高考数学一轮总复习第三章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用练习

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习 第三章 第4节
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图像及应用练习
一、选择题
1．(2015·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
[解析] T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π
2＋2k π(k
∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π
2
.
[答案] A
2．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调递减，则ω的取值范围是
( )
A ．[12，5
4]
B ．[12，34]
C ．(0，1
2
]
D ．(0,2]
[解析] 取ω＝54，f (x )＝sin(54x ＋π4)，其减区间为[85k π＋π5，8
5k π＋π]，k ∈Z ，
显然(π2，π)⊆[85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π
4)，
其减区间为[k π＋π8，k π＋58π]，k ∈Z ，显然(π2，π
k π＋π
8，k π＋58
π]，k ∈Z ，排
除D.
[答案] A
3．(2015·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin2x cos 2x 1 3，则
将f (x )的图像向右平移π
3
个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )
A ．x ＝π6
B ．x ＝π4
C ．x ＝π2
D ．x ＝π
[解析] 由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π
6)，将f (x )的图像向右
平移π3个单位得到y ＝2sin[2(x －π3)－π6]＝2sin(2x －5π6)，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，
得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，对称轴为x ＝2π3－π2＝π6
.
[答案] A
4．(2015·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π
6个单位后是奇函
数，则函数f (x )在[0，π
2
]上的最小值为( )
A ．－
32
B ．－12
C.12
D.32
[解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π2)向左平移π6个单位后得到函数为f (x ＋π
6)
＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin(2x ＋π3＋φ)，因为此时函数为奇函数，所以π
3＋φ＝k π(k ∈
Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π
3，所以f (x )＝
sin(2x －π3)．当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π
3时，函数f (x )＝sin(2x
－π3)有最小值为sin(－π3)＝－3
2
. [答案] A
5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)
的图像如右图所示，则当t ＝
1
100
秒时，电流强度是( )
A ．－5安
B ．5安
C ．53安
D ．10安
[解析] 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1
100
，
∴ω＝2π
T
＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．
(
1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2
. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1
100秒时，I ＝－5安．
[答案] A
6．(2015·宁德质检)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)在区间[－π
6，
5π6]上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π
4对称，则m 的最小值为( )
A.π
12 B.π6 C.
π
4
D.π3
[解析] 令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图像知，T ＝56π＋π6＝π，所以2π
ω＝
π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点(－π6，0)，且0＜φ＜π2，所以－π
6×2＋φ＝0，所以
φ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π
3)，将该函数图像向右平移m 个单位后，所得图像的解析式
是g (x )＝sin(2x ＋π3－2m )，因为函数g (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－
2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π
6
.
[答案] B 二、填空题
7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.
[解析] 由图像可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2π
ω，因此ω＝3.
[答案] 3
8．设函数f (x )＝sin x －cos x ，若0≤x ≤2 011π，则函数f (x )的各极值之和为________．
[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，令f ′(x )＝0，得x ＝－π
4＋k π (k
∈Z )，∵f (x )＝2sin(x －π
4
)，
∴f (－π4＋k π)＝2sin(－π4＋k π－π4)
＝2sin(k π－π
2)＝－2·cos k π，
当k 为奇数时，函数取得极大值2； 当k 为偶数时，函数取得极小值－2， ∵0≤x ≤2 011π，∴14≤k ≤8 045
4，
∴此函数在此区间上各极值的和为 2. [答案]
2
9．(2015·银川模拟)若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图像向右平移π
4个单位后得到的图
像关于点(π
3
，0)对称，则|φ|的最小值是________．
[解析] 将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图像向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π
4)
＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图像．因为该函数的图像关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×
π
3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π
4(k ∈Z )．当k ＝0时，|φ|取得最小值π4
.
[答案]
π4
10．设函数f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，则下列命题： ①f (x )的图像关于直线x ＝
π3对称；②f (x )的图像关于点(π
6
，0)对称；③f (x )的最小正周期为π，且在[0，π12]上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π
12个单位，得到一个奇函
数的图像．
其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．
[解析] 对于①，f (π3)＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π
3不是函
数f (x )的图像的对称轴，该命题错误；对于②，f (π6)＝sin(2×π6＋π6)＝1≠0，所以点(π
6，
0)不是函数f (x )的图像的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π
2＝
π，当x ∈[0，π12]时，令t ＝2x ＋π6∈[π6，π3]，显然函数y ＝sin t 在[π6，π
3]上为增函
数，故函数f (x )在[0，π
12]上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图像向右平移
π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[2(x －π12)＋π
6]＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④.
[答案] ③④ 三、解答题
11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2
x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图像
过点(π6，1
2
)．
(1)求φ 的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝
g (x )的图像，求函数g (x )在[0，π4
]上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋1
2cos φ
－12cos φ＝1
2(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝1
2
cos (2x －φ)．
又∵f (x )过点(π6，1
2
)，
∴12＝12cos (π3－φ)，cos (π
3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3
.
(2)由(1)知f (x )＝12cos (2x －π
3
)．
将f (x )图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos (4x －π
3)．
∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π
3.
当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值1
2；
当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－1
4
.
12．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π
2x ∈R )的部
分图像如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－π，－π
6
]时，求f (x )的取值范围．
[解] (1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点(π
6
，1)
代入得sin(π6＋φ)＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π
3
)．
(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π
6
，
所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，1
2]．。