黑龙江省大庆实验中学高三数学下学期得分训练(五)试题 理 新人教A版【会员独享】

2012年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题（五）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅱ卷第22—24题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求
1．集合，,则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
2. 2
2(1cos)x dx
π
π-+
⎰等于 ( )
A．π B. 2 C. π-2 D. π+2
3. 下列命题中正确的是 ( )
A. 命题“x∈R ,≤0”的否定是“x∈R ,≥0”；
B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
C.若“，则a b”的否命题为真；
D.若实数x,y∈[－1,1],则满足的概率为.
4. 如果运行如图的程序框图，那么输出的结果是( )
A.1，8，16
B.1，7，15
C.2，10，18
D.1，9，17
5. 已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB 的中点沿与AB 夹角为的方向射到BC 上的点后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点
、
和
（入射
角等于反射角），设
坐标为（
），若
，则tan 的取值范围是（ ）
A.（）
B. （）
C.（）
D.（）
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆
上，则（ ）
A. B. C.
D.
7. 设y
x b a b a b a R y x y
x
1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则
若的最大值为 ( ) A. 2 B.
23 C . 1 D.2
1 8. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征
完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A ．
891 B ．2591 C ．4891 D ．6091
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9. 若5(1,a a b =+为有理数），则a b += w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80
10.椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，A 、B 两点的坐标分别为()11,x y )和()22,x y ，则12y y -的值为
（ ）
A ．
5
3
B ．
10
3
C ．
20
3
D 11. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
A.
3
B.3
C.
3
12. 记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max
{}12,,......n x x x ，最小数为
min {}12,,......n x x x 。

已知ABC 的三边长为a,b,c （a b c ≤≤），定义它的亲倾斜度为
max ,,.min ,,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则“l =1”是“∆ABC 为等边三角形”的 （ ）
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 设等比数列{}n a 的公比12q =
，前n 项和为n S ，则44
S
a = 14. 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位:cm),则它的侧视
图的面积为
15. 若x,y 满足约束条件目标函数z=ax+2y 仅在点（1，
0）处取得最小值，则a 的取值范围是 16. 观察下列等式：
15
35522C C +=-，
159
7399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，
1591317
157171717171722C C C C C ++++=+，………
由以上等式推测到一个一般的结论： 对于*
n N ∈，159
41
41414141n n n n n C C C C ++++++++
+= ．
三. 解答题：本大题共6小题，满分70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本题满分12分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 向量
p =(sinA,b+c), q =(a －c,sinC －sinB), 满足|p +q |=| p －q |
.
(Ⅰ) 求角B 的大小；
(Ⅱ)设m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1), m ·n 有最大值为3，求k 的值.
18. (本题满分12分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
19. (本题满分12分) 如图， 在四面体ABOC 中,
,
且
.
（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在
一点，使，并计算的值；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

20. (本题满分12分)已知m>1，直线，椭圆C ，、分
别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程
;
（Ⅱ）设直线与椭圆C 交于A 、B 两点，△A 、△B 的重心分别为G 、H.若原点O
在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
21. (本题满分12分) 已知函数的图象过坐标原点O,且
在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值；
(Ⅲ)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P 、Q ，使得是以O 为
直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在直径是AB 的半圆上有两个不同的点M 、N,设AN 与BM 的交点是P.
求证：AP ·AN+BP ·BM ＝
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知圆C 的参数方程为，若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以
圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的 极坐标方程. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，且
.求证：4
1
)()(21<
-x f x f
2012
年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题（
五
2012年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题（五）
出题人：刘立梅审题人：包英哲王春锋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22—24题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求1、已知集合2{0,}A x =,{1,2}B x =-，若{1,0,4}A
B =-，则x =（
）
A ．4
B ．2
-C ．2
D ．0或2
2、1．若
1(,)1a
bi a b R i =+∈-，则复数a bi +=（
）A ．1i +B ．12i +C ．2i
-D ．2i +3、已知直线,m n 和平面βα,满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥，则（
）
A ．n β
⊥B ．//,n β或β
⊂n C ．n α
⊥D ．//,n α或α
⊂n 4、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，11121S =，则7S 等于（
）
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
5、设a ，b 为不共线的向量，若向量AB a kb =-，2CB a b =+，3CD a b =-，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（）
A ．2-
B ．2
C ．10
-D ．10
6、下列四个函数中，图象为如图所示的只可能是（
）
A ．21y x nx =+
B ．21y x nx =-
C ．21y x nx =-+
D ．21y x nx
=--7、设1
,11a R a a
∈><则是的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
8、已知双曲线
2222
1x y a b (0,0)a b >>，若过其右焦点F 作倾斜角为045的直线l 与双曲线右
支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）
A ．[2,
)B ．(1,2)C ．[2,)
D ．(1,2)
9、已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量(,)m cosA sinA =，(1,3)n =，若m ∥
n ，且acosB bcosA csinC +=，则角B =（
）A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
23
πD ．
56
π10、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为（
）
A ．
16B ．
13C ．
2
3
D ．
12
11、设实数,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00
2063y x y x y x ，若目标函数
z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为12，
则
24
3a b
+的最小值为（）
A ．625
B ．
3
8C ．
3
11
D ．4
12、定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数．给出下列结论：
①函数()f x 的最小正周期为2；②函数()f x 的图像关于（1，0）对称；③函数()f x 的图像关于2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ．
其中正确命题的序号是（
）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：
3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型
号产品有16件，那么此样本的容量n =
．
14、以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与直线y x =相切的圆的标准
方程为____．
15、右边的流程图最后输出的n 的值是。

16、用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3π=，(]1.22-=-．有
2012年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题（五）
出题人：刘立梅审题人：包英哲王春锋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22—24题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求1、已知集合2{0,}A x =,{1,2}B x =-，若{1,0,4}A
B =-，则x =（
）
A ．4
B ．2
-C ．2
D ．0或2
2、1．若
1(,)1a
bi a b R i =+∈-，则复数a bi +=（
）A ．1i +B ．12i +C ．2i
-D ．2i +3、已知直线,m n 和平面βα,满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥，则（
）
A ．n β
⊥B ．//,n β或β
⊂n C ．n α
⊥D ．//,n α或α
⊂n 4、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，11121S =，则7S 等于（
）
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
5、设a ，b 为不共线的向量，若向量AB a kb =-，2CB a b =+，3CD a b =-，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（）
A ．2-
B ．2
C ．10
-D ．10
6、下列四个函数中，图象为如图所示的只可能是（
）
A ．21y x nx =+
B ．21y x nx
=-C ．21y x nx
=-+D ．21y x nx
=--7、设1
,11a R a a ∈><则是的（）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
8、已知双曲线
2222
1x y a b (0,0)a b >>，若过其右焦点F 作倾斜角为045的直线l 与双曲线右
支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）
A ．[2,
)B ．(1,2)C ．[2,)
D ．(1,2)
9、已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量(,)m cosA sinA =，(1,3)n =，若m ∥
n ，且acosB bcosA csinC +=，则角B =（
）A ．
6π
B ．
3
π
C ．
23
πD ．
56
π10、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为（
）
A ．
1
6
B ．
13C ．
23
D ．
12
11、设实数,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00
2063y x y x y x ，若目标函数
z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为12，
则
24
3a b
+的最小值为（）
A ．625
B ．
3
8C ．
3
11
D ．4
12、定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数．给出下列结论：
①函数()f x 的最小正周期为2；②函数()f x 的图像关于（1，0）对称；③函数()f x 的图像关于2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ．
其中正确命题的序号是（
）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：
3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型
号产品有16件，那么此样本的容量n =
．
14、以抛物线2
4y x =的焦点为圆心，且与直线y x =相切的圆的标准
方程为____．
15、右边的流程图最后输出的n 的值是。

16、用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3π=，(]1.22-=-．有
）
参考答案：一、1—6 DDCDCD 7—12 CCCABA 二、 13、 15 14、3/4 15、（-4,2） 16、 ()41
212
12n
n n --+-
三、17、解：(Ⅰ)由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p ·q ＝0，又
p=(sinA,b+c),q=(a －c,sinC －sinB),代入得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0， 根据正弦定理，可化为a(a －c)+(b+c)(c －b)=0,
即，又由余弦定理＝2acosB,所以cosB ＝，B ＝.
(Ⅱ)m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),
m ·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).
而0<A<,sinA ∈(0,1],故当sin ＝1时，m ·n 取最大值为2k-=3,得k ＝.
18、解：（Ⅰ）由直方图可得：
200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
所以 0.0125x =. ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………3分
因为6000.1272⨯=，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
………………………………………5分
（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………6分
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
14
， 4
381(0)4256P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭, 3
141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
, 2224
1327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3
34133
(3)C 4464
P X ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 4
11(4)4256
P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭. 所以的分布列为：
81272731
0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414
EX =⨯=）
所以X 的数学期望为 1. ………………………………………12分
19、解法一：
（Ⅰ）在平面内作交于，连接。

又，
，。

取为的中点，则。

在等腰中，，
在中，，
在中，，.
（Ⅱ）连接，由，知：.
又，
又由，.
是在平面内的射影.
在等腰中，为的中点，
根据三垂线定理，知：,
为二面角的平面角.
在等腰中，，
在中，，中，
.
解法二：（Ⅰ）取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空
间直角坐标系（如图所示）,则, 为中点，.
设
.
即，。

所以存在点使得且.
（Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，
且，得，故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角，记为，则.
20、解：（Ⅰ）因为直线经过点（，0），所以＝，得.又因为m>1，所以，故直线的方程为.
（Ⅱ）设，由，消去x，得，
则由，知<8,且有
由题意知O为的中点.由可知，
从而，设M是GH的中点，则M（）.
由题意可知，2|MO|<|GH|, 所以
<,<0,
而＝（）（）＝，
所以<0,即又因为m>1且>0,从而1<m<2,
故m的取值范围是（1，2）.
21、解：（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，
令得
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减单调递减又，，。

∴在上的最大值为2.
②当时, .当时, ,最大值为0；
当时, 在上单调递增。

∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；
当时，即时，在区间上的最大值为。

(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若，则代入（*）式得：
即，而此方程无解，因此。

此时，
代入（*）式得：即（**）
令，则
∴在上单调递增，∵∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角
顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。

22、证明：过点P作PE⊥AB于E，∵AB为直径，∴∠ANB＝∠AMB＝，
∴P,E,B,N四点共圆，P,E,A,M四点共圆. 由割线定理得，AE·AB=AP·AN ① , BE·AB=BP·BM ②，
由①＋②得，AB(AE+BE)=AP·AN+BP·BM,即AP·AN+BP·BM＝.
23、解：由题设知，圆心C（，0），P（0，1），∴∠PCO＝，设M（）是过P
点的圆C的切线上的任意一点，则在Rt△PMC中，有,即为所求切线的极坐标方程.
24、证明：因为＝，所以，当x∈(0,1)时，
所以，当时，
所以从而|.。