中值定理

M = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )} , m = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,⋯, f ( xr ) , f ( a ) , f ( b )}.
渐近线的求法 ⑴水平渐近线 若函数 f ( x ) 满足
移项后即有
f ′ (ξ ) =
f (ξ ) − f ( a ) b −ξ
.
例3
内至少有一个根． 在 ( a, b ) 内至少有一个根．
b 求证： a > 0, b > 0 , 求证：方程 f ( b ) − f ( a ) = x ln f ′ ( x ) a
若函数 f ( x ) 在区间 I 上满足：∀x1 , x2 ∈ I , 上满足：
上的图形是(向上 凸的(或凸弧 向上)凸的 或凸弧)． 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 ．
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2
注：凹弧和凸弧有下面的等价定义
处的曲率为： 在点 ( x, y ) 处的曲率为： y′′ K= 1 + y ′2
(
)
3
.
确定， 若曲线由参数方程 x = x(t ) ，y = y (t ) 确定，其中
x(t ) 和 y (t ) 二阶可导，则 二阶可导，
K=
x′ ( t ) y′′ ( t ) − x′′ ( t ) y′ ( t ) ( x′ 2 + y ′ )
的极值． 则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值．若 f ′′ ( x0 ) > 0 ，则 f ( x0 ) 为
5．函数的最大值和最小值 ．
M , m，记 f ′ ( x )的零点和不可导点为 x1 , x2 ,⋯.xr ,
则
设 f ( x )在 [ a, b]上连续，记最大值和最小值分别为 上连续，
2．泰勒公式 ． 阶导数， 直到 n + 1 阶导数，则对于 x ∈ ( a, b )，有 定理 如果函数 f ( x )在含 x0 的某个开区间 ( a, b )内具有
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) + + f ( n ) ( x0 ) n!
f ′′ ( x0 ) 2
证 由条件知：g ( a ) g ( b ) ≠ 0. 若 g ( a ) g ( b ) < 0, 则存 由条件知： 在ξ ∈ ( a, b ) ，使得 g (ξ ) = 0, 从而 f 件是矛盾的． 件是矛盾的． 由罗尔定理， 又 f ( a ) = f ( b ) = 0 , 由罗尔定理，知∃ξ ∈ ( a, b ) ，使得
y y=f (x)
y=ϕ (x) o a
ξ b
x
3) 柯西中值定理 设 f ( x ) , g ( x) 均在[a, b] 上连续， 上连续， 内可导， 在 (a, b) 内可导，且 g ′ ( x ) ≠ 0 ，那么至少存在一点
ξ ∈ ( a, b ) ，使得
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . g (b) − g (a ) g ′(ξ )
f (1 − λ ) x1 + λ x2
(1− λ) f ( x1 ) + λ f ( x2 )
o
x2 (1 − λ ) x
1
+ λ x2 x1
x
o
x2 (1 − λ ) x
1
+ λ x2 x1
x
凹弧
凸弧
函数凹凸性的判定方法： 函数凹凸性的判定方法： 的图形是凹的； 的图形是凹的；若函数 y = f ( x ) 的导函数 f ′ ( x )单调 下降， 的图形是凸的． 下降，则 f ( x ) 的图形是凸的． 单调上升， ⑴若函数 y = f ( x ) 的导函数 f ′ ( x ) 单调上升，则 f ( x )
y
(
)
( x , f ( x ))
0 0
y = f ( x)
o x
3)极值 极值 若函数 y = f ( x ) 满足：存在 x0 的邻域 U ( x0 ), 满足：
当 x ∈ U ( x0 ) ,有
则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极大值；若 的极大值； 的极小值． 则 f ( x0 )为 f ( x ) 的极小值．
f ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) + + f(
n)
f ′′ ( x0 ) 2
n
( x − x0 )
2
+⋯
( x0 )
n!
( x − x0 )
n
+ o ( x − x0 ) .
(
)
0 ∞ 基本未定式 , . 0 ∞
其他未定式 法则： 法则：
3．洛必达法则 ．
y C A o a ξ y=f(x) B
注 罗尔定理主要应用于讨论 导函数的零点． 导函数的零点．
b
x
2) 拉格朗日中值定理 内可导， 在 (a, b)内可导，则存在 ξ
上连续， 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，
∈ (a, b) ，使得
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) =
f ′ (ξ ) = 0 .
例2
明在 ( a, b )内存在一点 ξ ，使
上连续， 内可导． 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b ) 内可导．证
证
f (ξ ) − f ( a ) f ′ (ξ ) = . b −ξ 令 F ( x ) = ( b − x ) f ( x ) − f ( a ) ，则 F ( x ) 在
∀ 若函数 y = f ( x ) 在区间I 内满足： x1 , x2 ∈ I , 内满足：
∀ 内满足： 若函数 y = f ( x ) 在区间I 内满足： x1 , x2 ∈ I ,
y
(1− λ) f ( x1 ) + λ f ( x2 )
y = f ( x)
y f (1 − λ ) x1 + λ x2
f ( x ) < f ( x0 ) , f ( x ) > f ( x0 ) ,
y
y = f (x)
x1
o x2
x3
x4
x5
x
极小值点 极大值点 极小值点极大值点 极小值点
极值存在的条件 ⑴若函数在点x0 处取得极值，且f ′ ( x0 ) 存在，则 处取得极值， 存在， 处连续， ⑵设函数在 x0 处连续，若函数的导数 f ′ ( x )在点 x0 的两 侧有不同的符号，则 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值．若 f ′ ( x ) 的极值． 侧有不同的符号， 为极大值； 由 + → − ，则 f ( x0 ) 为极大值；若 f ′ ( x ) 由 为极小值． 则 f ( x0 ) 为极小值．
lim f ( x ) = a
x →∞
则函数 f ( x ) 的曲线有水平渐近线 ⑵垂直渐近线 若函数 f ( x ) 满足
x → x0
( lim f ( x ) = a, lim f ( x ) = a ) ,
x →+∞ x →−∞
y = a.
lim f ( x ) = ∞
lim f x = ∞, lim f x = ∞ , ( ) x → x+ ( ) − x → x0 0
f ′ ( x0 ) = 0.
− → +，
y
y′ 由 + → −
y
y ′由 − → +
y = f ( x)
y = f ( x)
o x0 x o x0
f ( x0 ) 为极大值
f ( x0 ) 为极小值
x
处满足： ⑶若函数 f ( x ) 在点 x0 处满足： ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) ≠ 0, f 极小值； 为极大值． 极小值；若 f ′′ ( x0 ) < 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值．
3 2 2
.
当曲率不为零， 当曲率不为零，相应的曲率半径为
1 R= . K
二、例题选讲
例1 函数， 的两个相邻单根．证明： 函数，a, b为 f ( x ) 的两个相邻单根．证明： 设 f ( x ) = ( x − a )( x − b ) g ( x ) 其中 g ( x ) 为多项式
⑴ g ( a ) g ( b ) > 0 ；⑵ ∃ξ ∈ ( a, b ) 使得 f ′ (ξ ) = 0.
( x − x0 )
n +1
2
+⋯
( x − x0 )
n
+
f ( n +1) (ξ )
( n + 1)!
( x − x0 )
.
带有佩亚诺型余项的泰勒展开式 定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0的开区间( a, b ) 内有 n
阶连续导数， 阶连续导数，则对于 x ∈ ( a, b ) , 有
f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ) < λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) , ∀λ ∈ [0,1] ， 上的图形是(向上 凹的(或凹弧 向上)凹的 或凹弧)； 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凹的 或凹弧 ； f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ) > λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) , ∀λ ∈ [0,1] ， 上的图形是(向上 凸的(或凸弧 向上)凸的 或凸弧)． 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 ．
[a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， F ( a ) = F ( b ) = 0 . 上连续， 内可导，
且 则由罗尔定理得， 则由罗尔定理得，存在ξ ∈ ( a, b ) , 使得 F ′ (ξ ) = 0, 即
( b − ξ ) f ′ (ξ ) − f (ξ ) − f ( a ) = 0 .
⑵若函数 y = f ( x ) 二阶可导，且 y′′ ( x ) > 0, 则 f ( x ) 二阶可导，
的图形是凹的； 的图形是凸的． 的图形是凹的；若 y′′ ( x ) < 0, 则 f ( x ) 的图形是凸的．
若函数 y = f ( x ) 的图形在点 x0 , f ( x0 ) 的两侧有不 同的凹凸性，则称该点为图形的拐点． 同的凹凸性，则称该点为图形的拐点．
4．曲线形态的讨论 ．
( )
( )
f ( x)
f ( x)
单
且在任 单
∀ 2) 凹凸性 若函数 y = f ( x ) 在区间I 内满足： x1 , x2 ∈ I , 内满足：
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )< , 2 2 上的图形是(向上 凹的(或凹弧 向上)凹的 或凹弧)； 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是 向上 凹的 或凹弧 ；
1) 单调性 若函数 y = f ( x ) 的导函数 f ′ ( x ) ≥ 0 且在 任 何一个有限区间内最多只有有限多个零点， 0 何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则 y= f x f′ x ≤ 调上升； 调上升；若函数 的导函数 何一个有限区间内最多只有有限多个零点， 何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则 调下降． 调下降．
一、本 章 要 点
1．中值定理 ． 2．泰勒公式 ． 3．洛必达法则 ． 4．曲线形态的讨论 ． 5．函数的最大值与最小值 ． 6．曲率 ．
1．中值定理 ． 1) 罗尔定理 上连续， 内可导， 定理 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
f ( a ) = f ( b ) ，则存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 f ′(ξ ) = 0 ．
0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 0 ,1 , ∞ . f ( x) f ′( x) lim = lim . x g ( x) x g′ ( x)
0 0
∞
只有当等式左边是基本未定式， 注 1) 只有当等式左边是基本未定式，且右边的极限存 在时，才能使用该法则； 在时，才能使用该法则； 2) 在求极限过程中，可能要多次使用该法则； 在求极限过程中，可能要多次使用该法则； 3) 在使用过程中，要注意简化． 在使用过程中，要注意简化．
则函数 f ( x ) 的曲线有垂直渐近线 x
= x0 .
满足： ⑶斜渐近线 设函数 f ( x ) 满足：
lim
f ( x) x
x →∞
= a, lim f ( x ) − ax = b,
x →∞
则函数 f ( x ) 有斜渐近线
y = ax + b.
6．曲率 ． 设函数 f ( x ) 在[ a, b] 上的二阶导数存在，则函数曲线 上的二阶导数存在，