03-27.2 反比例函数的图像和性质-课时2 反比例函数的性质九年级上册数学冀教版

7.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线 与轴平行，且直线与反比例函数 和的图像分别交于点， .
（1）求点 的坐标；
解:轴， 点 的纵坐标为2.把代入,得 点的坐标为 .
（2）若的面积为8，求 的值.
解： ，， .由函数图像知， ．
27.2 反比例函数的图像和性质
课时2 反比例函数的性质
过能力 学科关键能力构建
A
A.或 B.或 C.或 D.或
【解析】 如图，因为反比例函数中， , 所以其图像位于第一、三象限，且在每个象限内，的值随值的增大而减小，则当 时，对应的图像在第三象限，的取值范围是 .当时，对应的图像在第一象限， 的取值范
围是.所以当，且时，的取值范围是或 .
3.原创题 一题多解在平面直角坐标系中，反比例函数 与的图像如图所示，点是轴上一点，直线 轴，且分别与函数,的图像交于点，，连接，.若的面积为 ，则 ___.
1.教材P137T3变式[2022武汉中考]已知点， 在反比例函数的图像上，且 ，则下列结论一定正确的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ， 该反比例函数的图像位于第一、三象限，且在每个象限内，的值随值的增大而减小.， 点A位于第三象限，点B位于第一象限， ．
2.[2024温州六校联考]对于反比例函数，当，且 时，自变量 的取值范围是( )
3.[2023邢台期末]已知反比例函数，若，则 的取值范围为__________；若,则 的最大值为____．
【解析】 反比例函数中，， 此函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内，的值随值的增大而减小.当 时，， 当时，；当时，, 当时，的最大值为 ．
第6题图
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点，分别在轴、轴上，点在函数， 为常数，且的图像上，边与函数 的图像交于点，则阴影部分的面积为___．（结果用含 的式子表示）
【解析】 点在反比例函数的图像上， 根据反比例函数中的几何意义，得 点 在反比例函数，为常数，且的图像上，四边形为矩形， 根据反比例函数中 的几何意义，得 ．
5.（1）解:, 当时,随的增大而减小, 当时, ,即.①, 当时，随的增大而增大, 当时,,即.②联立①②，解得,.
（2）圆圆的说法不正确.理由如下：取,满足,则.当时，，即;当时,，即.此时,所以圆圆的说法不正确.
素养提升 6.（1）解:. 反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于，两点，，，．
知识点2 比较反比例函数的函数值的大小
4.一题多解 [2023成都中考]若点,都在反比例函数 的图像上，则___.（填“ ”或“ ”）
解法一 点,都在反比例函数 的图像上，，， .解法二 ， 在每个象限内，的值随 值的增大而减小，又， .
变式1已知点，，均在反比例函数 的图像上，若，则___.（填“ ”“ ”或“ ”）
知识点3 的几何意义
第5题图
5.[2023湘潭中考]如图，平面直角坐标系中， 是坐标原点，点是反比例函数 图像上的一点，过点分别作轴于点， 轴于点.若四边形的面积为2，则 的值是( ) Aຫໍສະໝຸດ A.2 B. C.1 D.
【解析】 根据反比例函数中的几何意义，可得 .又 反比例函数的图像在第一、三象限，, .
如图，过点作轴于点，过点 作轴于点，则 . ， . ， .又， 点 在反比
例函数的图像上，， .设图像经过点的反比例函数的表达式为，则，, 图像经过点的反比例函数的表达式为 .
5.设函数, .
（1）当时,函数的最大值是,函数的最小值是,求和 的值.
解:, 当时,随的增大而减小, 当时, ,即 .①, 当时，随 的增大而增大, 当时,,即 .②联立①②，解得, .
是直角三角形，且 ．，，， ， .解法二 ,, , , , 为直角三角形. .
一题练透
反比例函数图像与性质的常见问题
如图，将矩形 放置在平面直角坐标系中，，，是 的中点，反比例函数的图像过点且与相交于点
（1）求反比例函数的表达式.
解： 四边形是矩形，，， .又是的中点， .设反比例函数的表达式是 ，把点的坐标代入，得 ， 反比例函数的表达式为 .
（2）①当时，，，．，．，．，.，．
②是直角三角形.理由如下：，，,,，.解法一 ，，，，是直角三角形，且 ．
，，，，.解法二 ,,, , ,为直角三角形..
一题练透 （1）解： 四边形是矩形，，，.又是的中点，.设反比例函数的表达式是，把点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为.
（2）反比例函数图像的另一支位于第三象限.， 点不在这个函数的图像上.（3） 反比例函数中的比例系数， 在每个象限内，的值随值的增大而减小.又，，都在的图像上，，，.
【解析】 点，，均在反比例函数 的图像上，，，即点在第二象限，点 在第四象限，， 在第四象限内，的值随值的增大而增大.又 ， .
变式2已知点，都在反比例函数的图像上，且 ，，则___.（填“ ”或“ ”）
【解析】 反比例函数的表达式为， 它的图像位于第一、三象限.，（说明,两点不在同一个象限内）， ，，, .
4
第3题图
解法一 连接，，设直线与轴交于点,则 ，， , .解法二 设直线与轴的交点为，则， ，,. , ，解得 .
第4题图
4.[2022东营中考]如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 在反比例函数的图像上，则图像经过点 的反比例函数的表达式为________.
【解析】 解题思路：过点作轴于点，过点作轴于点 . 根据是等腰直角三角形，可证明 ，利用反比例函数中比例系数的几何意义得到.设图像经过点 的反比例函数的表达式为，则，求出 即可得解.
（4）易得点的坐标为. 反比例函数的图像关于原点对称， 当点与点关于原点对称时，，此时点的坐标为. 反比例函数的图像关于直线对称， 当点与点关于直线对称时，，此时点的坐标为. 反比例函数的图像关于直线对称，
当点与点关于直线对称时，，此时点的坐标为.综上，点的坐标为或或.（5）．
（6）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即所求点. 点与点关于轴对称， 点的坐标为.设直线的函数表达式为，则解得 直线的函数表达式为.令，得， 点的坐标为.
（2）反比例函数图像的另一支位于哪个象限？点 是否在这个函数的图像上？
解：反比例函数图像的另一支位于第三象限. ， 点 不在这个函数的图像上.
（3）已知点，， 都在这个反比例函数的图像上，试比较，， 的大小.
解： 反比例函数中的比例系数 ， 在每个象限内，的值随 值的增大而减小.又，，都在 的图像上，，， .
第二十七章 反比例函数
过基础 教材必备知识精练
过能力 学科关键能力构建
快速核答案过基础 教材必备知识精练 知识点1 反比例函数的增减性 1.A 2.A 3., 知识点2 比较反比例函数的函数值的大小 4. 作答题、 作答题、 知识点3 的几何意义 5.A 6.
7.（1）解:轴， 点的纵坐标为2.把代入,得 点的坐标为.（2），，.由函数图像知，．过能力 学科关键能力构建 1.C 2.A 3.4 4.
（5）连接，，求四边形 的面积．
解： ．
（6）点为轴上一动点，当的值最小时，求点 的坐标.
解：作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即所求点 . 点与点关于轴对称， 点的坐标为 .设直线的函数表达式为 ，则解得 直线的函数表达式为 .令，得， 点的坐标为 .
（1）直接写出的取值范围，并探究与 之间的关系.
解: . 反比例函数的图像与矩形在第二象限内相交于， 两点，， ， ．
（2）当 时，
①求的值及点, 的坐标；
解：当 时，，， ．， ．， ．， .， ．
②试判断的形状，并求 的面积.
解： 是直角三角形.理由如下：，，, ,， .解法一 ， ， ， ，
（4）点是这个反比例函数图像上的一点（不与点重合），若 ，求点 的坐标.
解：易得点的坐标为 . 反比例函数 的图像关于原点对称， 当点与点关于原点对称时， ，此时点的坐标为 . 反比例函数的图像关于直线 对称， 当点与点关于直线对称时， ，此时点的坐标为 .
反比例函数的图像关于直线 对称， 当点与点关于直线对称时， ，此时点的坐标为 .综上，点的坐标为或或 .
（2）设,且,当时,;当时, .圆圆说:“一定大于 .”你认为圆圆的说法正确吗?为什么?
解：圆圆的说法不正确.理由如下：取,满足,则 .当时，，即 ;当时,，即 .此时 ,所以圆圆的说法不正确.
素养提升
6.几何直观 一题多解如图，反比例函数 的图像与矩形在第二象限内相交于, 两点，，.连接,,，， 的面积分别为， .
27.2 反比例函数的图像和性质
课时2 反比例函数的性质
过基础 教材必备知识精练
知识点1 反比例函数的增减性
1.[2024石家庄四十四中期末]已知反比例函数 的图像具有下列特征：在所在的象限内，的值随值的增大而减小.那么 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 反比例函数的图像在所在的象限内，的值随 值的增大而减小，， .
2.[2023唐山路南区期末]关于反比例函数 ，下列说法不正确的是 ( )
A
A.的值随 值的增大而增大 B.图像分别在第二、四象限C.图像与坐标轴无交点 D.图像经过点
【解析】 因为，所以反比例函数 的图像分别在第二、四象限，在每个象限内（注意：在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每个象限内”），的值随 值的增大而增大，故A错误，B正确；因为, ，所以该反比例函数的图像与坐标轴无交点，故C正确；因为，所以图像经过点 ，故D正确.