南京大学_声学基础课件_第3章_声波的基本性质

矢量形式
dv p
dt
11
连续性方程
质量守恒定律，即媒质中单位时间内流入体积元的质量 与流出 该体积元的质量之差应等于该体积元内质量的增 加或减少
单位时间内通过左侧流 入的质量:
(vx ) x dydz
单位时间内通过右侧流 出的质量:
(vx ) xdx dydz
(vx)|x
dz dx
(vx)|x+dx
c0
2
p
0
分离变量解
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
34
d2X dx2
YZ
X
d 2Y dy2
Z
XY
d 2Z dz 2
c0
2
XYZ
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d 2Z dz 2
c0
2
0
d2X dx2
kx2 X
0;
d 2Y dy2
k y2Y
dx
F1 (P0 p)S
F2
dy x
10
体积元右侧受力：
F2 (P0 p dp)S
体积元受到的合力为:
F F1 F2 dpS
F1
F2
dz
dx dy
x
体积元在x方向的运动方程：
Sdx dvx dpS
dt
dvx p
dt x
同理： dvy p dvz p
dt y dt z
——飞机发动机的声音 200Pa
声源 振动：弦；笛；鼓…… 气动：流体噪声…… 压电效应、磁致伸缩效应……
8
9
3.2 线性化声波方程
理想流体的基本方程
三个基本物理定律： 牛顿第二定律、质量守恒定律、物态方程
运动方程
取一体积元，在x方向的位置从x 到 x+dx，横截面积为S=dydz.
F1
dz
体积元左侧受力：
等相位面
t k r 常数
38
不同时刻
k r 常数-ti ,(i 1, 2,3,......)
——三维空间的平面，平面方向k=(kx,ky,kz)—平面波
平面移动的速度
对方程 t k r 常数 两边求导
k dr
dt
n dr dt
c0
k n c0
等相位面移动的速度——相速度——声速
人大声讲话的声压 p0 0.1Pa v0 2.5104 m/s
——远小于声速！
33
三维平面声波
1 2 p 2 p 2 p 2 p
c02
t 2
x2
y2
z 2
0
在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场
p(x, y, z,t) p(x, y, z)exp(it)
2 p x2
2 p y2
2 p z 2
——矢量形式
14
物态方程
低频声波动：准平衡态；即使低频声波，在媒质压缩和 膨胀的一个周期内，相邻媒质来不及完成热交换。因此， 声波动过程是一个绝热过程
P P(s, )
p P P0 P(s, ) P0
——流体的本构方程 平衡态热力学中：实验决定； 平衡态统计力学中：原则上，只要知道粒子—粒子相互 作用，可以理论得到状态方程；
x y x
x y x
标量 矢量
矢量 标量
p p p
p
p
p
p
i x
y
j
z
k
Ax = x ;
Ay = y ;
Az = z
(p)
2 p x2
2 p y2
2 p z 2
2
p
25
(0v) p
t
(0v) (p) 2 p
t
t
(0v)
0
p c02
2
t 2
t
(0v)
0
2
t 2
2
p
0
1 c02
2 p t 2
37
2种典型情况
p (x, y, z) Aexp(ik r)
包括时间部分
p(x, y, z,t) Aexp[i(t k r)] B exp[i(t k r)]
意义分析：
p (x, y, z,t) Aexp[i(t k r)] p (x, y, z,t) B exp[i(t k r)]
实际上声场中处处相差为零这相当于两个同相声源彼此靠得很近时的辐射情况这时两个声源将发生相互作用如果使各声源仍保持恒定振动速度从而保证了两声源同时存在时每个声源辐射的能量比它们单独存在时增加一倍因而总能量为单个声源单独存在时辐射能量的章讨论
第3章 声波的基本性质
3.1 声压的基本概念 3.2 线性化声波方程 3.3 平面声波的基本性质 3.4 能量关系和声的度量 3.5 声波的干涉
21
p c02
一维波动方程
c02
P
s
0
——流体压缩， 体积变小；流 体膨胀，体积 变大
t
0
v x
0
p c02
1 c02
p t
0
v x
0
1 c02
2 p t 2
0
2v tx
0v tΒιβλιοθήκη p x02v xt
2 p x2
22
1 2 p 2 p 1 2 2
;
c02 t 2 x2 c02 t 2 x2
20c02
p2
能量密度
Et V0
1 2
0
v2
1
02c02
p
2
43
平面波 实数形式
p p0 exp[i(t k r)] v v0 exp[i(t k r)]
p p0 cos(t k r) v v0 cos(t k r)
空气中声速
c0
P
s
~ 344m/s
空气
理想气体
绝热过程：PV 常数
P
常数
c0
P
s,0
P0 0
温度 0C : 1.402; P0 1.013105 Pa;0 1.293kg/m3
c0
P0 331.6m/s 0
31
与温度的关系
PV
NkBT
PV
M
RT
P
RT
P0
0
R (273 t)
意义分析
p (x) Aexp[i(kx t)] p (x) B exp[i(kx t)]
29
等相位面
kx t 常数
不同时刻
kx 常数 ti , (i 0,1, 2......)
——垂直于x轴的平面
平面移动的速度
dx dt
k
c0
p x方向运动的平面波
p x方向运动的平面波
x
30
等相位面移动的速度——相速度——声速
39
p (x, y, z,t) Aexp[i(t k r)]
—— k 方向传播的平面波
p (x, y, z,t) B exp[i(t k r)]
—— k 方向传播的平面波
40
声速与媒质质点振动速度的区别
0
v t
p
v0
n p0
0c0
p p0 exp[i(t k r)] v v0 exp[i(t k r)]
0;
d 2Z dz 2
k z2 Z
0
k2
c0
2
kx2
k
2 y
kz2
35
d2X dx2
kx2 X
0
d 2Y dy2
k y2Y
0
d 2Z dz 2
k z2 Z
0
X (x) Ax exp(ikxx) Bx exp(ikxx) Y ( y) Ay exp(iky y) By exp(iky y)
2 p
0
2
t 2
c022
0
——三维声 波方程
26
3.3 平面声波的基本性质
一维平面声波
声波沿一个方向（如 x方向）传播，在其余方向上所 有质点的振幅和相位均相同。一维声波方程
1 c02
2 p t 2
2 p x2
在稳定的简谐声源作用下产生的稳态声场
p(x,t) p(x) exp(it)
k / c0
——一维声波方程
0
v t
p x
p c02
t
0
v x
0
0
v t
c2
x
0
2v t 2
c02
2
tx
2
xt
0
2v x2
1 c02
2v t 2
2v x2
23
三维声波方程
运动方程
dv p
dt
连续性方程
(v) 0
t
物态方程
(0v) p
t
t
(0v)
0
p c02
24
微分运算关系
i j k; A Ax Ay Az
Z(z) Az exp(ikz z) Bz exp(ikz z)
如果取
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z) Aexp[i(kxx ky y kz z)]
p(x, y, z) Aexp(ik r)
kxx ky y kzz k r
36
如果取
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z) B exp[i(kxx ky y kzz)]
t0
t
t
17
Euler描述
速度场：在空间建立速度场v(r,t).当时刻t,流到r的流 体质点具有速度v(r,t).
注意：由于流体的流动， 在同一空间点r，不同 时刻t和t+t的速度v(r,t) 和v(r, t+t)不是同一个 质点的速度.
x3 f(x1,x2,x3,t)
O x1
x2
18
a dv lim v(r r,t t) v(r,t)
pe
1 T p2dt T0
声 场：存在声压的空间或声波所到达的空间 瞬时声压：声场中某一瞬时的声压值 峰值声压：一定时间间隔内最大的瞬时声压值 有效声压：一定时间间隔内，瞬时声压对时间取均方根值
6
7
声压的单位：Pa（帕）
1Pa=1N/m2 ——人耳对1kHz声音的可听阈约为 2105 Pa ——微风吹动树叶的声音 2104 Pa
(vx ) xdx dydz (vy ) ydy dxdz (vz ) zdz dxdy
13
t
(
vx
)
xdx (vx )
dx
x
(
v
y
)
ydy (vy )
dy
y
z
(
vz
)
z dz
(vz
)
z
dz
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
(v) 0
t
c0
R (273 t) (331.6+0.6t)m/s
t 20 C: c 344m/s
等温过程：
PV 常数 P 常数
错误
c0
P0 297m/s
0
32
声速与媒质质点振动速度的区别
0
v t
p x
v0
p0
0c
p p0 exp[i(t kx)] v v0 exp[i(t kx)]
1
3.1声压的基本概念
媒质质点的机械振动由近及远的传播称为声振动的传播 或称为声波
2
声的分类
3
不同声音的频率范围
4
5
声压
设体积元受到扰动后，压强从P0改变为P, 则压强的变 化量称为声压（sound pressure）
p P P0
——声压是时间和空间的函数
p p(x, y, z,t)
p(x, y, z) B exp(ik r)
kxx ky y kzz k r
如果取
p(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z) B exp[i(kxx ky y kzz)]
p(x, y, z) B exp(ik r)
kxx ky y kzz k r
——意义不大了——相当于第2种情况中，kz取负号！
dt t0
t
v lim (r )v(r,t) v (v )v
t t0
t
t
v(r, t )
v(r r,t t)
d (v ) dt t
全导数 偏导数 对流项 19
线性声学：小振幅声波 非线性声学：有限振幅声波
一维方程线性化
0 ; p P P0; v v0 v
(0, P0, v0 ) ——没有声波时，流体的密度、压强和质
动能
Ek
1 2
(
0V0
)v
2
势能
p
Ep 0 pdV
——负号：p增加，V 减小； p减小， V增加.
压缩过程，系统储存能量；膨胀过程，系统释放能量。
42
利用
dp 0c02 dV
V0
Ep
p 0
pdV
V0
0c02
p 0
pdp
V0
20c02
p2
体积元内总能量
Et
Ek
Ep
1 2
0V0v2
V0
15
小振幅声波方程
运动方程
连续性方程 物态方程
dv p
dt
(v) 0
t
p P P0 P(s, ) P0
——非线性方程：5个方程，5个未知数
16
全导数和偏导数
流体运动的2种描述方法
Lagrange描述
(a,b,c)
r0(a,b,c,0)
O
r(a,b,c,t)
v(a,b, c,t) lim r(a,b, c,t t) r(a,b, c,t) r
dy
x
12
同样，y和z方向流入的质量和流出的质量为
(vy ) y dxdz; (vz ) z dxdy
(vy ) ydy dxdz; (vz ) zdz dxdy
体积元内质量的变化等于通过6个面积流入的质量 和流出的质量之差
dxdydz
t
(vx )
x
dydz (vy )
y
dxdz
(vz )
z
dxdz
d
2 p(x) dx2
k
2
p(
x)
0
——波矢
27
管道中才能形成平面波
28
通解
p(x) Aexp(ikx) B exp(ikx)
——行波解——自由空间
p(x) Acos(kx) Bsin(kx)
——驻波解——有限空间 考虑到时间变量的行波解
p(x) Aexp[i(kx t)] B exp[i(kx t)]
媒质质点振动速度与声波传播方 向一致——纵波！
声阻抗率
媒质中空间一点的声阻抗率定义
Zs
p v
——能量传播方 向的速度分量！
——等于媒质的
特性阻抗(0c0)。
注意：负号！
平面波
Zs
p v
0c0
41
3.4 声场中的能量关系和度量
声能量与声能量密度
在一足够小的体积元V0内，其体积、压强和密度分
别为: V0, P0, 0
点速度（v0=0）
运动方程
(0