4年级奥数加法原理和乘法原理排列组合问题

1．如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对．问这样的数对共有多少个?
[分析与解]
被减数最小可为1000，最大可为9999－8921=1078，且从1000到1078中任何一个数都可以作为被减数．
共有79个被减数，从而这样的数对共有79个．
2．一本书从第l页开始编排页码，共用数字2355个．那么这本书共有多少页?
[分析与解]
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字；
显然这本书的页数在100～999之间，有2355－9－180＝2166，而2166÷3＝722，所以这本书有100+722－1＝821页．
3．上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页．问上册书有多少页?
[分析与解]
两本书页码所用的数字大致相当，
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字．
显然，两本书的页码均在100～999之间，而前99页两本书共用去(9+180)×2＝378个数字，还剩下687－378＝309个数字．
上册书比下册书多的5页，每页均需3个数字作为页码，所以上册比下册多用5×3＝15个数字．
于是在剩下的309个数字种，上册用了(309+15)÷2＝162个数字，即3位数的页码有162÷3＝54页，所以上册有100+54－1＝153页．
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积?
[分析与解]
题中的5个数相加最小为1+2+3+4+5＝15，最大为6+7+8+9+10＝40，即题中5个数相加的和有40－15+1＝26种可能．
而10个数的和为1+2+3+4+…+10＝55．
如果我们假定被乘数不超过乘数，那么被乘数有26÷2＝13种可能，而当被乘数确定，乘数也就是确定为“55－被乘数”，并且这些的乘积没有重复．(如果被乘数大于乘数，都可将上面的被乘数、乘数互换而得)．
所以共有13种不同的乘积．
5．将所有自然数，自1开始依次写下去得到：
123456789101112……
试确定在第206788个位置上出现的数字．
[分析与解]
有1～9为1位数，所以占有9×1＝9个数字；
10～99为2位数，所有占有90×2＝180个数字；
100～999为3位数，所以占有900×3＝2700个数字；
1000～9999为4位数，所有占有9000×4＝36000个数字；
10000～99999为5位数，所有占有90000×5＝450000个数字．
现在第206788个位置对应的5位数在10000～99999之间，有206788－9－180－2700－36000＝167899，167899÷5＝33579……4，所以对应的数字为10000+33579＝43579的从左至右的第4个数字，即7．
6．用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有多少种不同的凑法?
[分析与解]
5分的硬币最多可以有100÷5＝20枚；
当5分的硬币有20枚，那么只有这1种凑法；
当5分的硬币有19枚，则剩下的5分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+1＝2+1+1+1＝1+1+1+1+1＝5，所以共有3种凑法；
当5分的硬币有18枚，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有5+1＝6种凑法；
当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有
2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有7+1＝8种凑法；
当5分的硬币有16枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有10+1＝11种凑法；
于是，我们把两种情况作为一组，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，…，
即每组数内两个数字相差2，从第2组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数字大5，
5分的硬币可以取20～0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，(41，43)，(46，48)，51
所以共有
(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48)
＝(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541种．
即用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有541种不同的凑法．
7．在图8-1中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”．那么共有多少种不同的读法?
[分析与解]
从“华”到“罗”有2种读法；而从“罗”读到“庚”，每个“罗”有2种读法；而从“庚”读到“学”，每个“庚”有2种读法；从“学”到“校”，每个“学”有2种读法．
显然是分步进行的，适用乘法原理，于是满足题意的读法有2×2×2×2＝16种．
8．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个?
[分析与解]
我们将符合条件的两位数列出
按箭头所示，走有一条路，到有2种办法；再往下到有从走和走两种方法，这样到有3条路线；到可从、走，有5种方法到．过可从、走，共有8条路线；到可走、，
这样共有13种走法；经过可从、两条路走，有21种方法都到；到达可以走和，因而有34种路线到达．
这样由A到B，可经过和两个交叉点，共有34+21=55条路线，如下图所示．
11．如图8-4，把A，B，C，D，E这5部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图共有多少种不同的着色方法?
[分析与解]
A有4种着色方法；A着色后，B有3种着色方法；A、B着色后，C有2种着色方法；A、B、C着色后，D有2种着色方法；然后E有2种着色方式．所以，共有4×3×2×2×2＝96种不同的着色方法．
12．图8-5是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法?
[分析与解]
设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9＝90种不同的放置方法．
对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8＝72种不同的放置方法．
所以，共有72×90＝6480种不同的放置方法．
13．在如图8-6所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行、每列都只有一枚棋子，那么这样的放法共有多少种?
[分析与解]
第一列有2种方法，第一列放定后，第二列又有2种方法，…，如此下去，共有2×2×2×2×1＝16种不同的放法．
14．有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日，例如890817表示1989年8月17日．如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中6个数都不相同的日期共有多少天?
[分析与解]
第1、2位分别为9、1，故第3位不能为1，而只能为0．
由于第6位不能再为0、1，故第5位不能为3，当然，第5位也不能为0，1．
于是，这样的日期是 910□2□的形式．
第4位可取3～8中的任一个，有6种方法．第3位取定后，第6位有5种取法．从而，共有6×5＝30种，即全年中六个数字都不相同的日期有30天．
15．如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多能有多少个?
[分析与解]
四位数的千位数字是1，百位数字a可在0、2、3、4、5、6、7中选择，这时三位数的百位数字是9－a；四位数的十位数字b可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9－b．
四位数的个位数字c可以在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9－c．
因此，所说的四位数有7×6×4＝168个。