高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业4 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

课时作业4 函数及其表示
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x
，g (x )＝x
B ．f (x )＝x 2－4
x ＋2
，g (x )＝x －2
C ．f (x )＝sin2x
2cos x ，g (x )＝sin x
D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 2．若函数y ＝
mx －1
mx 2
＋4mx ＋3
的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( D )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝
mx －1mx 2
＋4mx ＋3
的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx
2
＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2
－12m <0，解得0<m <34
.综上，m 的取值X 围为
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，34. 3．(2019·某某某某模拟)已知f (x 5
)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.1
2lg5 C.13lg2 D.12
lg3 解析：解法一：由题意知x ＞0，
令t ＝x 5
，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，
即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝1
5
lg2，故选A.
解法二：令x 5
＝2，则x ＝215，
∴f (2)＝lg215＝1
5
lg2，故选A.
4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2
)的值域是( C ) A ．[0,1]
B ．[0,3]
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2
)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2
≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2
)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2
)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值
－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－18，1，故选C.
5．(2019·某某某某模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
－3，x ＞0，g x ，x ＜0
是奇函数，则f (g (－2))的值为
( C )
A.52 B ．－5
2
C ．1
D ．－1 解析：∵f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数，
∴x ＜0时，g (x )＝－1
2x ＋3，
∴g (－2)＝－1
2
－2＋3＝－1，
f (
g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－
1
2
－1＋3＝1， 故选C.
6．(2019·某某某某模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，x ≤0，
2x －2－x
，x ＞0，则满足f (x 2
－2)＞f (x )的x
的取值X 围是( C )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2
－2)＞f (x )，则x 2
－2＞x ，且x 2
－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.
7．(2019·某某成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12
解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3
－2，
又∵y ＝x －2，y ＝x 3
－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23
－2＝6.
8．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2
|x －a |
，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则
实数a 的取值X 围为( C )
A ．[－1,2)
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[1，＋∞)
解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2
|x －a |
，x ≤1，x ＋1，x ＞1，
若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2
|x －a |
在(a ，
＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，
若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意； 若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2
a －1
≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.
综上可得a 的取值X 围是[1,2]，故选C.
9．(2019·某某、某某两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x
＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．
解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨
⎪⎧
4－4x
≥0，
x ＋4＞0，
解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义
域为(－4,1]．
10．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≤0，
|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22 .
解析：由题意知，若x ≤0，则2x
＝12，解得x ＝－1；
若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－1
2
.
故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22.
11．记函数f (x )＝2－
x ＋3
x ＋1
的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1. 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，
B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，
由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或1
2
≤a ＜1.
∴a 的取值X 围为a ≤－2或1
2
≤a ＜1.
12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2
.
(1)求f (－1)，f (1.5)；
(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，
f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18
.
(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2
； 当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，
f (x )＝－12f (x －1)＝－12
(x －1)2；
当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，
f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；
当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2
]＝4(x ＋2)2
.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋2
2
，x ∈[－2，－1，
－2x ＋12
，x ∈[－1，0，
x 2
，x ∈[0，1]，
－12x －12
，x ∈1，2].
13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )
A ．y ＝12x 3－12x 2
－x
B ．y ＝12x 3＋12x 2
－3x
C ．y ＝14
x 3
－x
D ．y ＝14x 3＋12
x 2
－2x
解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋
c (a ≠0)，
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
f 0＝d ＝0，
f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，
f ′0＝c ＝－1，
f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝－12，
c ＝－1，
d ＝0，
∴f (x )＝12x 3－12
x 2
－x .
14．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，
－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大
值不超过1，则实数a 的取值X 围为( A )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
2
，－54
解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a ＋1)上递减，可得此
时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－3
2；当a ＋1＜－1，即a ＜－
2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值
X 围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－32，＋∞，故选A.。