数学人教B版选修2-1课后导练：2.3.2双曲线的简单几何

课后导练
基础达标
1.双曲线与椭圆64
162
2y x +=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x ，则双曲线方程为（ ）
A.x 2-y 2=96
B.y 2-x 2=160
C.x 2-y 2=80
D.y 2-x 2=24 答案：D
2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（ ）
A.162022y x -=1
B.16202
2x y -=1 C.201622y x -=1 D.20
162
2x y -=1 答案：B
3.中心在坐标原点，离心率为3
5
的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A.y=±45x B.y=±54x C.y=±34x D.y=±4
3x
答案：D
4.焦点为(0，6)且与双曲线2
2x -y 2
=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A.241222y x -=1
B.24122
2x y -=1 C.122422x y -=1 D.12
242
2y x -=1 答案：B
5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e 等于（ ） A.2 B.3 C.5 D.
2
5 答案：C
6.双曲线5y 2-4x 2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________. 答案：25 4 y=±
552x 5
5
3 7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________.
答案：xy=
2
1 8.已知双曲线x 2-3y 2=3上一点P 到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P 点到右准线的距离为______________. 答案：6
9.双曲线4
92
2y x -=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k 的值. 解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐
近线平行或直线与双曲线相切.
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=±3
2
x. ∴k=±3
2式.
10.双曲线与圆x 2+y 2=17有公共点A （4，-1），圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
解:∵点A 与圆心O 的连线的斜率为-4
1， ∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x 2162
y -=λ.
∵点A （4，-1）在双曲线上，
∴16161-=λ,λ=225
2
y .
∴双曲线的标准方程为25516
2552
2y x ==1. 综合运用
11.已知双曲线22
22b
y a x -=1(a ＞0,b ＞0),F 1、F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，求
|PF 1|·|PF 2|的最小值.
解:设P 点的横坐标为x 0，则x 0≥a 或x 0≤-a.由焦半径公式得|PF 1|·|PF 2|=|a-ex 0||a+ex 0|=|a 2
-22
a
c
x 02
|=22a c x 02-a 2=2
22a
b a +x 02-a 2
. ∵|x 0|≥a,∴x 02≥a 2.
∴|PF 1|·|PF 2|≥2
22a
b a +·a 2-a 2=b 2
. 当|x 0|=a 时，上式“=”成立. ∴|PF 1|·|PF 2|的最小值为b 2.
12.在双曲线12
132
2y x -=-1的一支上有不同的三点A （x 1，y 1）、B （x 2，6）、C （x 3，y 3），与焦点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；
（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标. 答案：（1）解：∵
c
a y PF 2|
|-
=e. ∴|PF|=ey-a.又A 、B 、C 到F 的距离成等差数列， ∴2（ey 2-a ）=（ey 1-a ）+（ey 3-a ）. ∴y 1+y 3=2y 2=12.
（2）证明：由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.113
12,113
122
3232
121x y x y .
①-②，得
121（y 1-y 3）（y 1+y 3）13
1
-（x 1-x 3）·（x 1+x 3）=0. ∴
.13
)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--
若x 1+x 3=0，
则k AC =0，y 1=y 3=y 2=6，A 、B 、C 三点共线，这是不可能的. ∴x 1+x 3≠0.则AC 的中垂线方程为y-6=3
113
x x +-
（x 231x x +-）.
即y=2
25
1331++-
x x x .
因此，AC 的中垂线过定点（0，
2
25
）. 13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=2
1
,求双曲线的方程. 解:∵双曲线的中心在原点，准线和x 轴垂直， ∴双曲线的方程是标准的且焦点在x 轴上.
∵a c =4,c a 2=2
1.
∴a=2,c=8.∴b 2=82-22=60.
∴双曲线的方程是60
42
2y x -=1. 拓展探究
14.已知双曲线5
42
2y x -=1，F 为其右焦点，A （4，1）为平面上一点，点P 为双曲线上一点，求|PA|+
3
2
|PF|的最小值（如右图）.
解：由双曲线的第二定义可知d PF ||=e ，其中d 为P 到右准线l ：x=34的距离，e=2
3
. ∴|PF|=ed=2
3
d. ∴|PA|+
32|PF|=|PA|+32·23d. ∴|PA|+32|PF|=|PA|+d ，则求|PA|+3
2
|PF|的最小值：在双曲线上求一点P ，使P 到A 的距离与
到右准线l ：x=3
4
的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直
线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A 向右准线l ：x=3
4
作垂线ＡＢ，交双曲线于P
点，此时|PA|+d 最小，即|PA|+3
2|PF|最小，最小值为垂线段AB 的长，易求|AB|=38
，故
|PA|+3
2|PF|的最小值为38.
15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P 满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P 的轨迹为W.
(1)求W 的方程;
(2)若A 、B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求·的最小值.
解法一:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.
又半焦距c=2,故虚半轴长b=222=
-a c .
所以W 的方程为2
22
2y x -=1,x≥2.
(2)设A 、B 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2. 从而·=x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2.
当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m,与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0.
故x 1+x 2=2
12k km -,x 1x 2=1
2
22-+k m . 所以·=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)
=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2
=2
2
22222121)2)(1(m k m k k m k +-+-++ =1
42122222-+=-+k k k .
又因为x 1x 2＞0,所以k 2-1＞0,从而·＞2. 综上,当AB ⊥x 轴时,·取得最小值2.
解法二:(1)同解法一.
(2)设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x i 2-y i 2=(x i +y i )(x i -y i )=2(i=1,2). 令s i =x i +y i ,t i =x i -y i ,
则s i t i =-2,且s i ＞0,t i ＞0(i=1,2),所以
·=x 1x 2+y 1y 2
=
41(s 1+t 1)(s 2+t 2)+41
(s 1-t 1)(s 2-t 2) =21s 1s 2+2
1
t 1t 2≥2121t t s s =2. 当且仅当s 1s 2=t 1t 2,即⎩⎨
⎧-==2
121,
y y x x 时“=”成立.
所以·的最小值是2.。