上海市闸北区第二学期高三数学（理科）期中练习卷 .4

闸北区第二学期高三数学（理科）期中练习卷 .4
一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写
结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知z 和
i
z -+12
都是纯虚数,那么=z ． 2．函数)cos(sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．
3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为 ．
4．在极坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标为 ．（写出一个即可）
5．下列三个命题：①若||||b a b a -=+，则0=⋅b a ； ②若0≠a ，c a b a ⋅=⋅，则
c b =；③若||||||b a b a =⋅，则b a //．其中真命题有 ．（写出所有真命题的
序号）
6．有一公园的形状为ABC ∆，测得3=AC 千米，1=AB 千米，
60=∠B ，则该公园的占地面积为 平方千米．
7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为π12的球面上，则该正方体的体积为 ．
8．设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为 ．
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望=ξE ___ __．
10．若函数1log 2
)(|
3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为 ． 11．设2log log -==y x b a ，2=+b a ，则y x +的取值范围为 ．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．设∈b a ,R ，则 “b a >” 是“3
3b a >” 的 【 】
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分也不必要条件 13．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为 【 】 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
14．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的%10，然后再种植2500棵
树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在 【 】
A ．22000颗
B ．23500颗
C ．25000颗
D ．26500颗 15．已知)1,2(-A ，)1,1(-B ，O 为坐标原点，动点P 满足OB n OA m OP +=，其中
R ∈n m 、，且2222=-n m ，则动点P 的轨迹是 【 】 A ．焦距为3的椭圆 B ．焦距为32的椭圆 C ．焦距为3的双曲线 D ．焦距为32的双曲线
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤． 16．（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．
设函数)12(log )(2+=x
x f ，R ∈x . （1）求)(x f 的反函数)(1x f
-； （2）解不等式)(2x f )5log (21
+≤-x f
.
17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交a 元（62≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的销售价为x 元（97≤≤x ）时，一年的销售量为)12(x -万件．
（1）求该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L 最大，并求L 的最大值)(a Q ．
18．（满分15分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题6分．
如图，平面α上定点F 到定直线l 的距离2=FA ，曲线C 是平面α上到定点F 和到定直线l 的距离相等的动点P 的轨迹． 设α⊥FB ，且2=FB ．
（1）若曲线C 上存在点0P ，使得AB B P ⊥0， 试求直线B P 0与平面α所成角θ的大小；
（2）对（1）中0P ，求点F 到平面0ABP 的距离h ．
19．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．
在数列}{n a 中，51=a ，2431+-=+n a a n n ，其中*
N ∈n ．
（1）设n a b n n 2-=，求数列}{n b 的通项公式；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与n n 20112
+的大小．
20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．
在ABC ∆中，A 、B 为定点，C 为动点，记A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、
c ，已知2=c ，且存在常数)0(>λλ，使得λ=2
cos 2
C
ab ． （1）求动点C 的轨迹，并求其标准方程；
（2）设点O 为坐标原点，过点B 作直线l 与（1）中的曲线交于M N ，两点，若ON OM ⊥，试确定λ的范围．
高三数学（理科）期中练习卷评分标准与参考答案（.4）
一、1. i 2； 2．Z k k k ∈+-],4
2,432[π
πππ； 3．18； F
A B
P
l α E
4．
)2
3,
1(π或
)
2
,1(π
-或
)
2
,1(π
-等； 5．①③；
6．
2
3； 7．8； 8．]1,3(--； 9．6
5； 10．),3(+∞； 11．),2(+∞． 二、12. C ； 13．B ； 14．C ； 15．D ． 三、16．解：（1）)12(log )(21
-=-x x f ，),0(+∞∈x ．………………………………5分
（2）由)(2x f )5log (21+≤-x f
，得
05log 2>+x ，且)12(log 22+x )12(log 5log 22-≤+x ，
0223)2(22≤+⨯-∴x ， ………………………………………………………………5分
221≤≤∴x ，10≤≤⇒x
综上，得10≤≤x ． ………………………………………………………………2分 17．解：（1）该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式为： )12)(2(x a x L ---=，]9,7[∈x ．………………………………………………………6分
（2）当42<≤a 时，此时，92
14
8<+≤a ，
所以，当2
14
+=a x 时，L 的最大值4)10()(2a a Q -=， ………………………………3分
当64≤≤a 时，此时，102
14
9≤+≤a ，
所以，当9=x 时，L 的最大值)7(3)(a a Q -=． (3)
分
答：若42<≤a ，则当每件产品售价为
2
14
+a 元时，该分公司一年的利润L 最大，最大值4
)10()(2
a a Q -=；若64≤≤a ，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润L
最大，最大值)7(3)(a a Q -=． (2)
分
18．解：（1）【解法一】如图，以线段FA 的中点为原点O ， 以线段FA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系xyz O -．…………………1分 由题意，曲线C 是平面α上以原点O 为顶点， 由于在xOy 平面内，C 是以O 为顶点，以x 轴 为对称轴的抛物线，其方程为x y 42
=，
因此，可设)0,,4
(2
y y P …………………………2分
)0,0,1(-A ，)2,0,1(B ，所以，)2,0,2(=AB ，)2,,4
1(2
y y PB --=．………………2分
由AB B P ⊥0，得3204)4
1(22
=⇒=+-y y ，)0,32,3(P ⇒……………………2分 所以，直线B P 0与平面α所成角的大小为2
1
arctan （或33arcsin ）． ………………2分
B F A P
l
α
x
O y
z
【解法二】如图，以点A 为原点O ，以线段FA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系xyz O -． ……………………………………………………………………………1分 所以，)0,0,0(A ，)2,0,2(B ，)0,0,2(F ，并设)0,,(y x P ，
由题意，⎩⎨⎧==+.,
222PE PF AP AB PB ……………………………………………………………4分
⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+++-.
)2(,
84)2(2
222
222x y x y x y x )0,32,3(P ⇒ ………………………………………2分 所以，直线B P 0与平面α所成角的大小为2
1
arctan （或33arcsin ）． ………………2分
（2）【解法一】由（1），得ABP ∆的面积为102=∆ABP S ， (1)
分
AFP ∆的面积为32=∆AFP S ， ……………………………………………………………1分
所以，2323
1
10231⨯⨯=⨯h ， (3)
分
解得，5
30
=h ． ………………………………………………………………1分 【解法二】)2,0,2(=AB ，)0,32,4(=AP ，设向量),,(z y x n =
则⎩⎨
⎧=+=+0
324,
022y x z x
所以，平面0ABP 的一个法向量)3,32,3(0--=n ，………………………………………3分 5
30
|
|||00=
⋅=
∴n n AF h ．……………………………………………………………………3分
19．解：（1）由2431+-=+n a a n n 得)2(3)1(21n a n a n n -=+-+， 又0121≠=-a ，02≠-n a n ，得
32)
1(21=-+-+n
a n a n n ， ………………………………3分
所以，数列}2{n a n -是首项为3，公比为3的等比数列， ………………………………2分
所以，n
n b 3=． ……………………………………………………………………2分 （2）n
n n n n a n a 3232+=⇒=-，
)1()13(2
3++-=
n n S n
n ，…………………………………………………………………2分 )113403(2
3
2010)13(23)2011(2--=--=+-n n n n S n n n ． (1)
分
设113403--=n c n
n ，
由
于
-+1n c 134032-⋅=n n c ……………………………………………………………………
……………………………2分 当6<n 时，<+1n c n c
当6≥n 时，>+1n c n c
即，当6<n 时，数列}{n c 是递减数列，当6≥n 时，数列}{n c 是递增数列 ………………2分
又040181<-=c ，041608<-=c ，076229>=c
所以，当8≤n 时，<n S n n 20112
+； …………………………………………2分 所以，当8>n 时，>n S n n 20112
+． (2)
分
20．解：（1）在PAB △中，由余弦定理，有C ab b a cos 222
2
2
-+=， ……………1分
2122
cos 12)cos 1(24||2
>+=+=++=+λC
ab C ab b a ， ……………………3分
所以，点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，长轴长λ+=122a 的椭圆．（除去长轴上的顶点） …………………………………………………………………………………………1分
如图，以A 、B 所在的直线为x 轴，以A 、B 的中点为坐标原点建立直角坐标系． 则，(10)A -，和(10)B ，．
椭圆C 的标准方程为：
112
2=++λ
λy x )0(≠y ． …………………………………………4分
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，由题意，有(11)M ，，(11)N -，在椭圆上． 即
2511111±=⇒=++λλλ，由0>λ，得.2
5
1+=λ………………………………1分
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==++)1(,112
2x k y y x λλ得：0))(1()1(2])1([2
222=-+++-++λλλλλk x k x k ，………2分
由题意知：0)1(2
>++k λλ，
所以2221)1()1(2k k x x λλλ+++=+，2
221)1()
)(1(k k x x λλλλ++-+=⋅．
于是：2
2
221212
212
21)1(]1)([)1)(1(k
k x x x x k x x k y y λλλ++-=++-=--=⋅． 因为ON OM ⊥，所以0=⋅ON OM ，
所以0)1()1(2
2222121=++---+=
⋅+⋅k k y y x x λλλ
λλλ，………………………………………4分 所以，012
22
≥-++=
λλλ
λk ， 由0>λ得012
>-+λλ，解得.2
5
10+<
<λ …………………………………………2分
综合①②得：.2
5
10+≤<λ ………………………………………………………………1分。