2006-2007学年度山东潍坊市高二质量检测——数学(文)

山东省潍坊市高二第二学期期末教学质量检测
数学试题（文）
2007.6
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 。

共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共32分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、考试科目铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一交收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1．函数||2x y =的值域是
（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．[)+∞,1
D ．(]1,0 2．抛物线2
2x y =的准线方程是
（ ）
A ．2
1
=
x B ．2
1-
=x C ．2
1-
=y D ．8
1-
=y 3．已知原命题为“若b a b a >>则,2
2
”，则该命题的四种形式中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
4．已知椭圆
116
252
2=+x y 上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于3，那么点M 到另一个焦点的距离等于
（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．7
5．若10<<<n m ，则
（ ）
A ．n
n
n m > B ．m
n
m m <
C ．0log <n m
D ．11--<n m
6．“1=a ”是“函数1)1()(2
--+=x a ax x f 有一个零点”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知函数x a y -=为减函数，则函数||log x y a =的图象大致是
（ ）
8．已知A 、B 、C 、D 、E 、F 分别代表完成某项工作的六道工序，其用时分别为5分钟、10
分钟、15分钟、20分钟、30分钟、50分钟，则设计的下列工序流程图中用时最小的是（ ） 9．在下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是 （ ）
A ．19313222
2=-=-x y y x 和
B ．131322
22=-=-y x y x 和 C ．13
1322
22
=-=-x y y x 和
D ．13
913222
2=-=-y x y x 和 10．下表为相关性检验的临界值表：
n －2 (5)
6
7
8
9
10
11
12
13
… 小概
率 0.05 … 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 0.553 0.532 0.514 … 0.01
…
0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708 0.684 0.661 0.641
…
下面是进行线性相关检验时所得的四组数据，其中n 是观测值组数，r 为相关系数. （1）n = 1，r = 0.953； （2）n = 9，r = 0.554； （3）n = 11，r = 0.731； （4）n = 13，r = 0.301. 则能确定相应变量间具有线性相关关系的是 （ ） A ．（1）和（2） B ．（1）和（3） C ．（2）和（4） D ．（3）和（4） 11．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且在),0(+∞上为减函数，若)3(0)1(f f >>，
则函数)(x f y =零点的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2或3 12．已知=-=+-
21
)(),2lg(2lg lg y
x y x y x 则
（ ）
A ．1
B ．
2
1
C ．2
D ．2
11或
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．曲线1==x e y x 在处的切线方程是 .
14．过点(0,2)且与抛物线y 2 = 8x 只有一个公共点的直线有 条.
15．在平面中,三角形有如下性质:等边三角形内任意一点P 到三边的距离之和等于等边三角
形的高;推广到空间,对于四面体相应的性质是: . 16．给出下列命题：
①函数x
y 1
=
在R 上是减函数； ②函数)1lg(2-=x y 的增区间是（1，+∞）
③若函数(](]10,)(lg ,1,)(∞-=∞-=的定义域为则的定义域为x f y x f y ； ④若函数)2(-=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x =－2对称. 则其中正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知虚数.|22||12|i z i z z -+=-+满足 （I ）求||z 的值； （II ）若∈+
z
mz 1
R ，求实数m 的值.
18．（本小题满分12分）
已知命题p ：对∈∀x R ，函数)12lg(+-=m y x
有意义；
命题q ：指数函数x m x f )25()(-=增函数. （I ）写出命题p 的否定；
（II ）若“q p ∧”为真，求实数m 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
已知对∈∀21,n n N +，有.2)1(),()()(2121=⋅=+f n f n f n n f （I ）求f (2)、f (3)、f (4)的值；
（II ）试猜想))((+∈N n n f 的解析式，并证明你的猜想.
20．（本小题满分12分）
将一张规格为3m ×8m 的矩形硬钢板按图纸进行操作：先裁去阴影部分的四个全等
矩形，把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱，要求矩形①作为底，矩形②③④⑤向上折起作为侧面，矩形⑥⑦对接作为水箱的盖（其中矩形⑥与⑦全等，且面积之和等于矩形①的面积）.设水箱的高为x m ，容积y m 3.（钢板厚度忽略不计） （I ）求y 关于x 的函数关系式；
（II ）当水箱的高x 设计为多大时，水箱装水最多？
21．（本小题满分12分）
已知椭圆方程.22,),0(12
2222==>>=+e b a b a b
y a x 离心率其中 （I ）求椭圆方程；
（II ）若椭圆上动点)0)(0,(),(>m m A y x P 到定点的距离|AP |的最小值为1，求实数m 的
值.
22．（本小题满分14分）
已知)(,)2(4)2(2)(3x f x x a x g ---=是定义在[－1，1]上的偶函数，当
).2()(,]0,1[x g x f x -=-∈时
（I ）求)2(x g -的表达式； （II ）求)(x f 的表达式；
（III ）若a > 6，是否存在实数a ，使函数)(x f 的图象的最高点恰好落在直线y =12上？
若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分.
1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9．D 10．B 11．C 12．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分. 13．0=-y ex 14．3
15．正四面体内任意一点P 到四个面的距离之和等于正四面体的高 16．②④
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本题满分12分）
解：（I ）设bi a z +=(a ,b ∈R 且b ≠0)，
|22||212|i bi a i bi a -++=-++∴，
…………2分
2222)2()2()12()12(-++=-++∴b a b a ，
即22
2
=+b a ，
.2||=∴z
…………6分
（II ）2)(1)(1bi
a bi a m bi a bi a m z mz -++=+++=+
i b
mb a ma )2
()2(-++=，
…………9分
∈+
∴z mz 1
R ， 0;02≠=-∴b b
mb 又，
.21=∴m
…………12分
18．（本小题满分12分）
解：（I ）命题p 的否定是：
∈∃x R ，命函数)12lg(+-=m y x 无意义.
…………4分 （II ）若“q p ∧”为真，则p 、q 均为真.
…………5分 若p 为真，则∈>+-x m x 对,012R 恒成立， …………6分
即12->m x
，对∈x R 恒成立， ∵对∈x R ，02>x
，
01≤-∴m ，
.1≤∴m ①
…………9分 若q 为真，则125>-m ， .2<∴m ②
…………11分
由①，②可得实数m 的取值范围为.1≤m …………12分
19．（本小题满分12分）
解：（I ）42)1()1()11()2(2
==⋅=+=f f f f ，
…………1分 82)2()1()21()3(3==⋅=+=f f f f ， …………2分 .162)2()2()22()4(4==⋅=+=f f f f
…………3分
（II ）由（I ）猜想得：对∈∀n N +，.2)(n
n f = …………6分
证明：令)(2)1()()1(,1,21n f f n f n f n n n =⋅=+==则，…………8分
.2)
()
1(=+∴
n f n f
…………9分
令)1(),(1+==+n f a n f a n n 则，
,
2)1(,2)()
1(11===+=∴
+f a n f n f a a n n 又
∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，
…………10分
n n n a 2221=⋅=∴-， .2)(n n f =∴
…………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I ）依题意知高为xm ，则长方体水箱长为.)23(,)4(2
28m x m x x
--=-宽为
…………3分
则水箱容积为.12112)23()4(23x x x x x x y +-=⋅-⋅-= …………5分
又.230.
023,04,
0<<∴⎪⎩
⎪
⎨⎧>->->x x x x
).2
3
0(1211223<<+-=∴x x x x y x y 的函数关系为关于
（II ）x x x y 1211223+-= ，
.122262+-='∴x x y
…………8分 令.33
2
0==
='x x y 或得 …………9分
02
3
32;0,320),23,0(32<'<<>'<<∈y x y x 时当时且当 ， 3
2
=∴x 当时，y 取最大值.
因此，把水箱高设计成m 3
2
时，水箱装水最多. …………12分
21．（本小题满分12分）
解：（I ）由题得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
==+==.22,,2222a c e c b a b a
…………3分
解得：2,2=
=b a ，
.12
42
2=+∴y x 所求椭圆方程为
…………5分
（II ）由方程.2
2,2212422
22x y x y x -=≤≤-=+知 …………7分
而22)(||y m x AP +-=
，
.2)2(2
1
22)(||2222
2
+--=-+-=∴m m x x m x AP
…………9分
令0,1)(:22,2)2(2
1
)(min 22>=≤≤-+--=
m x f x m m x x f 又由题意得，则 ①当12)2()(,10,2202min =-==≤<≤<m m f x f m m 时即，
)1(1舍去-==∴m m ；
②当1)2()2()(,1,222min =-==>>m f x f m m 时即，
)1(3舍去==∴m m ；
综上，m = 1或m = 3. …………12分
22．（本小题满分14分）
解：（I ）3)2(4)2(2)(---=x x a x g ，
.42)22(4)22(2)2(33x ax x x a x g +-=-----=-∴
即：.24)2(3ax x x g -=-
…………3分
（II ）)2()(,]0,1[x g x f x -=-∈时 ，
,
]1,1[)(]).0,1[(,24)(3上是偶函数在又-=-∈-=∴x f y x ax x x f
.24)()(,]1,0[3ax x x f x f x +-=-=∈∴时当
…………6分
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤--=∴).
10(24),
01(24)(3
3
x ax x x ax x x f …………8分
（III ）由题意知：.12)(max =x f
…………10分
)(x f 是偶函数，
∴只需考虑10≤≤x 的情况，
当10≤≤x 时，a x x f 212)(2
+-='，
…………11分
,
]1,0[)(.0)(,10,
0212,01212,10,
122,622上单调递增在时即x f x f x a x x x a a ∴>'≤≤>+-∴≤-≤-∴≤≤>∴>
12)1()(max ==∴f x f ，
…………13分
即：1242=-a ， 8=∴a ，
综上，存在a = 8，使得f (x )的图象的最高点落在直线y = 12上. …………14分。