分块矩阵

(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
1 3 4 2 1 3 , 0 2 1 0 0 2
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
1 0 1 −1 2 2 3 0 A= 3 1 2 2 2 0 2 −2 4 4 6 0 2A = 6 2 4 4
−1
0 ( E是n阶单位阵 ) E
A X 11 = E , A X 12 = O , 有 C X 11 + B X 21 = O , C X + B X = −1 , X 11 X 12 = O , = − B −1 C A−1 , X 21 = B −1 , X 22
A n×n
C
Bm×m
= A⋅B
C
Bm×m
A n×n ( −1)mn A ⋅ B = 0
5 2 例2 设A= 0 0
2 0 0 1 0 0 , 求A 2及 A 8 0 8 3 0 5 2
0 例3 设A 3×3 , A = 5,B 2×2 , B = −2, 求 (3B)-1 为4维列向量,且 A = 4, B = 1, 求 A + B
X 11 设 D = X 21 n阶矩阵( i , j = 1,2),
−1
A 0 X 11 X 12 D⋅D = ⋅ C B X 21 X 22 A X 11 A X 12 E = = C X 11 + B X 21 C X 12 + B X 22 0
2.分块矩阵求逆 分块矩阵求逆 分块
A 0 设A, B都是n阶可逆矩阵 , 证明D = 例4 C B 必为可逆矩阵 , 并求D的逆矩阵 .
证
因为 det D = det A ⋅ det B ≠ 0(Q A, B均可逆 ,
X 12 , 其中 X ij 均为 X 22
det A ≠ 0, det B ≠ 0), 所以D为可逆矩阵 .
a1 0 M 0 0 0 a2 M 0 0 0 0 O 0 ,其中ai ≠ 0, 求A -1 L an-1 L 0 L L
0 0 例7 设A = M 0 a n
1 -1 0 0 2 0 1 -1 0 0 ,C = 例8 设A= 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 且X满足X(E − C−1B)T CT = E, 求X
A∗ 0
例4 设A 4×4 , A = (a,r2 ,r3 ,r4 ),B = (b,r2 ,r3 ,r4 ), 其中a,b,ri
例5 设A,B为n阶矩阵,A∗ ,B∗分别是其伴随矩阵, A 0 C= 的 伴 随 矩 阵 是( ) 0 B A A∗ B B∗ 0 0 A) ;B) ; ∗ ∗ BB AA 0 0 A B∗ B A∗ 0 0 C) ;D) ∗ ∗ BA AB 0 0
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 = 1 C3 b
C2 , C4
即
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C2 = C3 C 4 1 b
0 1 0 a 0 0 a = ( A1 A2 A3 A4 ),其中 2 = A1 L4 L 3 1 0 1 b 1 b 0 b
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
相同的分块法 , 有 A11 L A1 r B11 A= M M , B = M A B L A sr s1 s1
( 5 ) 分 块 对 角 阵 :设 A为 n阶 矩 阵 , A i都 是 方 阵 ,
A1 O A2 称为对角分块矩阵 A= , O O As
则 A = A1 A2 L As .
A1n n A2 An = O n As 6）分块矩阵的行列式 ）
例
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B1 0 = B2 , 1 B3 b
即
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B 1 0 = B2 1 B 3 b
−1 O C A B −1 . ( 2)设D = , 则 D = −1 B O − A−1 C B −1 A
1 0 例5 设A = 0 0
2 1 0 1 1 2 , 求 A −1 . 0 2 1 1 0 2 3 2 , 求 A −1 例6 设A = 3 4
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
例1
设
1 0 A= −1 1
0 0 0 0 1 1 0 0 −1 2 , B = 1 2 1 0 0 −1 −1 1 0 1
故
−1 O A −1 . D = − −1 C −1 −1 A B B
同理可得： 同理可得：
设A、B均可逆 , 对分块矩阵 D :
A−1 − A−1 C B −1 A C ; (1)设D = , 则 D −1 = O −1 O B B
一、分块矩阵 (block matrix)
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 分块法， 简化运算，经常采用分块法 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0 1 a 0 1
1 a 0 1 0 0 b 1
0 0 b 1
0 0 A O 0 b 1 1 a 0 O B E = E B , 其中A = 1 0 b a 1 1 0 b
B11 E = B21 B22
1 0 0 1 4 1 2 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21 − 2 又 A1 B11 + B21 = −1 1 0 −1 4 于是 AB = −2 4 −1 1
L L B1 r M B sr
其中 Aij 与 B ij的行数相同 , 列数相同 , 那末
A11 + B 11 A+ B = M A +B s1 s1
L L
A1 r + B 1 r M . A sr + B sr
1 0 1 −1 A = 2 2 3 0 3 1 2 2
1 0 0 1 求 AB . , 4 1 2 0
A, 解 把A, B分块成
0 1 0 0 0 1 A = −1 2 1 1 1 0 E O = , 1 A E
0 0 0 1
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
2 3 0 1 B = 1 1 1 −1 3 1 1 3
3 3 1 0 则A + B = 3 3 4 −1 6 2 3 5
A11 L A1r (2 ) 设 A = M M , λ为数 , 那末 A L A s1 sr
E B11 = B22 A1 B11 + B21 4 3 3 , A1 + B22= , 1 3 1 1 0 0 1 . 3 3 3 1
. A1 + B22 E
T T A11 L A r A11 L Ass1 AT L AT1 1 11 T T (4 ) 设 A = M M , 则 A = MM MM .. 则 A = As1 L A AT T L AT A L AT sr sr sr 1r1r