值为________.
【提示】根据直线y=kx－3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦BC是与过点D的该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，接着求出BD，即可求出答案。

例3已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，P A的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为( )
A.(1，－1)
B.(0，0)
C.(1，1)
D.(2，2)
【提示】根据“垂线段最短”可知：当P A垂直于直线y=x时，P的面积最小，由直线y=x的坐标特征可知∠POA=45°，再依据垂径定理解答问题.
跟踪训练
1.如图1-2-6，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________.
2.如图1-2-7，△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与AB相切的动圆与边CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值为________.
例4如图1-2-8，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，A，B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，A和B的动点，则PE＋PF的最小值是________.
【提示】因为AE=2，BF=1，所以将求PE＋PF的最小值问题转化为基本图形与常见问题来处理：在直线CD的同一侧，有两个定点A，B，试在直线CD上找一点P，使P A＋PB的值最短。

跟踪训练
1.如图1-2-9，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥ MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为 .
【提示】根据垂径定理可知A ，B 关于直径MN 对称，故连接BC ，BC 与EF 的交点即为点P ，BC 的长即为PA+PC 的最小值，故求BC 的长即可.
B
C D
E F
O
M
N P A
B
C D
O
M
A
图1-2-9 图1-2-10
2.如图1-2-10，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm ，AC CD DB ==，M 是AB 上一动点，CM+DM 的最小值为 cm.
【提示】作点C 关于AB 所在直线的对称点，利用“两点之间线段最短”来求解，关键是利用圆的对称性.
例5如图1-2-11，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，A0=BO=32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则线段PQ 长的最小值为 .
【提示】连接OP ，OQ.
P
Q
B
O
A
图1-2-11
跟踪训练
如图1-2-12，已知A ，B 两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C 的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是 .
【提示】根据三角形的面积公式，△ABE 底边BE 上的高AO 不变，BE 越小，则面积越小，可以判断当AD 与⊙C 相切时，BE 的值最小.根据勾股定理求出AD 的值，然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形面积公式进行计算即可求解。

x
y B C
D
E A
O
图1-2-12
例6如图1-2-13，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA.设PA=x ，PB=y ，则x -y 的最大值是 .
【提示】作⊙O 的直径AC ，连接PC ，即可得到△ABP ∽△CPA ，从而可以应用含x 的代数式表示y ，即可应用含x 的代数式表示x -y ，因此，可应用函数的性质求得其最大值.
B
l
O
A P
图1-2-13
跟踪训练
1.如图1-2-14，半径为3的⊙O 内有一点A ，QA=3，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于 （ ）
【提示】本题是考查了三角函数的增减性，即对正弦值sin ∠P 的考查，不妨作OD ⊥PA （如图1-2-15所示），要使当∠OPA 最大，则sin ∠OPA 的值最大，因为OP 不变，则OD 最大，所以点O 到AP 有最大值时，即OD 等于OA 时，这时sin ∠P 有最大值，这时则有PA ⊥OA.
O
A
P
D
A
O
P
A O
P
O
A
① ②
图1-2-14 图1-2-15 图1-2-16
2.如图1-2-16，扇形OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C 在AB 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当△OCD 的面积最大时，图中阴影部分的面积为 .
【提示】本题考查了扇形面积的计算及二次函数的最值，解题的关键是求出△OCD 的面积最大时的圆心角的度数，然后把所求的阴影面积转化为扇形和三角形面积求解.
例7 如图1-2-17，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 （ ）
A. 42dm
B. 22dm
C. 25dm
D. 45dm
A
C
B A
B
C
图1-2-17 图1-2-18
【提示】依题意，结合图形，一圈金属丝被点分成两个部分，其中的实线与虚线部分相等，于是要求周长最小，则需要将圆柱转化为平面图形（如图1-2-18），利用勾股定理即求.
跟踪训练
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1-2-19所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处.则问题中葛藤的最短长度是 尺.
【提示】由题意可知葛藤绕圆柱五周到达点B ，故先把圆柱平均分成五段，利用展开图求出一段的最短长度，即可求出五段的最短长度.
A
B
图1-2-19
竞赛链接
例8思考验证
如图1-2-20①，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点，（与点A ，B 不重合），过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD=a ，DB=b .
试根据图形验证2a b ab +≥ 探索应用
如图1-2-20②，已知A （-3，0），B （0，-4），点P 为双曲线y =
12
x
（x >0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D .求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状.
【解答】
D
O
A
B
C
y
x
-4
-3
C
B
A
P
D
O
① ②
图1-2-20
跟踪训练
如图1-2-21，已知AB 是半圆的直径，ABDC 是半圆的内接梯形，如果这个半圆是块铁皮，试问，怎样裁剪，才能使这个梯形的周长最大？
【提示】设半径为r ，易证AC=BD ，若设CD=2y ，AC=x ，那么只需求梯形ABDC 的半周长z =x +y +r 的最大值即可.
【解答】
C
B
A D
图1-2-21
培优训练
直击中考
1.如图1-2-22，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角形ABC ，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程.
C
B A
P
图1-2-22
2.如图1-2-23，在平面直角坐标系中，⊙ M 过原点O ，与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，3），点C 为劣弧AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA ，连接BD .
（1）求OM 的半径；
（2）证明：BD 为OM 的切线；
（3）在直线MC 上找一点P ，使DP AP 最大.
y x
C B
A M D
O
图1-2-23
挑战竞赛
1. 如图1-2-24，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一
个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.
C
A
B
图1-2-24
2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是.。