2012届高考数学一轮复习 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)教案

4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）
●知识梳理 1.C （α+β）的推导
角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］
2
+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2
.
∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索
（1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （
2
π
－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=
α
α
cos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.
●点击双基
1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于
A.－21
B.2
1
C.－23
D.
2
3
解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）
=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=
2
1. 答案：B
2.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ），
∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B .∴cos A sin B －sin A cos B =0. ∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B 3.︒
︒
-︒70sin 20sin 10cos 2的值是
A.
2
1 B.
2
3
C.3
D.2
解析：原式=︒
︒
-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（
=
︒
︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3. 答案：C
4.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－13
5
，则sin α=_______.
解析：由0＜α＜
2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π
3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－65
56
. 由cos β=－
135，得sin β=13
12. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533·（－13
5
）－（－
6556）·1312=－845
507
. 答案：－
845
507
5.△ABC 中，若b =2a ，B =A +60°，则A =_______.
解析：利用正弦定理，由b =2a ⇒sin B =2sin A ⇒sin （A +60°）－2sin A =0⇒3cos A －
3sin A =0⇒sin （30°－A ）=0⇒30°－A =0°（或180°）⇒A =30°.
答案：30° ●典例剖析
【例1】 设cos （α－2
β
）=－
91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2
π
，求cos （α+β）.
剖析：
2
β
α+=（α－
2
β
）－（
2
α
－β）.
依上述角之间的关系便可求之. 解：∵
2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2
π
. 故由cos （α－
2β）=－91
，得sin （α－2β）=954.
由sin （2α－β）=32，得cos （2
α
－β）=35.
∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2
α
－β）］= (2757)
∴cos （α+β）=2cos 22
β
α+－1=…=－729
239.
评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.
【例2】 （2000年春季京、皖）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c .
证明：
2
2
2c b a -=
C B A sin sin ）
（-.
剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.
证明：由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，b 2=a 2+c 2
－2ac cos B ，
∴a 2－b 2=b 2－a 2
－2bc cos A +2ac cos B ， 整理得
2
2
2c b a -=
c
A
b B a cos cos -.
依正弦定理有c a =C A sin sin ，c b =C B sin sin ，∴2
22c b a -=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin sin ）
（-.
评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A +B +C =π，a +b ＞c ，a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B 等.
【例3】 已知α、β、γ∈（0，
2
π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值.
剖析：由已知首先消去γ是解题关键.
解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β.
平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2
=1.
∴－2cos （β－α）=－1.∴cos （β－α）=
21.∴β－α=±3
π. ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α.∴β－α=3
π
. 评述：本题极易求出β－α=±3
π
，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.
●闯关训练 夯实基础
1.（2004年上海，1）若tan α=
21，则tan （α+4
π
）=____________. 解析：tan （α+4
π）=4πtan tan 14πtan
tan ⋅-+αα=1
2
111
21
⨯-+=3.
答案：3
2.要使sin α－3cos α=m
m --46
4有意义，则应有 A.m ≤
3
7
B.m ≥－1
C.m ≤－1或m ≥
3
7
D.－1≤m ≤
3
7 解析：2sin （α－3π）=m m --464⇒sin （α－3π）=m
m --43
2.
由－1≤
m m --432≤1⇒－1≤m ≤3
7. 答案：D
3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2
B.2+3
C.4
D.3
3
4 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒
︒15sin 15cos =︒︒︒
+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.
解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =3
3133
1+
-
=3
333+-. ∴原式=
3
333+-+
3333-+=4.
答案：C 4.在△ABC 中，若
2
2b a =
B
A
tan tan ，则△ABC 的形状为_______. 解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为B
A 22sin sin =
B A B A sin cos cos sin ⇒B A sin sin =⇒A B
cos cos
sin2A =sin2B ⇒2A =2B 或2A =π－2B ⇒A =B 或A +B =
2
π
. 答案：等腰三角形或直角三角形 5.（2004年湖南，17）已知tan （4π
+α）=2，求α
αα2cos cos sin 21+的值. 解：由tan （
4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，得tan α=3
1
. 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα22
2
cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2
=1
3
121
312
+⨯+）（=32
. 6.已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2
π），求β. 解：由cos α=71，cos （α+β）=－1411，得cos β=cos ［（α+β）－α］=2
1， 得β=
3
π. 培养能力 7.已知sin （
4π－x ）=135，0＜x ＜4
π
，求）
（x x
+4
πcos 2cos 的值.
分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4
π
－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.
解：∵（
4π－x ）+（4π+x ）=2π，∴cos （4π+x ）=sin （4
π
－x ）.
又cos2x =sin （2π－2x ）=sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4
π
－x ）， ∴
）
（x x +4
πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.
8.已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=
m
m
-+11tan α. 证明：∵sin β=m sin （2α+β）， ∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］.
∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α. ∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=
m
m
-+11tan α. 9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2
π3）. （1）求cos α的值；
（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－10
10
的锐角x . 解：（1）因为
4π5＜α＜2π3，所以2
π
5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－
5
4
. 由cos2α=2cos 2
α－1，所以cos α=－
10
10. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－10
10， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010.所以sin x =2
1. 因为x 为锐角，所以x =6
π. 探究创新
10.sin α+sin β=
2
2
，求cos α+cos β的取值范围. 解：令t =cos α+cos β，
① sin α+sin β=2
2
，
②
①2+②2，得t 2+2
1
=2+2cos （α－β）.
∴2cos （α－β）=t 2
－2
3
∈［－2，2］. ∴t ∈［－
214，2
14］. ●思悟小结
1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟
练掌握公式的变形应用.
2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.
3.注意倍角的相对性，如3α是
2
3
的倍角. 4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛
1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C （α+β）.
2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.
拓展题例
【例1】 已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），（a ≠b ）. 求证：（a +b ）⊥（a －b ）. 分析：只要证（a +b ）·（a －b ）=0即可.
证法一：（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2
=1－1=0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.
证法二：在单位圆中设OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作□OACB ，则OACB 为菱形.
∴OC ⊥BA . ∴OC ·BA =0， 即（a +b ）·（a －b ）=0. ∴（a +b ）⊥（a －b ）. 【例2】 α、β∈（0，
2
π），3sin 2α+2sin 2
β=1，① 3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值.
解：由①得3sin 2α=1－2sin 2
β=cos2β.
由②得sin2β=
2
3
sin2α. ∴cos （α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2
α－sin α·2
3
sin2α=0. ∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2
π3）. ∴α+2β=2
π.。