北师大版八年级数学下册课件《 线段的垂直平分线第2课时》

证明：∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端
距离相等）.
同理，PB=PC，∴ PA=PB=PC， ∴点P在BC的垂直平分线上
A
l
n
(到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上）.
P
即边AC的垂直平分线经过点P.
B
m
C
探究新知
结论 三角形三边的垂直平分线的性质
做一做： （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全 等吗?
探究新知
已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
h
B
a D
C
B
h a C (D) B
A
a
h D
C
A1
A1
A1
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
a h
探究新知
作法：
1．作BC=a；
M A
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交 MN于A点；
4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形.
B
DC
N
探究新知
素养考点
尺规作图
例 已知直线l和l上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经
过已点知P：. 直线 l 和 l 上一点P．
探究新知 （3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出 等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们 是全等的，分别位于已知底边的两侧．
探究新知
已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形.
已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
离R为半径作圆，交直线 l 于点A，B.
P
②分别以A、B为圆心，大于线段AB长度的一半
为半径作圆，相交于C、D两点.
A
B
③过两交点作直线 l ',此直线为
l 过点P的垂线.
D
连接中考
（2020·宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且
EF=GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线.
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
巩固练习
变式训练
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边 的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
探究新知
知识点2 尺规作图
文字语言： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这
一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：
A
∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴PA =PB=PC．
P
B
C
探究新知
素 养 考 点 三角形三边的垂直平分线的性质
1 例 如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形
的
C
外部,那么这个三角形是 (
)
A.直角三角形
探究新知 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形 吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个. 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上 面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个 端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等．
素养目标
3. 能够利用尺规作已知底边及底边上的高的 等腰三角形.
2. 能够运用三角形三边的垂直平分线的性质 解决实际问题.
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的 性质.
探究新知
知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质
画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完
成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点． 这一点到三角形三个顶点的距离相等．
C
求作：PC⊥ l ．
P
作法：
A
①以点P为圆心，以任意长为半径作
弧，与直线 l 相交于点A和B．
②作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l B
巩固练习
变式训练
已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过
作点法P.：
①先以点P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距 C
证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴A与E都在线段BC的垂直平分线上, 则AD垂直平分BC.
课堂检测
能力提升题
2.如图,在△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的
点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF. 证明:延长FD到G，使DG＝DF.连接EG、BG. 在△CDF和△BDG中，CD＝BD,∠CDF＝∠BDG,DF＝DG， ∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF. ∵DE⊥DF，DF＝DG， ∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG， ∴BE＋CF＞EF.
A
C．60°
D．50°
DE
B
C
课堂检测
基础巩固题
2. 已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.
则下列结论一定成立的个数为( B )
①PA=PB=PC. ②点P在AC的垂直平分线上. ③∠BPC=90°+ ∠BAC. ④∠BAP=∠CAP.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
பைடு நூலகம்
课堂检测
下列说法正确的是（ A
）
A. l是线段EH的垂直平分线
B. l是线段EQ的垂直平分线
C. l是线段FH的垂直平分线
D. EH是l的垂直平分线
课堂检测
基础巩固题
1. 如图,等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平
分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（
C）
A．80°
B．70°
1.3
XXX学校
线段的垂直平分线
第2课时
班级：X年级X班
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
性质：线段垂直平分线上的点到这条线
C
段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的
点，在这条线段的垂直平分线上.
A
B
2.线段的垂直平分线的作法.
D
探究新知 做一做：
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点．
怎样证明这个 结论呢？
探究新知 结论证明： 点拨：要证明三条直线相交于一 点，只要证明其中两条直线的交 点在第三条直线上即可. 思路可表示如下：
l是AB的垂直平分线 PA=PB
m是BC的垂直平分线 PB=PC
课堂检测
基础巩固题
1
5.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半
2
径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若
△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
课堂检测
能力提升题
1.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上, 并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
课堂检测
拓广探索题
如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边 的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F . (1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长. 解：∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC, AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.
课堂检测
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
课堂小结
线段的垂 直平分线
三角形三
边的垂直
平分线的
性
质
三角形三条边的垂直平分线相交 于一点,并且这一点到三个顶点的 距离相等
基础巩固题
3. 如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一
个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在B
(
)
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
C.AC,BC两边中线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
课堂检测
基础巩固题
4.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点, 连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则 ∠CAE=_____9_0_°__-_2_α_(用含α的式子表示).
尺规作图
A l
n
P
B
m
C
PA=PC
点P在AC的垂
直平分线上
试试看，你会写出证明过程吗？
探究新知
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分
A
线相交于点P．
l
n
求证：点P也在AC的垂直平分线上， P
且PA=PB=PC．
B
m
C
探究新知