北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案
第一课时§3.1 不等关系（一）
一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 (一)．问题情境
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ (3)下表给出了三种食物X ,Y ,Z 的维生素含量及成本：
维生素A (单位/kg) 维生素B (单位/kg) 成本(元/kg)
X 300 700 5 Y 500 100 4 Z
300
300
3
某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，那么x ,y 应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ （二）．学生活动
在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤． 在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22
x x
⨯
=万册,杂志社的销售收入为
5(2)(10)2x x +-
万元．根据题意，得5(2)(10)22.42
x
x +->， 化简，得2
510 4.80x x -+<．
在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有
300500300(100)35000,
700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨
++--≥⎩
即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩ 上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,
常用(<>≤≥≠，
，，，)表示不等关系. （三）．建构数学
1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．
问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
2．比较两实数大小的方法——作差比较法：
比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． （四）．数学运用 1．例题：
例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．
根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,
3,,.
x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪
⎨∈⎪⎪∈⎩
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．
解：,x y 满足的条件为638471000
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩．
例3．比较大小：
（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）
a m
b m ++与a
b
（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-<
∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．
（2）
()()()
()()
a m a
b a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴
()
0()
m b a b b m ->+，所以
a m a
b m b +>+． 说明：不等式
a m a
b m b
+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了． 例4．已知2,x >比较3
11x x +与2
66x +的大小．
解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2
(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）
（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 3
11x x +>2
66x +； （2） 当3x =时，（*）式0=，所以 3
11x x +=2
66x +；
（3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<2
66x +
说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
2．练习：（1）比较2
)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．
（五）．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比
较法．
（六）．课外作业：课本第68页 练习 第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．
补充：1．比较2
2
2
a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较
22
a b b a
+与a b +的大小．
第二课时§3.1 不等关系（二）
一、教学目标
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）.课题导入：
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒>（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒< (二).探析新课 1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：1）∵(a＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0，∴ a ＋c ＞b ＋c 2）
()()0a c b c a b +-+=->，∴a c b c +>+．
实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，∴a－b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a＞c ． 于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）,a b b c a c >>⇒> （2）a b a c b c >⇒+>+ （3）,0a b c ac bc >>⇒> （4）,0a b c ac bc ><⇒< 2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；
（3）0,,1;n n n n a b n N n a b a b >>∈>⇒>>。

证明：1）∵a ＞b ，∴a ＋c ＞b ＋c ．①
∵c＞d ，∴b＋c ＞b ＋d ． ②。

由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ． 2）
bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭
⎬⎫
>⇒>>>⇒>>0,0,
3）反证法）假设n
n
b a ≤，则：若n n n
n
a b a b a b a b
<⇒<=
⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．
[范例讲解]：
例1、已知0,0,a b c >><求证：
c c
a b >。

证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab >。

于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >
由c<0 ，得c c
a b
>
（三）.随堂练习1：（1）、课本P82的练习3
（2）、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2 ６＋26；
（2）（3－2）2
（6－1）2
；（3）
251- 5
61
-； (4)当a ＞b ＞0时，log 2
1a log 2
1b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ [补充例题]：
例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知：（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2
－2a －1５）－（a 2
－2a －８） ＝－７＜0∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）
随堂练习2：
（1）、比较大小：（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2
（2）22
56259x x x x ++++与
（四）.课时小结：本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论
（五）.作业布置：课本P83习题3.1[A 组]第2、3题；[B 组]第1题 五、教后反思
第三课时 §3.2一元二次不等式及其解法
一、教学目标：1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

二、教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：
250x x -< (1)
（二）.探析新课
1）一元二次不等式的定义：象2
50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式2
50x x -<的解集。

怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x ==
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集
画出二次函数2
5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2
50x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即2
50x x -<；
所以，不等式2
50x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或
一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2
>0与c bx ax ++2
<0的解集呢？ 组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下
两点：(1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2
=0
的根的情况；(2)抛物线=y c bx ax ++2
的开口方向，也就是a 的符号
总结讨论结果：
（l ）抛物线 =y c bx ax ++2
（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次
方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42
-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0；分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2
>0与c bx ax ++2
<0的解集
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42
-=∆，则不
等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根 的解集
)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式01442
>+-x x 的解集.
解：因为
21
0144,0212=
==+-=∆x x x x 的解是方程.所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≠21x x
例3 (课本第88页)解不等式0322
>-+-x x .
解：整理，得0322
<+-x x .因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，
所以不等式
0322
<+-x x 的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. （三）.随堂练习：课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
（四）.课时小结：解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2
>0(或<0)(a>0)② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：
ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨
⎧<<<><>.
002121x x x A x x x A ，则若；或，则若
ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩
⎪
⎨⎧=≤∈<≠>.
00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；
，则若φ
ⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨
⎧∈≤∈>.
00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.
(五).评价设计：课本第89页习题3.2[A]组第1题 五、教后反思
第四课时 §3.2一元二次不等式的应用
一、教学目标
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
二、教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）.课题导入：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格 （二）.探析新课 [范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：
2
1120180
s x x =
+ 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到2
1139.520180
x x +>
移项整理得：2
971100x x +->
显然 0>，方程2
971100x x +-=有两个实数根，即
1288.94,79.94x x ≈-≈。

所以不等式的解集为
{}|88.94,79.94x x x <->或
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）
与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到2
22206000x x -+>
移项整理，得2
11030000x x -+<
因为1000=>，所以方程2
11030000x x -+=有两个实数
根
1250,60x x ==
由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60
因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在
一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。

（三）．随堂练习1：课本第89页练习2 [补充例题]
▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式2
10ax bx ++>的解集为13{|1}
x x -<<，求a b ? ▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设22
{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.
改：设2
280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.
改：若方程2
280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.
随堂练习2：1、已知二次不等式2
0ax bx c ++<的解集为11
32{|}
x x x <>或，求关于x 的不等式2
0cx bx a -+>的解集.
2、若关于m 的不等式2
(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围. 改1：解集非空； 改2：解集为一切实数
（四）.课时小结：进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系。

（五）.作业布置：课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题五、教后反思：
第五课时§3.2 一元二次不等式的应用
一、教学目标：（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题． 二、教学重点，难点
从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．问题情境
复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格） （二）．数学运用 1．例题：
例1.已知关于x 的不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．
解：
不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤
∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根， ∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴4
5
m n =-⎧⎨
=-⎩． 例2．已知不等式2
0ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2
0cx bx a -+>的解集．
解：由题意 23230
b a
c a a ⎧
+=-⎪⎪
⎪⨯=⎨⎪
<⎪⎪⎩
， 即560b a c a a =-⎧⎪
=⎨⎪<⎩．
代入不等式2
0cx bx a -+>得： 2
650(0)ax ax a a ++=<．
即2
6510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32
x x -
<<-．
例3．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．
解：
2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠
二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ．
200m ->⎧∴⎨∆<⎩， 即2
24(2)16(2)0m m m >⎧
⎨---<⎩
，解得：226m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）
． 拓展：1．已知二次函数2(2)2(2)4y m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围．
2．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围． 3．若不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围． 归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：
2
0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔0
0a >⎧⎨∆<⎩
．
20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0
a <⎧⎨∆<⎩．
例4．若函数22y x kx k =++中自变量x 的取值范围是一切实数，求k 的取值范围．
解：
22y x kx k =++中自变量x 的取值范围是R ，∴220x kx k ++≥恒成立．
∴2440k k ∆=-≤ ∴01k ≤≤
故k 的取值范围是{|01}k k ≤≤． 拓展：若将函数改为2
12y x kx k
=
++，如何求k 的取值范围？
例5．若不等式2
210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．
解：已知不等式可化为2
(1)(12)0x m x -+-<．
设2
()(1)(12)f m x m x =-+-，这是一个关于m 的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使()0f m <在22m -≤≤时恒成立，其等价条件是：
22
(2)2(1)(12)0,
(2)2(1)(12)0,
f x x f x x ⎧=-+-<⎪⎨-=--+-<⎪⎩ 即2
22230,2210.x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩ 解得171322x -++<<． 所以，实数x 的取值范围是1713,22⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝⎭
． 2．练习：
关于x 的不等式22
3
x x k
k x x -+>-+对一切实数x 恒不成立，求k 的取值范围． （三）．回顾小结：
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题； 2．一元二次不等式恒成立的问题．
（四）．课外作业：课本第73页 第5、6题； 第96页 复习题 第4、11题． 补充练习：
1．设12,x x 是关于x 的方程22210()x kx k k R -+-=∈的两个实根，求2212
x x +的最小值； 2．不等式
02x a
x
->-的解集为{|22}x x -<<，求不等式20x x a ++>的解集； 3．已知不等式
2222(1)
0x ax a x x a
+++>++对一切实数x 都成立，求a 的取值范围． 五、教后反思：
第六课时 基本不等式（一）
一、教学目标：1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
二、教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2
a b
ab +≤的证明过程；教学难点：基本不等式2
a b
ab +≤
等号成立条件 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、课题导入：基本不等式2
a b
ab +≤
的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

（二）、探析新课
1．探究图形中的不等关系：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2
2
a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2
2
2a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2
2
2a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2
2
号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2
2
2
)(2b a ab b a -=-+
当
22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2
≥-b a ，即.2)(2
2
ab b a ≥+
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2
a b
ab +≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，
通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2
a b
ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2
a b
ab +≤
用分析法证明：
要证
2
a b
ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2
（4） 显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式2
a b
ab +≤
的几何意义 探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于
AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本不等式2
a b
ab +≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2
＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab .
这个圆的半径为
2b a +，显然，它大于或等于CD ，即
ab b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把
2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数.
[补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证：(1)
y
x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3
）≥
８x 3y 3
.
分析：在运用定理：
ab b
a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x ，y 都是正数 ∴
y
x ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3
＞0
(1)
x
y
y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3
≥233y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3
）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3
即（x ＋y ）（x 2
＋y 2
）（x 3
＋y 3
）≥８x 3y 3
. （三）、随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：ab b
a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0 ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
（四）、课时小结：本节课，我们学习了重要不等式a 2
＋b 2
≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2
b
a +），几何平均数（a
b ）及它们的关系（
2
b
a +≥a
b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤
2
2
2b a +，ab ≤（2b a +）2.
（五）、作业布置：课本P 94习题 1，2，3 五、教后反思：
第七课时 基本不等式（二） ——基本不等式与最大（小）值
一、教学目标：1．知识与技能：进一步掌握基本不等式2
a b
ab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2
a b
ab +≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。

三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 1．复习回顾
（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。

（2）、均值不等式成立的条件是什么？ 2．例题讲解：
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
解：（1）y ＝3x 2
＋12x 2 ≥2
3x 2
·12x
2 ＝ 6
∴y ∈[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时，y ≤－2
∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）
例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1
x －1
的最小值 解：y ＝（x －1）＋
1
x －1
＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3 问题：x ＞8时？ 总结：一正二定三相等。

介绍：函数y ＝x ＋1
x
的图象及单调区间
例3：求下列函数的值域
（1）y = x 2
＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1
x 2＋3x ＋5
解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3
x ＋1
＋ 1
当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ； 当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1
即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）
（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2
＋3x ＋5
x ＋1
则问题变为：y = 1
t ，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）
∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1
2 3 ＋1
]
又x ＋1 = 0时，y = 0
即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111
]
说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。

例4：求下列函数的最大值
（1）y ＝2x （1－2x ）（0＜x ＜1
2 ）
（2）y ＝2x （1－3x ）（0＜x ＜1
3 ）
学生练习，教师准对问题讲评。

例5：已知x ＋2y ＝1，求 1x ＋1
y 的最小值。

学生练习，教师准对问题讲评。

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3
，深为3m ，如果池底每1m 2
的造价为150元，池壁每1m 2
的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得
l ＝240000＋720（x ＋
1600
x
）≥240000＋720×2
x ·
1600
x
＝240000＋720×2×40＝297600
当x ＝1600x
，即x ＝40时，l 有最小值297600
因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
3．课堂小结：一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

4．课后作业
1）已知x + y = 2，求 2 x
＋2 y
的最小值。

2）求函数y = x
2
x 4＋9 (x ≠0)的最大值。

3）求函数y = x 2＋4x ＋6
x 2＋3x ＋5
的值域。

4）已知函数y = (3x ＋2)（1－3x ）（1）当－23 ＜x ＜1
3 时，求函数的最大值；
（2）当0≤x ≤1
4 时，求函数的最大、最小值。

五、教后反思：
第八课时 基本不等式（三）
一、教学目标：通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。

二、教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。

三、教学方法：启发引导式 四、教学过程
1．复习回顾（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。

（2）、均值不等式成立的条件是什么？ 2．例题讲解：
例1：已知a >1，0<b <1，求证：log a b ＋log b a ≤－2 解题思路分析：
由对数函数可知：log b a ＝1log a b ，log a b ＜0，因此由log a b ＋1
log a b 的结构特点联想到用基
本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。

∵log a b ＜0 ∴ －log a b ＞0 ∴－log a b ＋1
－log a b
≥2
(－log a b )·
1
－log a b
＝2
∴log a b ＋1
log a b
≤－2 即log a b ＋log b a ≤－2
当且仅当－log a b ＝1－log a b ，log a 2
b ＝1，log a b ＝－1时，等号成立，此时ab ＝1。

例2：已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2
的最大值.
解题思路分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2。

同时还应化简1＋y 2 中y 2
前
面的系数为 1
2
x 1＋y 2
＝x
2·1＋y 2
2
＝ 2 x ·
12 ＋y 2
2
下将x ，
12 ＋y
2
2
分别看成两个因式 x ·
12 ＋y
2
2
≤x 2
＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2
＋y 2
2 ＋12 2 ＝3
4
∴x 1＋y 2
＝ 2 ·x
12 ＋y 2
2 ≤ 3
4
2 例3：已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解题思路分析：。