直线与圆锥曲线的位置关系导学案
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直线与圆锥曲线的位置关系
主编 审核 定稿 班级 组别
一.学习目标
1.掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系,进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系;
2.领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用;
3.理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧;
4.培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.
二. 重点与难点
重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用; 难点:等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、 学习方法指导
1、 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时,不要仅由判别式进行判断,一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、 涉及弦长问题时,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及弦的中点及中点弦问题,利用点差法较为简便。
3、 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式,可以确定直线和圆锥曲线的位置关系,确定曲线中的参数取值范围,求几何极值等。
应用韦达定理,可以解先相交时的弦长问题,弦的中点问题或最值问题
4、重视方程的思想,等价转换的思想,分类讨论的思想,数形结合的思想在解题中的运用
四.常考题型解读
题型一:直线与椭圆的位置关系:
例1.椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是( ) A.3 B.11 C.22 D.10
例2.如果椭圆19
362
2=+y x 的弦被点)2,4(平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x
题型二:直线与双曲线的位置关系:
例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。
⑴若直线L 与双曲线C 无公共点,求k 的范围;
⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点,求k 的范围;
⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点,求k 的范围;
⑷若直线L 与双曲线C 的右支有两个公共点,求k 的范围;⑸若直线L 与双曲线C 的两支各有一个公共点,求k 的范围。
题型三:直线与抛物线的位置关系:
例4.在抛物线x y 22=上求一点P ,使P 到焦点F 与P 到点)2,3(A 的距离之和最小。
题型四:弦长问题:
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求,根
据根与系数的关系,进行整体代入。
即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ,
()22y ,x B 时,则AB =2k 1+21x x -=2
k 1+()212214x x x x -+ =211k +21y y -=211k +()2
12214y y y y -+ 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和,两根之积的代数式,然后再进行整体带入求解。
例5.过双曲线16
32
2=-y x 的右焦点2F ,倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点,求AB 。
题型五:中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法:
⑴.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点斜式得出弦的方程;
⑵.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于x (或y )的一元二次方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率k ,然后写出弦的方程;
⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ,则这两点坐标分别满足曲线方程,又⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,2
2121y y x x 为弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从而求出弦的方程。
例6.已知双曲线方程222y x -=2。
⑴求以A ()1,2为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
⑵过点()1,1能否作直线L ,使L 与双曲线交于1Q ,2Q 两点,且1Q ,2Q 两点的中点为()1,1?如果存在,求出直线L 的方程;如果不存在,说明理由。
题型六:圆锥曲线上的点到直线的距离问题:
例7.在抛物线x y 642=上求一点,使它到直线L :04634=++y x 的距离最短,并求这个最短距离。
五.反馈练习
1.过点)0,1(A 作倾斜角为4
π的直线,与抛物线22y x =交于M N 、两点,则MN = 2.已知抛物线C 的顶点坐标为原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A ,B 两点,若
()2,2P 为AB 的中点,则抛物线C 的方程为
3.过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为
4.已知直线L 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,L 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,
P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为( )
A .18
B .24
C . 36
D . 48
5.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.24y x =±
B.28y x =±
C. 24y x =
D. 28y x =
6.设双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).A. 4
5 B. 5 C. 25 D.5 7.设1F ,2F 分别是椭圆E :2
x +2
2y b =1(0﹤b ﹤1)的左、右焦点,过1F 的直线L 与E 相交于A 、B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列。
⑴求AB ⑵若直线L 的斜率为1,求b 的值。
六.课后反思
1.这节课我的最大的收获是
2.我还存在的疑惑是
3.我对导学案的建议是。