广东中山市XX中学2019届高三上第二次统测数学(理)试卷有答案

高三第二次统测试题（理科数学）
（满分150分，考试用时120分钟）
命题人： 审题人：
一、选择题 (本题12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合
（提示：e ≈2.718），则
的子集的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.
2
2
(sin x dx -=⎰
（ ）
A. B. C. D.
3.设随机变量X 服从正态分布2
(,)N μσ
，若(4)(0)P x P x >=<，则μ=（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4.下列有关命题的说法错误的是（）
A.若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题；
B.在ABC ∆中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件；
C.若命题2
00R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2
R 0p x x ⌝∀∈<：，； D.“1sin 2x =”的必要不充分条件是“56
x π=”. 5.欧拉公式i e cos isin x
x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指
数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π
+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它
是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，
若
，则所有九个数的和为（ ） A. 18 B. 27 C. 45 D. 54
7．函数cos ()3
x
f x x =⋅（）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8．设a ，b ，m 为整数(m 0>)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为 a≡b(mod m)．若a ＝C 200
＋C 201
·2＋C 202
·22
＋…＋C 2020
·220
，a ≡b(mod 10)，则b 的值可以是( )
A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021 9．已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，其中(0,)2
π
ϕ∈，则函数()cos(2)g x x ϕ=-的
图象( ) A ．关于点(
,0)12
π
对称
B ．可由函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6
π
个单位得到 D ．可由函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位得到 10. 某两个三口之家，拟乘“红旗”、“比亚迪”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多只能坐4个，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一辆车，则不同的乘车方法共有（ ）
A ．58种
B ．50种
C ．48种
D ．40种
11. 函数)1(+x f 是偶函数，且1≤x 时，x x f 2)(=，若1)(0<x f ，则0x 的取值范围是（ ） A ．)0,(-∞
B ．)2,1()0,( -∞
C ．),2()0,(+∞-∞
D ．),3()0,(+∞-∞
12.如图，点D 为ABC ∆的边BC 上一点，4BC DC =，
*()n E n N ∈为边AC 上的一列点，满足
111
(33)4
n n n n n n E A a E B a E D ++=
-+，若13a =，则n a =（ ）
A.(2)3n n a n =+⋅
B. 3n n a n =⋅
C. (2)n a n =+
D. 3n
n a =
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4(1,0)f x f x f x f x x -=-=+∈-，且当时，()2log ()f x x =-，则()12.5f =
14．已知函数的部分图象如图所示，则函数
的解析式为______．
15. 已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为 16．已知函数1()ln 22
x
f x =+，2()x
g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为
三、解答题（本题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在直角坐标系
中，曲线的参数方程为
（为参数），其中
.
以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与交于,A B 两点，记点,A B 相应的参数分别为，当
时，求AB 的
值.
18．（12分）已知不等式的解集.
（1）求； （2）若，求证：
.
19．（12分）在中，内角
所对的边分别为
，已知
的面积为
.
（1）求；
（2）求的值.
20、（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元),求X 的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用
所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
21.（12分）设正项数列的前项和为，且满足
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若正项等比数列满足
，且
，数列
的前项和为.
①求； ②若对任意，
，均有恒成立，求实数的取值范围.
22、（12分）已知函数()()ln 3(1)f x x a x ax x =-+-≥. (1)若2a =，试判断函数
的零点个数；
(2)若函数1
()()(1)3g x f x a x x
=+--+在上为增函数，求整数a 的最大值，(可能要用的
数据:
；
).
高三第二次统测试题理科数学答案
一、选择题：1-5BDBDC 6-10CBDCC 11—12CB
二、填空题：13. 114. 15. 616.
12.【解析】因为，所以，所以，
因为，且，
所以，得，所以，
又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.
16.【解析】不妨设，，故
，令，，易知在上是增函数，且
，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为
三、解答题：
17.解：（1）的普通方程：，其中；…………2分
的直角坐标方程：.…………4分
（2）由题知直线恒过定点，又，
由参数方程的几何意义知是线段的中点，曲线是以为圆心，半径的圆，且.由垂径定理知：.…………10分
18.解：（1）当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，此时无解，
综上可知，不等式解集.…………6分
（2），欲证，需证，
即证，即，
即证，
因为，所以显然成立.所以成立. …………12分
19.解：（1）由的面积为，得.
因，所以，
所以，得，
又，
由余弦定理得：，所以.……6分
（2）法一：由（1）中.
解得，
由正弦定理得：，
所以，
法二：由（1）有，
所以.
由正弦定理得，
所以.……12分
20、解： (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C202
C1002＝19
495.……4分(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则
当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156：
当a＝40时，X＝40×4＝160；
当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；
当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.
所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172. 故X的分布列为
所以E(X)＝152×1
10＋156×5＋160×5＋166×5＋172×10＝162. …………9分
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5.
所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)．
由①得乙公司送餐员日平均工资为162元．
因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．…………12分
21.解：(1) ，，∴，∴且各项为正，∴
又，所以，再由得，所以
∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴…………4分
(2)∴，
①，②
∴，…………8分
恒成立
∴，即恒成立.
设，
当时，；时，
∴，∴.…………12分
22.解：(1)因为，易知在上为增函数，则，
故在上为增函数，又，，
所以函数在上的零点有且只有1个. …………4分
(2)因为，由题意在上恒成立，…………5分因为显然成立，故只需在上恒成立，
令，则
因为
由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为，
，，
则，，…………9分
则在为减函数，
在为增函数，
故时，有最小值.
令，则最小值有，
因，则的最小值大约在之间，故整数a的最大值为6. …………12分。