广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)

广东省汕头市金山中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}
|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ）
A. {}|24x x -≤<
B. {}
|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-
【答案】C 【解析】
本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题． 已知全集
,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴
或根据补集的定义结合数轴法可知，
{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤
故选C.
解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2
,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2
,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2
000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2
000,240x R x x ∃∉-+>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.
【详解】由全称命题否定的定义可知，“2
,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2
,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．
【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含
有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2
＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. 23m ≤<
B.
15
22
m ≤≤ C. 13m ≤< D.
5
22
m ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.
【详解】函数的对称轴是x m =， 由已知可知13m <<，
由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C
【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，
:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠
⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.
4.已知2(0)()2
(0)
x
x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（ ）
A. (,-∞
B. )+∞
C. (,1]
[42,)-∞-
+∞ D.
(,[4,)-∞+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02
x
f x =
≥
()124
x x
f f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭ ， 解得：4x ≥，
当0x <时，()2
0f x x =>，
()()2
2
12x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，
解得：x ≥（舍）或x ≤，
综上可知：4x ≥或x ≤故选：D
【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围. 5.将函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[
,]1212ππ
上单调递减 B. 在区间7[,]1212
ππ
上单调递增 C. 在区间[,]63
ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63
ππ
-上单调递增 【答案】B 【解析】
试题分析：将函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233
y x x πππ
=-+=-，
∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212
ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．
6.函数3()2x
y x x =-的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由，得，则
为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象. 7.若cos2sin5,αα+=-则tan()πα-=（）A. 2- B. 12- C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】首先用辅助角公式化简()cos2sin55αααϕ+=-=-tan2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tanπα-. 【详解】()cos2sin55αααϕ+=-=-且25sinϕ=5cosϕ=，tan2ϕ=()cos1αϕ∴-=-，2,k k Zαϕππ-=+∈2kαϕππ∴=++，
tan tan 2αϕ∴==，
()tan tan 2παα∴-=-=- .
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.
8.若实数,x y 满足不等式330
{23010
x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】
考点：简单线性规划的应用．
分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A 时，从而得到m 值即可．
解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9， 显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．
联立方程组9230x y x y +=⎧⎨--=⎩解得4
5x y =⎧⎨=⎩
即点A （4，5）
直线x-my+1=0上，
∴4-5m+1=0，得m=1． 故答案为1．
9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）
A. AC BE ⊥
B. 三棱锥E ABF -的体积为定值
C. //EF 平面ABCD
D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值
【答案】D 【解析】 【分析】
根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】A.因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD
DD D =，所以AC ⊥平面11BDD B ，
又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，正确； B.11112
33212
E AB
F A BEF BEF V V S AB EF BB AB --∆==
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以三棱锥E ABF -的体积为定值，正确；
C.因为//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，正确；
D.
如上图，当点E 在11B D 的中点时，点F 与1B 重合，O 是BD 的中点，
1//OE BB ，AO EO ⊥，此时AE 与BF 所成的角是AEO ∠，
6
cos 36
2
OE AEO AE ∠=
==.
如上图，当点E 和1D 重合时，点F 是11B D 的中点，O 是BD 的中点，如图1AD O ∠是AE 与
BF 所成的角，12AD =2
AO =
，116122OD =+=，
161
2342cos 26
222
AD O +-
∴∠==⨯⨯
,
这两种情况下异面直线,AE BF 所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D
【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.
10.如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，在离地面1.6m 的C 处看此树，
离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）
A. 2.2
B. 2
C. 1.8
D. 1.6
【答案】D 【解析】
【详解】
过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠=
=，2
tan BD BCD CD x
∠==， ()2
3.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x
-
∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当2
1.6x x
=，即 1.6x =时等号成立.
11.已知曲线()3
:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，
则a 的值为（ ） A. 38
B. 1
C.
98
D.
158
【答案】D 【解析】 【分析】
设切点(
)
3
000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()2
3f x x a '=-，
设切点为()
3
000,x x ax a -+，()2
003f x x a '∴=-
∴过切点的切线方程为：()()
()3200003y x ax a x a x x --+=--，
切线过点()1,1A ，
()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，
整理为：32
002310x x -+= ，
化简为：()
()2
001210x x -+= ，
01x ∴=或01
2
x =-，
()13f a '=-，13
24
f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，
由两条切线的倾斜角互补，得
3304
a a -+-=，解得158a =.
故选：D
【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.
12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>≤
⎪⎝
⎭
，4π
x =-
和4
x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单调，则ω的最大值是 ( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得
4424kT T
π
π⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω
=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得
ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．
【详解】∵()()sin (0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+>≤，4
x π
=-
和4
x π
=
分别是函数()f x 取得零
点和最小值点横坐标 ∴
4424kT T
π
π⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24
k T k Z π+=∈. 又∵2T π
ω
=
，0ω>
∴(
)21k k N ω*
=+∈
又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭单调 ∴24122
T
π
π⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T π
ω
=
∴8ω≤
当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，
由4
x π
=是函数()f x 最小值点横坐标知4
π
ϕ=-
，
此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭
递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭单
调，故舍去；
当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4
x π
=
是函数()f x 最小值点横坐标知4
π
ϕ=
，
此时()f x 在,1224ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭单调递增，故5ω=. 故选B ．
【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基
本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可. 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则
a
b
的值为________ 【答案】12
-; 【解析】 【分析】 先求2y
x 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯
=-，解得a
b
的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率a
k b
=
， 2y
x ，2y x '=，当1x =，2y '=，
由题意可知，
21a
b
⨯=-， 12
a b ∴=-. 故答案为：1
2
-
. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________
【答案】[-; 【解析】 【分析】
首先化简函数()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，根据函数的定义域求值域.
【详解】()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，[]0,x π∈
5,444x π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，
sin 4x π⎛
⎫∴+ ⎪
⎝
⎭的
值域是2,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
， ()f x ∴的值域是1,2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦
【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><
的部分图象如图所示， 若
6()(0)52f παα=<<，则()6
f π
α+=_______
433
+; 【解析】 【分析】
首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭.
【详解】由图象可知，2A =，
2233T πππ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
2T π=,22π
πω
∴= ，
1ω∴=，
当2
3
x π=
时，函数取得最大值， 22,32k k Z π
πφπ∴+=+∈， 26
k πφπ=-+ ，2πφ<
6
π
φ∴=-
，
()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭，
3sin 65πα⎛
⎫∴-= ⎪⎝
⎭ ，
02
π
α<<
，6
6
3
π
π
π
α∴-
<-
<
，
4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭
那么2sin 6f παα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
34122552=⨯+⨯⨯=
=
故答案为：
45
+ 【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 16.已知 01x ≤≤，若3
112
x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22
-. 【解析】 【分析】
首先不等式等价于3
1112x ax -≤
-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝
⎭ ，且
2min 1
12
a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.
【详解】由题意可知3
1112
x ax -≤
-≤， 当(]0,1x ∈时，32
222x a x x x
-≥=-
，且2112a x x ≤+ 即2
max 22a x x ⎛
⎫≥-
⎪⎝
⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫
≤+ ⎪⎝⎭
设()2
2
g x x x
=-
，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，
1
212
a a ∴≥-⇒≥-，
设()211
2h x x x
=+ ，(]0,1x ∈
()32211
0x h x x x x
-'=-=< ，
()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()3
12
h =，
32
a ∴≤，
当0x =时恒成立， 综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦. 故答案为：13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题
17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5
B =. （1）求
cos cos sin sin A C
A C
+的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长． 【答案】(1)
5
4
【解析】 【
分析】
（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形
cos cos sin sin sin sin sin A C B
A C A C
+=，代入求值； （2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +.
【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=
35＞0
45
由a ，b ，c 成等比数列，得b 2
=ac ，根据正弦定理得：sin 2
B=sinAsinC ，
∴
cos cos +sin sin A C
A C
=cos sin sin cos sin()
=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++
sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4
B ； (2)△AB
C 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•4
5
=2
由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×3
5
，
∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21，
的周长为
【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.
18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.
（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.
【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨
-<∈⎩
(2) 3350 【解析】 【分析】
（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；
（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.
【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为
40200(10,)
70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
.
（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为
1014933
5050
++=
【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.
19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点
（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；
（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离． 【答案】(1)证明见解析；457
【解析】 【分析】
（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；
（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=1
2
AB ， 又CD∥AB，CD=
1
2
AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，
又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE， 又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ， 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ．
⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，
又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =
3
×22=3， Rt△PAB 中，PB=2，AE=
1
2
5 在矩形CDEF 中，CD=2，37 在△ADE 中，57，AD=2，
222cos 235
AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅
219
sin 1cos 35
AED AED ∴∠=-∠=
∴△A DE 的面积119
sin 2ADE S AE ED AED ∆=
⋅⋅∠=
设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得
13313×19
2
d ， 解得457 ∴点P 到平面ADE 457
【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.
20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3
A ，
B 分别为椭圆
C 的右顶
点，下顶点，OAB ∆的面积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.
【答案】(1) 2214
x y += (2)证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；
（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，2122
44
41
m x x k -⋅=+， 由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到1
2
k m =-
或5
6
k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.
【详解】解：（1）由已知，3c a =，2
2221c b a a =-，可得224a b =，
又因
1AOB S ∆=，即1
12
ab =，
所以2
2
2()4b b
=，即21b =，24a =，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()22
16140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则
122841km x x k -+=+，212244
41
m x x k -⋅=+， ①
因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，
又11y kx m =+，22y kx m =+，()22
121212y y k x x m km x x =+++，
即()
()2
2
12121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②
把①代入②得：
2222224444816k m k m k m km -+--+()
2222
4164k m k m =-+++
22121650k km m ++=得12k m =-或5
6
k m =-，
所以直线l 的方程为1
(2)2
y m x =-
-或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
所以直线l 过定点6
(,0)5
或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5
.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
21.已知函数()[2(1)]2,x
x
f x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2
- 【解析】 【分析】
（1）首先求函数的导数，并化简()()()
21x
x
f x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调
性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围. 【详解】解：(1)/
()[2(1)]2x
x
x
x
f x e e a e e a =-++⋅+
222(1)2x x e a e a =-++
2(1)()x x e e a =--
①当0a ≤时，0x e a ->，则
当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；
当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.
②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==
若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.
若01a <<，则：
当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.
当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.
(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.
②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减
故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0
f a a a a a =-++<
此时，()f x 不可能有两个零点.
③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =
此时，()f x 仅有一个零点.
④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减； 在(0,)+∞单调递增.
min ()(0)12f x f a ∴==--
()f x 有两个零点， (0)0f ∴<
解得1
2a >- ∴1
02a -<<
而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2a b a +<，则222()[(1)](1)2[(1)]0b
b f b e a a ab e a =-+-++>-+≥
故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点
综上，a 的取值范围是1(,0).2-
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.
请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l
过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ--
-=．
（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；
（2）设直线l 与圆C 交于M 、N
两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值． 【答案】(1) 直线l
的参数方程为cos ? sin x t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C
的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】
【分析】
（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.
【详解】解：（1）因为直线l
过点P ，且倾斜角为α
所以直线l
的参数方程为cos ? sin x t y t αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ--
-=
所以22cos sin 10ρρθθ---=
所以圆C
的普通方程为：22210x y x +---=，
圆C
的标准方程为：22(1)(5x y -+-=
（2）直线l
的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩
，代入圆C 的标准方程 得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=
整理得22cos 40t t α--=
设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=
所以||||PM PN -
=12|||2cos |t t α+=
，cos 2
α=± 因为0απ≤<，所以4
πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.
23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.
（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213
a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明
【解析】
【分析】
（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2
228
x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩
＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2
+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．
【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++， 所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩
. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.
（2）因为0a >，0b >，0c >，
所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当
()() 0
a x x
b -+≥等号成立； 因为()f x 的最小值为1，所以1a b
c ++=，
所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，
因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c
=+++++≤++， 所以22213
a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。