岭东区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

岭东区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在中，，等于（ ）
ABC ∆60A =
1b =sin sin sin a b c
A B C
++++
A ．
B C
D 2． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
3． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
4． 圆（）与双曲线的渐近线相切，则的值为（ ）2
2
2
(2)x y r -+=0r >2
2
13
y x -=r
A B ． C ． D ．2【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
5． 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e
∈[1,1]y ∈-2ln 1y
x x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（ ）
a A.
B.
C.
D.1[,]e e
2(,]e e
2(,)e +∞21(,)
e e e
+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．6． 将函数（其中）的图象向右平移
个单位长度，所得的图象经过点
x x f ωsin )(=0>ω4
π
，则的最小值是（ ）)0,43(
π
ωA ． B ． C ．
D ．
313
57． 下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（ ）
()3x x
e e
f x --=
A ．
B ．
C ．
D ．(
ln y x =2
y x =tan y x =x
y e
=8． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
9． 已知向量，（），且，点在圆上，则(,2)a m = (1,)b n =- 0n >0a b ⋅= (,)P m n 22
5x y +=（ ）
|2|a b +=
A B ．
C ．
D ．10．设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（
）
A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
11．设集合（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
二、填空题
13．已知函数的三个零点成等比数列，则 .
5()sin (0)2
f x x a x π
=-≤≤2log a =14．下列命题：
①集合的子集个数有16个；{},,,a b c d ②定义在上的奇函数必满足；
R ()f x (0)0f =③既不是奇函数又不是偶函数；2
()(21)2(21)f x x x =+--④，，，从集合到集合的对应关系是映射；A R =B R =1
:||
f x x →A B f ⑤在定义域上是减函数．1
()f x x
=
其中真命题的序号是
．
15．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，
(1,1)=-a (1,2)=b {}
(,)|M OM λμλμΩ==+
a b O 给出结论如下：
①若，则；
(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；
M ,λμ(,)M λμ∈Ω
③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；
{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=
⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是
．
16．等差数列的前项和为，若，则等于_________.
{}n a n S 37116a a a ++=13S 三、解答题
17．对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；
②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a ∈R ，a ≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最
大值．　
18．（本小题满分12分）
中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各大学邀请的学生如下表所示：大学甲乙丙丁人数
8
12
8
12
从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座.（1）求各大学抽取的人数；
（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的
概率.
19．（本小题满分12分）已知函数．1
()ln (42)()f x m x m x m x
=+-+∈R （1）时，求函数的单调区间；当2m >()f x （2）设，不等式对任意的恒成立，求实数的[],1,3t s ∈|()()|(ln 3)(2)2ln 3f t f s a m -<+--()4,6m ∈a 取值范围．
【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．
20．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
21．（本小题满分12分）已知等差数列｛｝满足：（），，该数列的n a n n a a >+1*
∈N n 11=a 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且.1log 22-=+n n b a （1）求数列｛｝，｛｝的通项公式；
n a n b
（2）求数列｛｝的前项和.
n n b a n T 22．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，
且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求点P 的坐标．
岭东区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所011sin sin 6022S bc A bc =
===4bc =1b =
以，又由余弦定理，可得，所以4c =222220
2cos 14214cos 6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=a =
，故选B ．sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．
sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++2． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0）∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2∵2＞0∴f （2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4故选C ．　
3． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故
=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为
，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．　
4． 【答案】C
5． 【答案】B
【
解
析
】
6． 【答案】D
考
点：由的部分图象确定其解析式；函数的图象变换．()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin 7． 【答案】A 【解析】
试题分析：所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与不相同，D 为非()()f x f x -=-()f x 奇非偶函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性．
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：由等差数列的性质可知，16a 84102=+=+a a a .考点：等差数列的性质.9． 【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.10．【答案】D
【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．　
11．【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，集合B 中的解集为x ＞，则A ∩B=（，+∞）．故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
12．【答案】A 【解析】解：∵sinC=2sinB ，∴c=2
b ，
∵a 2﹣b 2=
bc ，∴cosA=
=
=
∵A 是三角形的内角∴A=30°
故选A ．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】12
-
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．14．【答案】①②【解析】
试题分析：子集的个数是，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③为偶函数，故错误.
2n
()2
41f x x =-对于④没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.0x =考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是个；对于
2n
奇函数来说，如果在处有定义，那么一定有，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要0x =()00f =根据定义，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合中任意一个
()()()(),f x f x f x f x -=-=-A 元素在集合中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1B 15．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．
由得，∴，①错误；
(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩2
1λμ=⎧⎨=⎩
与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；
OA = a OM μ=+ a b AM μ=
b M A b
由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④
2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 1
2
λμ=⎧⎨=⎩2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；
设，则有，∴，∴且，∴表示的一
(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩2133
1133x y x y
λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为，∴⑤错误．
(2,4)(2,2)
-16．【答案】26【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得，由等差数列的求和
371177362a a a a a ++==⇒=．
11313713()
13262
a a S a +=
==考点：等差数列的性质和等差数列的和．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）∵y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n]⊆（﹣∞，0）或[m ，n]⊆（0，+∞），故函数
在[m ，n]上单调递增．
若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．
∵x 2﹣3x+5=0无实数根，∴函数
不存在“和谐区间”．
（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n]⊆（﹣∞，0）或[m ，n]⊆（0，+∞），故函数
在[m ，n]上单调递增．
若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m 、n 是方程
，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m ，n 同号，只须△=a 2（a+3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m ，n]，∵
，∴当a=3时，n ﹣m 取最大值
18．【答案】（1）甲，乙，丙，丁；（2）.25
P =
【解析】
试题分析：（1）从这名学生中按照分层抽样的方式抽取名学生，则各大学人数分别为甲，乙，丙，丁；
4010（2）利用列举出从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的方法共有种，这来自同一所大学的取4015法共有种，再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.
试题解析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲2，乙3，丙2，丁3.
（2）设乙中3人为，丁中3人为，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为123,,a a a 123,,b b b ，，，，，，，，，，12{,}a a 13{,}a a 11{,}a b 12{,}a b 13{,}a b 32{,}a a 12{,}b a 22{,}b a 32{,}b a 31{,}a b ，，，，，共15种，
32{,}a b 33{,}a b 12{,}b b 13{,}b b 23{,}b b 这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为.62155P =
=考点：1、分层抽样方法的应用；2、古典概型概率公式.
19．【答案】
【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞
令，得2分()0f x '=112x =当时，单调递减； 4m =()0f x '≤)+∞当时，由，得；由，得24m <<()0f x '>()0f x '<
所以函数()f x
5分
f x
()
当时，函数
4
m>()
f x
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
20．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴
．
（2）c n ===﹣=，
∴数列{c n }的前n 项和为S n =﹣
+…+
=﹣2
=
﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）,；（2）.12-=n a n n n b 2
1=
n n n T 2323+-=【解析】试题分析：（Ⅰ1）设为等差数列的公差，且，利用数列的前三项分别加上后成等比数列，
d {}n a 0>d 3,1,1求出，然后求解；（2）写出利用错位相减法求和即可．d n b n
n n T 212...232321321-++++=
试题解析：解：（1）设为等差数列的公差，，d {}n a 0>d 由，，，分别加上后成等比数列，]
11=a d a +=12d a 213+=3,1,1所以 ，)24(2)2(2d d +=+ 0>d ∴2
=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n 又 ∴，即 （6分）1log 22--=n n b a n b n -=2log n n b 21=
考点：数列的求和．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，
在△PF1F2中，由勾股定理得，，
即4c2=20，解得c2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，∵，，
∴，解得．
∴P（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．。