2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第四章 §4.4 简单的三角恒等变换

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第四章
§4.4　简单的三角恒等变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练
第一部分
落实主干知识
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S 2α：sin 2α＝ .
(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝
＝ .(3)公式T 2α：tan 2α＝ .
2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α－11－2sin 2α
2.半角公式(不要求记忆)
常用结论
1.二倍角公式的变形公式
2.半角正切公式的有理化
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(
)(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k ＋1)π(k ∈Z ).( )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( )
××
√√
2.(必修第一册P226T2改编)cos 15°等于√
因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0，
3.若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于
√由题意知，tan α＝－2，
自主诊断
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第二部分
探究核心题型
题型一　三角函数式的化简
A.－sin 20°
B.－cos 20°√
C.cos 20°
D.sin 20°
＝cos 20°.
(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝ . cos 20°cos 40°cos 80°
微拓展
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算.
典例　化简下列各式.
(1)sin 54°－sin 18°＝；
由和差化积公式可得，sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18°
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝ .
由和差化积和积化和差公式可得，
cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
√
可得3cos2θ－4cos θ－4＝0，
－cos θ
原式＝
所以原式＝－cos θ.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
√
命题点2　给值求值
√
命题点3　给值求角
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，
又β为锐角，
(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
50°
所以sin α＝sin 50°，
又因为α为锐角，所以α＝50°.
题型三　三角恒等变换的综合应用√
∴sin α≠0，
∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，
∴2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
思维升华
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
A.c >a >b
B.b >c >a
C.c >b >a
D.b >a >c √
θ>a＝sin θcos θ.
知识过关
一、单项选择题
√
因为α为锐角，
2.(2023·邢台模拟)1＋tan 22.5°等于√
得2tan 22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan 22.5°＋1)2＝2，
又tan 22.5°>0，
√。