九年级数学下册 (27.2.3相似三角形的周长与面积) 课时同步优化习题(含答案)

27.2.3相似三角形的周长与面积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若
21===f e d c b a ,则f
d b
e c a ++++=_____________. 解析：由题意,得b=2a,d=2c,f=2e,代入化简可得答案. 答案：
2
1
2.如图27-2-3-1,D,E 分别是△ABC 中AB,AC 边上的中点,则S △ADE ∶S △ABC =________________.
图27-2-3-1
解析：两三角形的相似比为
21,故面积比为4
1. 答案：1∶4
3.如图27-2-3-2,D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点,且DE ∥BC,BE 交DC 于F 点,EF ∶FB=1∶3,则S △ADE ∶S △ABC 的值为( )
图27-2-3-2
A.1∶3
B.1∶9
C.1∶3
D.以上答案都不对
解析：由△DEF ∽△CBF 求得DE 与BC 的比,再由△ADE ∽△ABC 求得面积的比. 答案：B
4.在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm,那么它的周长由原来的3 cm 变成( )
A.6 cm
B.12 cm
C.24 cm
D.48 cm
解析：复印图形相似,相似比等于周长比,故变成12 cm. 答案：B
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( ) A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍 解析：根据相似三角形的周长与面积的关系求解. 答案：B
2.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )
A.75,115
B.60,100
C.85,125
D.45,85 解析：设较小的周长为x,则较大的为(x+40),由题意,得
23
15
40=
+x x ,解之,得x=75. 答案：A
3.如图27-2-3-3所示,D,E,F 分别在△ABC 的边上,DE ∥BC,EF ∥AB,如果AD ∶DB=1∶2,则S △DEF ∶S △ABC 等于( )
图27-2-3-3
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶9
D.2∶9 解析：易得△ADE ∽△ABC,所以
3
1
=+==DB AD AD AB AD BC DE .DE 到BC 的距离与△ABC 的高的比等于2∶3,所以
9
2
3132=∙=∆∆ABC DEF S S . 答案：D
4.两个相似多边形对应边的比为3∶2,小多边形的面积为32 cm 2,那么大多边形的面积为_____ 解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方. 答案：72 cm 2
5.如图27-2-3-4,已知D,E 分别是△ABC 的AB,AC 边上一点,DE ∥BC,且S 下标△ADE ∶S 下标四边形DBCE=1∶3,则AD ∶AB=______________.
图27-2-3-4
解析：两三角形的面积比为
41,故两三角形的相似比为2
1. 答案：1∶2
6.某块地的平面如图27-2-3-5,∠A=90°,其比例尺为1∶2 000,根据图中标注的尺寸(单位:cm),求这块地的实际周长和面积.
图27-2-3-5
解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为32 cm,根据比例尺转化为640 m.图上四边形的面积可分为△ABD 和△BCD 的面积的和.因为△ABD 为直角三角形,所以BD=5.又CD=12,BC=13,所以△BCD 为直角三角形,四边形的面积为
21×3×4+2
1×12×5=36.利用比例尺折合为14 400 m 2. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.如图27-2-3-6所示,在正方形网格上有两个三角形:△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2,则△A 1B 1C 1的面积与△A 2B 2C 2
的面积之比等于( )
A.4∶1
B.3∶1
C.5∶2
D.5∶3
图27-2-3-6
解析：设正方形网格上的每个小正方形的边长为a,则111C B A S ∆=2522
11a a C B =∙, 222C B A S ∆=222222a a C A =∙,故111C B A S ∆∶222C B A S ∆=2
2:252
2a a =5∶2.
答案：C
2.如图27-2-3-7,把△ABC 沿AB 平移到△A′B ′C′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半.若AB=2,则此三角形移动的距离AA′是( )
图27-2-3-7
A.2-1
B.22
C.1
D.2
1 解:∵A′C′∥AC, ∴△A′DB ∽△ACB. ∴
2
)(AB
B A S S ACB DB A '=∆'∆. ∵AB=2,S △A′DB =
21
S △ACB ,∴21)2
(
2='B A ∴A′B=1.∴AA′=AB -A′B=2-1.
答案：A
3.如图27-2-3-8,D 是△ABC 的边AB 上一点,∠B=∠ACD,AC=1,△ACD 与△BDC 的面积之比为2∶1,则AD 的长为___________.
图27-2-3-8 图27-2-3-9 解析：找准对应边,然后运用相似三角形的性质. 答案：
3
6 4.如图27-2-3-9,在△ABC 中,AD ∶DB=1∶2,DE ∥BC,若△ABC 的面积为9,则四边形DBCE 的面积为_____________.
解析：∵S △ADE ∶S △ABC =1∶9,∴S △ADE =1.∴四边形的面积为8. 答案：8
5.(2010浙江温州模拟,16)如图27-2-3-10,在直线m 上摆放着三个正三角形:△ABC,△HFG ,△DCE,已知BC=
2
1
CE,F,G 分别是BC,CE 的中点,F M ∥AC,GN ∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S 2,S 3,若S 1+S 3=10,则S 2=_______________.
图27-2-3-10
解析：∵△ABC ∽△HFG ∽△DCE,∴S △ABC ∶S △DCE =1∶4.∴S 1∶S 3=1∶4.∴S 1=2.∴S 2=2S 1=4. 答案：4
6.如图27-2-3-11,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,P 为AB 上一点,Q 为BC 上一点,且PQ ⊥AB,若△BPQ 的面积等于四边形APQC 面积的
4
1
,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC 的面积.
图27-2-3-11
解：∵∠C=∠QPB,∠B=∠B, ∴△BPQ ∽△BCA. 又∵S △BPQ ∶S △BCA =1∶5,∴
5
1
AB QB . ∴QB=5.∴QP=1.
∴S △BPQ =1.∴S △BCA =5.
7.如图27-2-3-12,在ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是BE 的中点,AE 与DF 相交于点H,则S △EFH 与S △ADH 的比值是多少?
图27-2-3-12
解：∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC.
∵E 是BC 的中点,∴BE=
21BC=21
AD. ∵F 是BE 的中点,∴EF=21BE=4
1
AD.
又∵ABCD 中,AD ∥BC,即AD ∥FE,
∴△EFH ∽△ADH.
∴S △EFH ∶S △ADH =EF 2∶AD 2=1∶16.
8.等腰△ABC 中,顶角为A,AD ⊥BC 于D 点,AD=12 cm,BC=10 cm,等腰△A′B′C′中,A′D′⊥B′C′于D′点,且△ABC ∽△A′B′C′,AB ∶A′B′=1∶3. (1)求A′B′的长; (2)求A′D′的长;
(3)求△A ′B′C′的周长; (4)求△A′B′C′的面积. 解：(1)因为BD=CD(等腰三角形三线合一),所以BD=5 cm.所以AB=13 cm,AD=12 cm,BC=10 cm.所以△ABC 周长为36 cm,面积为60 cm.因为△ABC ∽△A′B′C′,相似比为1∶3,所以周长比为1∶3,面积比为1∶9,所以A′B′=39 cm. (2)A′D′=36 cm.
(3)△A′B′C′周长为108 cm. (4)S △A′B′C′=540 cm 2.
9.寒假里,小亮帮妈妈到集市上去买鱼,鱼摊上有一种鱼,个个长得都非常相似,现有两种不同的价格,鱼长10 cm 的每条10元,鱼长13 cm 的每条15元,小亮不知道买哪种更好,请你帮他出个主意.
图27-2-3-13
解：∵103∶133<10∶15,∴买13 cm 的鱼合算.
10.如图27-2-3-14,有一个半径为50米的圆形草坪,现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道. 小明说:草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆是相似的图形. 小颖说:任意两个圆都相似.
小刚说:这两个圆的半径的比是5∶6,周长的比应该也是5∶6,面积的比也是5∶6. 你认为他们的说法对吗?为什么?
图27-2-3-14
解：小明,小颖的说法正确,小刚的说法不对. ∵圆是相似图形,
∴面积的比等于相似比的平方,周长的比为相似比(半径的比).
11.某生活小区的居民筹集资金1 600元,计划在一块上,下底分别为10 m,20 m 的梯形空地上种植花木,如图27-2-3-15.
(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花,单价8元/m 2,当△AMD 地带种满花后(图27-2-3-15中阴影部分),共花了160元,请计算种满△BMC 地带所需的费用.
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m 2和10元/m 2,应选择哪种花木,
刚好用完所筹集的资金?
图27-2-3-15
解：(1)∵四边形ABCD 是梯形,∴AD ∥BC. ∴△AMD ∽△BMC. ∴
4
1
)(2==∆∆BC AD S S BMC AMD .
∵种植△AMD 地带花费160元, ∴S △AMD =
8
160
=20(m 2). 从而S △BMC =80 m 2.
∴种△BMC 地带的花费为80×8=640(元).
(2)设△AMD,△BMC 的高分别为h 1,h 2,梯形ABCD 的高为h.[Z,X,X,K] ∵S △AMD =2
1×10×h 1=20, ∴h 1=4. 又∵
BC AD h h =21=2
1,∴h 2=8. ∴h=h 1+h 2=4+8=12. ∴S 梯形ABCD =
21(AD+BC)h=2
1×30×12=180. ∴S △AMB +S △DMC =180-20-80=80(m 2).
若种玫瑰,则共花费160+640+80×12=1 760(元). 若种茉莉花,则共花费160+640+80×10=1 600(元). 故种茉莉花刚好用完所筹集的资金.[]。