2014届高考数学(理科)专题教学案：圆锥曲线的综合问题(含答案)

常考问题13 圆锥曲线的综合问题
[真题感悟]
(2013·山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为3
2
，过F 1
且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明
1
kk 1＋
1
kk 2
为定值，并求出这个定值．
解 (1)由于c 2
＝a 2
－b 2
，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，由题意知2b
2
a
＝1，
即a ＝2b 2
.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)法一 如图，由题意知
|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|，即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m ，整理得m ＝3
2(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3. ∴－32<m <32.故m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.
法二 由题意知PF 1→·PM
→
|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM
→
|PF 2→||PM →|，
即PF 1→
·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM
→
|PF 2→|
.
设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得m (4x 20－16)＝3x 3
0－12x 0. 所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.
(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，
则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
＋y 2＝1，y －y 0＝k x －x 0，
整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 2
0－1)
＝0.
所以Δ＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 2
0＝0.
又x 20
4＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 2
0＝0.故k ＝－x 04y 0，由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0
＝2x 0y 0
.
所以1kk 1＋
1
kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x 0y 0＝－8.
所以
1
kk 1＋1
kk 2
为定值，这个定值为－8.
[考题分析] 题型 解答题
难度 中档 有关椭圆、双曲线等知识的综合考查．
高档 有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.
1．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2
|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1
k
2|y 2－y 1|.
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 2．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端
点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2
，a 2
]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.
(2)双曲线中的最值
F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原
点，则有
①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 3．定点、定值问题
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 4．解决最值、范围问题的方法
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.
热点一 圆锥曲线的弦长问题
【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，
B 是直线AF 2与椭圆
C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．
解 (1)设椭圆的半焦距为c .由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，所以b ＝3c ，b 2
＝3c 2
，
a 2＝4c 2，a ＝2c ，
所以e ＝1
2
.
(2)法一 因为a 2
＝4c 2
，b 2
＝3c 2
， 所以直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2
＋4y 2
＝12c 2
， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8
5
c ，－3 35c .
所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝16
5
c .
由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB | sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2
＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.
法二 设|AB |＝t .
因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .
由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2
＝a 2
＋t 2
－2at cos 60°， 可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2
＝403，
知a ＝10，b ＝5 3.
[规律方法] 在解析几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．
【训练1】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，
B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →
.
(1) 求椭圆C 的离心率；
(2)如果|AB |＝15
4
，求椭圆C 的方程．
解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2
－b 2
.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2
b
2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4
＝0.
解得y 1＝－3b 2
c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2
c －2a 3a 2＋b
2
. 因为A F →＝2F B →
，所以－y 1＝2y 2，即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2
c －2a 3a 2＋b 2
，得离心率e ＝c a
＝2
3
. (2)因为|AB |＝
1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 2
3a 2＋b
2＝154. 由c a ＝23，得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1. 热点二 定点、定值问题
【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，以
原点为圆心，椭圆
C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知b ＝
22＝ 2.
因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a
＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1
2
. 所以a ＝2 2.
所以椭圆C 的方程为x 28＋y 3
2
＝1.
(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝
y 0－1x 0
x ＋1.①
直线QN 的方程为y ＝
y 0－2
－x 0
x ＋2.② 法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3
由x 208＋y 20
2
＝1可得x 20＝8－4y 2
0， 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋43y 0－42
82y 0
－32
＝8－4y 20＋43y 0－42
82y 0－3
2
＝32y 2
0－96y 0＋7282y 0－32＝82y 0－3
28
2y 0－3
2
＝1.
所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )
联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －4
2y －3
，
因为x 208＋y 20
2＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32
＝1.
整理得x 2
8＋
3y －42
2＝(2y －3)2
，所以x 28＋9y 2
2
－12y ＋8＝4y 2
－12y ＋9，
即x 28＋y 2
2
＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．
[规律方法] (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关
键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．
【训练2】 (2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
1－a 2
＝1的焦点在x 轴上．
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． (1)解 因为焦距为1，且焦点在x 轴上，所以2a 2－1＝14，解得a 2
＝58.
故椭圆E 的方程为8x 2
5＋8y
2
3
＝1.
(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2
－1.
由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0
x 0＋c
.
直线F 2P 的斜率kF 2P ＝
y 0x 0－c
.
故直线F 2P 的方程为y ＝y 0
x 0－c
(x －c )．
当x ＝0时，y ＝
cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝
y 0c －x 0
. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·
y 0
c －x 0
＝－1.
化简得y 2
0＝x 2
0－(2a 2
－1)，①
将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2
，y 0＝1－a 2
. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上． 热点三 最值、范围问题
【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)右
焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，
则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，y 1－y 2x 1－x 2
＝－1，
由此可得b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－y 2－y 1
x 2－x 1
＝1.
因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
，
所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝1
2
.
所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝1
2(x 1＋x 2)．
所以可以解得a 2
＝2b 2
，又由题意知，
M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.
所以a 2
＝6，b 2
＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
(2)将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 2
3＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
433，y ＝－3
3
或⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝ 3.
所以可得|AB |＝46
3
；
由题意可设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 所以设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，
将y ＝x ＋m 代入x 2
6＋y 2
3＝1，得3x 2
＋4mx ＋2m 2
－6＝0，解得x 1＝－2m ＋18－2m
2
3
，x 2＝
－2m －18－2m 2
3
，
则|CD |＝2|x 1－x 2|＝43
9－m 2
，
又因为Δ＝16m 2
－12(2m 2
－6)>0，即－3<m <3， 所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，
所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝86
3.
[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：
(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
【训练3】 已知椭圆C ：x 2m
2＋y 2
＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，
定点A的坐标为(2,0)．
(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；
(2)若m＝3，求PA的最大值与最小值；
(3)若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24
＋y 2＝1，c ＝4－1＝3， ∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．
(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2
＝1，设P (x ，y )，则 PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2
＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12
(－3≤x ≤3) ∴当x ＝94时，PA min ＝22
；当x ＝－3时，PA max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则
PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2
＋1－x 2
m 2 ＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1
＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m
2＞0， ∴2m 2m 2－1
≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.
备课札记：
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