2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.7 二次函数(练)

专题2.7 二次函数
基础巩固题组
一、填空题
1．(2017·苏州期末)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y ＝x α
的值域为R ，且为奇函数的所有
α的值为________．
【答案】1,3 2．已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
，则P ，Q ，R 的大小关系是________．
【解析】P ＝＝⎝
⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3
是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭
⎪⎫253，即P >R >Q . 【答案】P >R >Q
3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列结论： ①a >0,4a ＋b ＝0；②a <0,4a ＋b ＝0；③a >0,2a ＋b ＝0； ④a <0,2a ＋b ＝0
其中正确的是________(填序号)．
【解析】因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b
2a ＝2，所以4a ＋b ＝0. 【答案】①
4．在同一坐标系内，函数y ＝x a
(a ≠0)和y ＝ax ＋1a
的图象可能是________(填序号)．
【解析】若a <0，由y ＝x a
的图象知排除③，④，由y ＝ax ＋1a
的图象知应为②；若a >0，由y
＝x a
的图象知排除①，②，但y ＝ax ＋1a
的图象均不适合，综上应为②.
【答案】②
5．若函数f (x )＝x 2
－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝________.
【答案】1
6．若关于x 的不等式x 2
－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 【解析】不等式x 2
－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2
－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2
－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 【答案】(－∞，－2) 7．若f (x )＝－x 2
＋2ax 与g (x )＝
a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．
【解析】由f (x )＝－x 2
＋2ax 在[1,2]上是减函数可得 [1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝
1
x ＋1
在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝
a
x ＋1
在[1,2]上是减函数可得a >0，
故0<a ≤1. 【答案】(0,1]
8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．
【解析】当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2
， ∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，
∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 【答案】1 二、解答题
9．已知幂函数f (x )＝x
(m 2
＋m )－1
(m ∈N *
)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件
f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
10．已知函数f (x )＝x 2
＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2
＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－3
2
∈[－2,3]，
∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－9
2
－3＝－214，
f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－21
4
，15. (2)对称轴为x ＝－2a －1
2.
①当－2a －12≤1，即a ≥－12
时，
f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3满足题意；
②当－2a －12>1，即a <－12
时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．
综上可知，a ＝－1
3
或－1.
能力提升题组
11．已知函数f (x )＝x 2
＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．
【解析】∵f (x )＝x 2
＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b
24
，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 2
4.
又f (f (x ))＝(f (x ))2
＋bf (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫f x ＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 2
4，当－b 2≥
－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 2
4，即b 2
－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))
的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件． 【答案】充分不必要
12．(2017·常州期末测试)函数f (x )＝(m 2
－m －1)x 4m 9－m 5－1
是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，
＋∞)，且x 1≠x 2，满足
f x 1－f x 2
x 1－x 2
>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是________(填序号)．
【答案】①
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≥2，
x －13，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则
实数k 的取值范围是______． 【解析】
作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 【答案】(0,1)
14．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ，x >0，
－f x ，x <0，
求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．。