正、余弦定理与三角形形状判断附答案

正、余弦定理与三角形形状判断附答案
一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。

二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。

三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。

常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以
及正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到
a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。

2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜
π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。

3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正
弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等
腰直角三角形。

4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰
三角形。

5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，
因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，
sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。

根据余弦
定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。

所以，三角形ABC是
等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且2b=a+c。

根据余
弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到2ac=a+c，进一步化简得
到4ac=2a^2+2c^2-a^2-c^2-2ac，化简后得到(a-c)^2=0，因此
a=c。

所以，三角形ABC是等边三角形。

已知在三角形ABC中，___根据三角函数的性质，
sinB=cosB，sinC=cosC。

因此，角B=角C=π/4.又因为sinAcosBcosC=abc，所以sinA=1/2，cosB=cosC=1/√2，因此三
角形ABC是等腰直角三角形。

已知在三角形ABC中，(a-b)sin(A+B)=(a+b)sin(A-B)。

根
据三角函数的和差公式，化简得到(a^2-b^2)sinC=a^2sinAcosB-
b^2sinBcosA。

再根据余弦定理，化简得到(a^2-
b^2)sinC=a^2(a^2+c^2-b^2)-b^2(b^2+c^2-a^2)，化简后得到
a^2-b^2=0或a^2+b^2=c^2.因此，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。

已知在三角形ABC中，(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，且bcosA=acosB。

根据三角函数的和差公式，化简得到sin(A-B)=sinC。

又因为bcosA=acosB，所以___。

进一步化简得到
sinA=cosA，因此角A=45度。

代入第一个等式化简得到2a^2-2ac-c^2=0，进一步化简得到a=c。

因此，三角形ABC是等边三角形。

已知在三角形ABC中，a^2tanB=b^2tanA。

根据正切函数的性质，化简得到acosBsinA=bsinBcosA，进一步化简得到
2sinAcosA=2sinBcosB，化简后得到sin2A=sin2B。

因此，角A=角B或角A+角B=180度。

因为角B=60度，所以三角形ABC不能是等边三角形。

如果角A=60度，那么三角形ABC 是等边三角形。

如果角A=120度，那么三角形ABC是钝角三角形。