2014届高考数学一轮复习 第四章《三角函数》精编配套试题(含解析)理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试
第四章三角函数
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.【某某省某某一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】函数tan(2)y x ϕ=+的最小正周期是
A ．2π
B ．π
C ．
2
π
D ．
4
π
2、（2013某某理）计算：4cos 50°－tan 40°＝( )
A. 2
B.
2＋3
2
C. 3 D ．2 2－1 3、【某某省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知,13
5
)4
sin(-=+πx 则x 2sin 的
值等于 A.
169120 B.169119 C.169120
- D.119169
- 4、（2013高考某某理）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后,得到一个
偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为
(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π
-
5、【市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图
所示，则此函数的解析式可能是
(A) 2sin(2)4y x π=-
(B) 2sin(2)4y x π
=+
(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216
x y π
=+
6、（2013高考某某)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )
(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x = 7、（2013某某理）在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若
2sin 3,a B b A =则角等于
A ．
12
π
B ．
6
π
C ．
4
π
D ．
3
π
8、函数()3sin 2cos 2f x x x =+（） A ．在(,)36ππ--单调递减 B ．在(,)63
ππ
单调递增
C ．在(,0)6π
-
单调递减 D ．()f x 在(0,)6
π
单调递增 9、【某某省某某四中2013届高三第四次月考理】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中
π
0,2
A ϕ><
）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）
（A ）向右平移
π6个长度单位（B ）向右平移π
12个长度单位 （C ）向左平移π6个长度单位 （D ）向左平移π
12
个长度单位
10、（2013某某理）在△ABC 中，∠ABC ＝π
4
，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )
A.
1010 B.105 C.31010 D.55 11．（2013某某理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin
B cos A ＝12
b ，且a >b ，则∠B ＝( )
A.
π6B.π3 C.2π3 D.5π
6
12、给出以下4个命题：
①函数4
4
sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k k Z π
αα=
∈；
③把函数3sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位得到函数3sin 2y x =的图象；
④函数sin 2y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在区间[0,]π上是减函数． 其中真命题的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（某某某某市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =▲． 14、（2013某某理）在△ABC ，∠C =90︒，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM =13，则sin ∠BAC =．
15．（2013
某某理）若12
cos cos sin sin ,sin 2sin 223
x y x y x y +=
+=
，则sin()________x y +=
16．设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x R ∈恒成立，则 ①11012f π⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
； ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④()f x 的单调递增区间是()2,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．
以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) （2013某某理）已知函数()12f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭,x ∈R .
(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭,求
23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭．
18．(本小题满分12分) （2013届某某奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏
东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+(
)
0450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13
13
2cos -
=∠EAC （1）求θcos ； （2）求该船的行驶速度v （海里/小时）；
19．(本小题满分12分)
（2013年高考某某理）设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
(I)若.a b x =求的值；(II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值
20．(本小题满分12分) （2013高考某某卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数
0ω>;
(1)若()y f x =在2[,]43
ππ
-
上单调递增,求ω的取值X 围;
(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位,再向上平移1个单位,得到函数
()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零
点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.
21．(本小题满分12分)
【某某省某某一中2013届高三1月调研理】（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求：
（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-C
C
的取值X 围．
22．(本小题满分12分)【某某省某某中学2013届高三第一次调研考试理】（本题12分）某
海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处
有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后
游向B 处.若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒.（不考虑水流速度等因素）
（1）请分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 到B
参考答案： 1、【答案】C
【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为2
T ππ
ω==，选C. 2、C
[解析] 原式＝4sin 40°－
sin 40°
cos 40°
＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°
cos 40°
＝2cos （40°－30°）－sin 40°
cos 40°
＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°
cos 40°
＝
3cos 40°
cos 40°
＝3，故选C.
3、【答案】D
【解析】因为,13
5
)4
sin(-=+πx 所以
5
cos )13
x x +=-
，两边平方得125
(1sin 2)2169
x +=
，解得119sin 2169x =-，选D. 4、B 5、【答案】B 【解析】由图象可知
52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T π
πω
==，所以2ω=。

所以2sin(2)y x ϕ=+，又()2sin(2)28
8
y f ππϕ==⨯+=，所以sin()14
π
ϕ+=，
即
2,4
2
k k Z π
π
ϕπ+=
+∈，所以24k π
ϕπ=
+，所以2sin(2)4
y x π
=+，选B. 6、B
7、【答案】 D 【解析】 3
=A 223
=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由π
π⇒<⇒⋅⋅A ， 选D
8、【答案】 D
【解析】1
()2cos 22cos 2)2
f x x x x x =+=+ 2(sin 2cos
cos 2sin )2sin(2)666
x x x π
ππ
=+=+
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，增区间为[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈
∴()f x 在(0,)6
π
单调递增。

9、【答案】A
【解析】由图象知71,41234T A πππ==-=，所以T π=。

又2,T ππω
==所以2ω=。

此时函数为()sin(2)f x x ϕ=+。

77()sin(2)11212f ππϕ=⨯+=-，即7sin()16
π
ϕ+=-，所
以sin(
)16
π
ϕ+=，即
2,6
2
k k Z π
π
ϕπ+=
+∈，解得2,3
k k Z π
ϕπ=
+∈，所以
()sin(2)3f x x π=+。

又()sin 2sin[(2)]sin[2()]3363
g x x x x ππππ
==-+=-+，所以直
线将()sin(2)3
f x x π
=+向右平移
6
π
个单位就能得到函数()sin 2g x x =的图象，选A.
10、C
[解析] 由余弦定理得AC 2
＝2＋9－2×3×2×22＝5，即AC ＝5，由正弦定理得3sin ∠BAC
＝
5
2
2，解得sin ∠BAC ＝3 10
10.
11、A
[解析] 由正弦定理可得到sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝1
2sin B ．因为B ∈(0，π)，
所以sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝sin B ＝12，则∠B ＝π
6，
故选A. 12、【答案】B
【解析】本题主要考查三角函数的变换，三角函数的概念以及三角函数的性质.属于基础知识、基本运算和综合能力的考查.
44sin cos y x x =-＝2222(sin cos )(sin cos )cos 2x x x x x +-=-，周期为π，①正确；
0k =时，②中0α=，终边不在y 轴上，②错误；把函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右
平移
6
π
个单位得到函数3sin 2y x =的图象正确；sin 2y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
＝cos x -在区间[0,]π上是增函数．④错误。

所以真命题的个数是2。

二、填空题 13、4
1-
14、【答案解析】
63 设BC =2a ，AC =b ，则AM =a 2+b 2，AB =4a 2+b 2
，sin ∠ABM= sin ∠ABC =AC AB
=b 4a 2+b
2
，在△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM =AM sin ∠ABM ，即a 13=a 2+b 2b 4a 2+b 2
，解得2a 2=b 2
，于是
sin ∠BAC =BC AB
=
2a 4a 2
+b
2
=6
3
． 15、【解答】1cos()2x y -=
，2sin 2sin 22sin()cos()3
x y x y x y +=+-=，故2
sin()3
x y +=
． 16、【答案】①②③
【解析】因为()sin2cos2f x a x b x ＝＋=)2sin(22θ++x b a ，若()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x R ∈恒成立，6
π
θ=
，),62sin()(22π
+
+=
x b a x f ①11012
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
正确； ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
正确；③()f x 既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误 三、解答题
17、【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛
⎫
⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭ 因为3cos 5θ=
,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-
,227
cos 2cos sin 25
θθθ=-=- 所以23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=
⎪⎝⎭. 18、（1）13
13
3cos 1sin ,13132cos 2=
∠-=∠∴-
=∠EAC EAC EAC EAC EAC EAC ∠⋅+∠⋅=⎪⎭⎫
⎝⎛∠-=sin 43sin cos 43cos 43cos cos πππθ
=26
2651313322)13132(22=
⨯+-⨯- （2）利用余弦定理55,125cos 2222=∴=⋅⋅-+=BC AC AB AC AB BC θ
该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为55海里， 该船的行驶速度5153
15
5==
v （海里/小时）
19、解：（I ）因为)
(),sin ,cos ,sinx x x x =
=a b ，所以222||)sin x x =+a
24sin x =。

222||cos sin 1x x =+=b 。

因为=a b ，所以24sin 1x =。

又因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，从而1sin 2x =
，所以6
x π=。

（II ）()f x =⋅a
b 2
cos sin x x x =⋅
+1cos 222
x
x -=
+
112cos 222x x =
-+=1sin(2)62x π-+。

当3x π=时，sin(2)6
x π
-取最大值1.所以函数()f x 的最大值为
3
2。

20、 (1)因为0ω>,根据题意有342
0243
2π
πωωππ
ω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤
⎨⎪≤⎪⎩(2) ()2sin(2)
f x x =,
()2sin(2())12sin(2)1
63
g x x x ππ
=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7
,12
x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相
离间隔依次为3π和23
π
,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为
2431415333πππ
⨯+⨯=
. 21、解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，2
1cos =∴A ， 又
0A π<<3
π
=
∴A ；sin A =
2
3
（II ）原式C C C C C C C C
C cos sin 2cos 21cos sin 1)
sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+
--=++-=，
)4
2sin(22cos 2sin π
-
=-=C C C ，
∵π3
20<
<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，
∴2)4
2sin(21≤-
<-π
C ，∴)(C f 的值域是]2,1(-．
22、（1）从A 处游向B 处的时间)(21502
2
3001s t ==
， 而沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处的时间)(2002
300
63002s t =+= 而2002150>，所以救生员的选择是正确的. （2）设CD=x ，则AC=300-x,22300x BC +=
，使救生员从A 经C 到B 的时间
3000,230063002
2≤≤++-=x x x t
2
90000261x x
t ++-='，令275,0=='x t
又0,300275;0,2750>'<<<'<<t x t x ， 知)(210050,275min s t x +== 答：（略）。