北京市大兴区2016~2017学年度第一次综合练习数学理科试题

2016~2017学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
数学（理）
本试卷共4页，满分150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}
|0
A x x
=>，则=
A
R
ð
（A）{}
|0
x x<（B）{}
|x x≤0
（C）{}
|0
x x >（D）{}
|x x≥0
（2）下列函数中，既是偶函数又有零点的是
（A）12
y x
=（B）tan
y x
=
（C）e e
x x
y-
=+（D）ln||
y x
=
（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为
（A）4（B）5
（C）6（D）7
（4）设a b∈R
，，则“a b
>是“
11
a b
<”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为
（A）
1
3
（B）
1
2
（C）1（D）
3
2
（6）若x y，满足
220
20
x y
x y
y
-+
⎧
⎪
-+
⎨
⎪
⎩
≥，
≥，
≥，
且z kx y
=-+有最大值，则k的取值范围为
（A）1
k…（B）1k
剟2
（C）1
k?1（D）2
k?
（7）设函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕ是常数），若2π(0)()3f f =，则π()12f ，4π()3
f ， π
()2
f 之间的大小关系可能是 （A ）π4ππ()()()2312f f f << （B ）4πππ
()()()3212f f f <<
（C ）ππ4π
()()()2123f f f << （D ）π4ππ()()()1232
f f f <<
（8）某公司有4家直营店a ，b ，c ，d ，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营 店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．
根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有
（A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）4种
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数2(1i)+=_____．
（10）设2
20()log 0x
x f x x x ⎧ ⎪=⎨
>⎪⎩，，，，…则((1))f f -=______． （11）已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的离心率为2，则b =_____．
（12）在极坐标系中，点π
(2)3
A ，到直线cos 2ρθ=的距离是_____．
（13）已知圆22:1O x y +=的弦AB
若线段AP 是圆O 的直径，则AP AB ⋅=____； 若点P 为圆O 上的动点，则AP AB ⋅的取值范围是_____．
（14）已知数列{}n a 满足11
a k
=
，*2k k N ≥，Î，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[1.6]1=），
记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T .
①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =_____； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =_____．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
在ABC ∆中，32=a ，3=b ，3
1cos -=A ．
（Ⅰ）求B sin ；
（Ⅱ）设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．
（16）（本小题13分）
某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响． （Ⅰ）若060x ≠，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；
（Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当020x =时，求该顾客第一次获得
代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；
（Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X ，当0x 取何值时，X 的方差最小？
（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点
M 是棱AC 上不同于A ，C 的点，平面1B BM 与棱11AC 交于点N ，2AB BC ==，
90ABC ︒∠=，1160BB C ︒
∠=．
（Ⅰ）求证：1B N ∥平面1C BM ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1ABC ；
（Ⅲ）若二面角1A BC M --为30︒，求AM 的长．
（18）（本小题13分）
已知函数22()m x f x x m
=-，且0m ≠．
（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点(00)，
处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论）
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴端点到右焦点(10)F ，
的距离为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，
两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=， 2PB BF λ=，求证：12λλ-为定值．
（20）（本小题13分）
已知集合12n A A A ，
，，为集合U 的n 个非空子集，这n 个集合满足：①从中任取m 个集合都有1
2m i i i A A A ≠U 成立；②从中任取1m +个集合都有1
2
m
m j j
j j A A A A +U =成立．
（Ⅰ）若={123}U ，，
，3n =，1m =，写出满足题意的一组集合123A A A ，，； （Ⅱ）若4n =，2m =，写出满足题意的一组集合1234A A A A ，
，，以及集合U ； （Ⅲ) 若10n =，3m =，求集合U 中的元素个数的最小值．
大兴区2016~2017学年度第一次综合练习
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）2i （10）1-
（11 （12）1
（13）2；[11 （14）6；
()2
11
n
k kn k
+--
注：（13）（14）第一个空3分，第二个空2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）由1cos 3A =-知，且0πA <<．……1分
所以sin A ……2分
=
……3分
由正弦定理及题设得sin sin a b A B
=．即3
sin B =
．……5分
所以sin B =．……6分
（Ⅱ）因为b a <, 所以B 为锐角.
所以cos B =.……1分 因为πA B C ∠+∠+∠=，
所以cos cos()=cos cos sin sin C A B A B A B =-+-+．……2分
所以1cos 3C ==．……3分
在ACD ∆中，D 为BC 的中点，所以CD = ……4分
由余弦定理及题设得222+2cos AD AC CD AC CD C =-⋅ ……5分
22323=-⨯ ……6分 2=．
所以中线AD =7分.
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件A 为“顾客转动一次转盘获得60元代金券”，……1分
由题意知41
()123
P A =
=. …… 4分 （Ⅱ）设事件B 为“顾客第一次获得代金券面额不低于第二次获得的代金券面额”， 设事件i C 为“该顾客第i 转动转盘获得的超市代金券面额为60”，12i =，
. ……1分 由题意知， 1
()3
i P C =，12i =，
. ……3分 因此112()()()P B P C P C C =+ ……5分 111
(1)(1)333
=+-⨯- ……6分
7
9
=
……7分 （Ⅲ）036x =. ……2分
（17）（共14分）
解:（Ⅰ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ∥平面111A B C ，
平面1B BM 平面ABC BM =， 平面1B BM
平面1111=A B C B N ，
所以BM ∥1B N . ……1分
又因为1B N ⊄平面1C BM ，BM ⊂平面1C BM ，……2分
所以1B N ∥平面1C BM .……3分
（Ⅱ）因为90ABC ︒∠=，所以AB BC ⊥， ……1分 又因为平面11BCC B ⊥平面ABC ， 所以AB ⊥平面11BCC B . ……2分
所以AB ⊥1B C . ……3分
因为四边形11BCC B 为菱形，所以1B C 1BC ⊥. ……4分 所以1B C ⊥平面1ABC . …… 5分
（Ⅲ）取线段11B C 中点D ，因为菱形11BCC B 中，1160BB C ︒∠=， 所以BD ⊥11B C .
又因为BC ∥11B C ，所以BD ⊥BC . 又因为AB ⊥平面11BCC B .
如图，以B 为原点，建立空间直角坐标系-B xyz ，……1分
则1(200)(000)(01A B B -，，，，，，，，
所以1(0,3,B C =
，1(0,1BC =，(2,0,0)BA =，(2,2,0)AC =-.
设AM=AC λ，（10<λ<）
BM =(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)BA +AM=BA AC λλλλλ+=+-=-，……2分 设平面1BC M 的法向量为(,,)n x y z =，
则10
BC n BM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即0(22)20y x y λλ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，
令z 3y =-，31x λ
λ
-=
.
所以3(,1n λ
λ
=--. ……3分 由（Ⅱ）知，
1(0,3,B C =是平面1ABC 的一个法向量.则 因为二面角1A BC M --为30︒，
111cos30|cos ,|||||
B C n °B C n B C n ⋅=<>=
=
⋅……4分
解得2
=5λ，或=2λ-（舍）
. ……5分
所以224255AM =
AC =AC =，即AM . ……6分
1(020)(01C C ，，，，
解：（Ⅰ）当1m =时，由题设知2()1
x
f x x =
-. 因为222
1
()(1)x f x x +'=--， ……1分
所以(0)0f =，(0)1f '=-. ……3分
所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=. ……4分 （Ⅱ）因为22()m x f x x m
=-，所以22
22()()x m f x m x m +'=-- . ……2分
当0m >时，定义域为(,(,)(,)m m m -∞-+∞ . ……3分 且22
22
()0()x m
f x m
x m +'=-<- ……4分
故()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞ ……5分 当0m <时，定义域为R . 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
……6分
故()f x 的单调递减区间为(,-∞，)+∞，
单调递增区间为(． 综上所述，
当0m >时，()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；
当0m <时，故()f x 的单调递减区间为(,-∞，)+∞，
单调递增区间为(． ……7分 （Ⅲ）0m <……2分
解：（Ⅰ）由题意有：1c =
2=， 所以2a =，2223b a c =-=.
所以椭圆C 的方程为22143
x y +=. ……4分
（Ⅱ）由题意直线AB 过点(1,0)F ，且斜率存在，设方程为(1)y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为(4,3)k ， ……1分
由22(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消元得2222(34)84120k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>且2
122
212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
， ……3分
方法一：因为1PA AF λ=，所以111
4
1PA x AF
x λ-=
=
-. ……5分 同理222
4
1PB x BF
x λ-=
=
-，且1141x x --与2241x x --异号， ……6分
所以12121212
44332()1111x x x x x x λλ---=
+=--+---- 1212123(2)
2()1
x x x x x x +-=-+
-++ ……8分
22222
3(868)
2412834k k k k k --=-+--++
0=. ……10分 所以，12λλ-为定值0.
方法二：由题意，当121x x >>时， （若：不妨设121x x >>，加一分） 有1PA AF λ=，且2PB BF λ=-， ……4分
所以11111(4,3)(1,)x y k x y λ--=--，且22222(4,3)(1,)x y k x y λ--=---
所以11141x x λ-=
-，同理222
4
1x x λ-=--. ……6分 从而12121212
4433
111111x x x x x x λλ---=
+=-------- 1212
121212
3(2)3(2)22(1)(1)()1x x x x x x x x x x --+-=--
=-+---++ ……8分
22222
3(868)
2412834k k k k k --=-+--++
0=. ……9分
当121x x <<时，同理可得120λλ-=. ……10分 所以，12λλ-为定值0.
方法三：由题意直线AB 过点(1,0)F ，设方程为1x my =+(0)m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为3
(4,
)m
， ……1分 由221143x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
消元得22(34)690m y my ++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>且122122634
934m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=
⎪+⎩
， ……3分
因为1PA AF λ=，所以11111
330y PA my m AF y my λ-
-===-. ……5分 同理222
3
PB my BF
my λ-=
=
，且113my my -与223my my -异号，……6分
所以1212121212
333()
2my my y y my my my y λλ--+-=
+=-
……8分 3(6)
20(9)
m m ⨯-=-
=⨯-. ……9分
又当直线AB 与x 轴重合时，120λλ-=， ……10分 所以，12λλ-为定值0.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）{123}U =，，，1{23}A =，，2{13}A =，，3{12}A =，．……3分 （Ⅱ）{123456}U =，，
，，，，1{456}A =，，，2{236}A =，，，3{135}A =，，， 4{124}A =，，．……4分
（Ⅲ）集合U 中元素个数的最小值为120个．
下面先证明若123123{}{}i i i j j j ≠，，
，，， 则1
23j j j j B A A A =，123i i i i B A A A =，j B ≠i B ．
反证法：假设j i B B =，不妨设1123{}i j j j ∉，
，． 由假设i j B B U =≠，设j U j D C B =，设j x D ∈，
则x 是123j j j A A A ，
，中都没有的元素，j x B ∉． 因为1123i j j j A A A A ，
，，四个子集的并集为U ， 所以1i i j x A B B ∈⊂=与j x B ∉矛盾，所以假设不正确．
若123123{}{}i i i j j j ≠，，
，，，且123j j j j B A A A =，123i i i i B A A A =，
j
B ≠i B 成立．则1210A A A ，
，，的3个集合的并集共计有3
10120C =个． 把集合U 中120个元素与1210A A A ，
，，的3个元素的并集123i i i i B A A A =
建立一一对应关系，所以集合U 中元素的个数大于等于120.
下面我们构造一个有120个元素的集合U ： 把与1
23i i i i B A A A =(1,2,,120i =)对应的元素放在异于123i i i A A A ，
，的集合中，因此对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与i B 对应的元素，所
以i B U ≠．同时对于任意的4个集合不妨为1234i i i i A A A A ，
，，的并集， 则由上面的原则与123i i i A A A ，
，对应的元素在集合4i A 中， 即对于任意的4个集合1234i i i i A A A A ，
，，的并集为全集U ．……6分。