电路方程的矩阵形式(龙

结点 回路
支路 支路
关联矩阵 回路矩阵
表示支路和 结点关联性 质的矩阵
割集
支路 割集矩阵
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7
2. 关联矩阵A
用以描述结点和支路的关联性质的矩阵。n个结
点b条支路的图用nb的矩阵描述：
结
Aa= 点 n
支路b n b
注意
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
矩阵Aa的每一个元素定义为：
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4
二、基本割集
只含有一个树支的割集。又称为
单树支割集。割集数为n-1
注意
1 9
64
3
7
28 5
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。 当一个割集的所有支路都连接在同一个结点 上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程 。
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4 0 1 0 0 -1 -1
支路b 结
A= 点 (n-1) b
n-1
降阶关联矩阵A
特点A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样
的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的 行对应的结点可以当作参考结点。
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10
关联矩阵A的作用
①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；
设: i i1 i2 i3 i4 i5 i6 T n-1个独立
①
６
③
Q1: {1, 4, 5}
５
Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
２ ④1
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支 割集 1 2 3 4 5 6
Q1
[Qf]=
Q2 Q3
100
010 001
Qt
先树支
1 10
0 -1 -1 1 0 -1
Ql
后连支
[1 Ql ]
②
３
①
26
.
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
U Sk +
.
I Sk
+
.
-
复合支路特点 U k
①支路的独立电压源和独立电流源的方向与支
路电压、电流的方向相反；
②支路电压与支路电流的方向关联；
③支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、 电容、电感，而不能是它们的组合。
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27
注意
复合支路定义了一条支路最多可以包含的不
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
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3
确定割集的方法：
一般可以用在连通图上作闭合面的方法判断或确定 一个割集。如果在G上作一个闭合面，使其包围G的 某些结点，与此闭合面相切割的所有支路便构成一 个割集。
割集：(1 9 6)
164
9
3
7
28 5
(3 6 8) (4 6 7)
u1 u2
u
3
u4
u5
u6
矩阵形式的 KVL [u] [ A]T [un ]
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例：已知网络的结点—支路关联矩阵为
1 1 0 1 0 0 1 0 ①
A
0
1
1 01 0
1
0
②
1 0 1 0 0 1 0 1 ③
1 2 3 4 55 66 7 78 8
６
２
４ Q1 ③
５
④1
Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
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基本割集矩阵[Qf]的作用
①用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。
设 [i] [i1 i2 i3 i4 i5 i6 ]T
[ Qf ][i ]=
②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程
设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0
ut1 u1
0 1
Qf
T
ut
0 1
0 0
1 1
0
1 1 0
ut ut
1 2
ut
3
ut 2 ut 3 ut 1 ut 3 ut 1 ut 2
u2
uu43
独立割集：能够列出一组独立的KCL方程的 割集。
往往以基本割集作为独立割集。基本割 集是独立割集，但独立割集不一定是单树支 （基本）割集。
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15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、图的矩阵表示
有向图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，
即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：
il 2
il 3 il1
il 2
il1 il3
T
il 2
il3
i1
i3
i4 i2
i5
i6
l
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3. 基本割集矩阵[Qf]
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这
里主要指基本割集矩阵。
割
[Q]= 集
数
支路b
注意
(n-1)b 每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路.
特点
②
３
４
①
６
③
５
２
④1
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个
是-1，Aa的每一列元素之和为零。
②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只
有n-1行是独立的。
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支 结 123456
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
un1
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
un
un2
A T
u①n
1② 0 1
３ 1
0
４0
un
1
1６ ２ 00
1
1５ 0
0 11
③un2 un3
un1 un3
un1
uun1n2uun2n3
un 3
0 ④ 1 10
un2
un3
u5
u
0 1 1
ut2 ut 3 u6
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
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小结
A
B
Q
KCL [A][ i ]=0 [B ] T [ il ] =[i] [Qf][i]=0
KVL ATun u [B][u]=0 [Q]T [ ut]=[u]
② 1 0 0 1 10
0 ３1 0 0 ４-1 -1
①0
0 ６1
10 ５
③-1
２
④1
i i i i i
i i i i i i i i
1 2 3 4
1
2
3
4
5
4
5 6 0 6
i
5
i 6
n-1个独立 KCL方程
矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0
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[ B①][ u ]1=６0 12 0 1③0 1
0 0５1 0 -1 1
２
④
3 1
u1 u3
u u u
u4
u u u u2
u u u
u5
1
3
4
2
2
5
5 6 0 6
u6
矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0
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②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程
Zk (Yk)=0
.
U Sk 0
Zk (Yk)=0
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2.支路阻抗矩阵形式
①电路中电感之间无耦合
•
•
•
•
U I I U k (
k
Sk )Zk
Sk
.
如有b条支路，则有：
•
•
•
•
U I I U 1 ( 1 S1 )Z1 S1
..
I k I ek
•
•
•
•
U I I U 2 ( 2 S2 )Z2 S2
3 0 0 1 0 -1 1
2６ 3
③
５
Bl
Bt
= [1 Bt ] 先连支 后树支
２
④
1 1
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回路矩阵[B]的作用
①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
设 [u] [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
② ul
ut
l个独立 KVL方程
３ 1 0 ４0 -1 -1 0
+
Zk - U Sk+
.
I Sk
.
Uk
-
•
•
•
•
U I I U b ( b Sb )Zb Sb
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设
I I I I
•
•
1
•
•
T
2 ......
b
U U U U
•
•
1
•
•
Hale Waihona Puke T2 ......
b
U
•
s
U•
s1
•
U
s2
•
......U
sb
T
I
•
s
以结点④为参②考结点
[A][
i
]３=
-1 0
-1 0
-11４-01
0 0
0 1
方程
i
i i i i
i i i i
1
2
3
1
3
2
4
3 6
0
①
1６0 0 1③1 0 ５
i i i i 4
1
4
5
i 5
２
i6
矩阵形式④的K1CL: [ A ][ i ]= 0
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11
②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
画出此网络的有向图。 ①
③4
6 8
②
5
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2. 回路矩阵B
独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。
独 立
[B]= 回
路
支路b
l b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
l
矩阵B的每一个元素定义为：
1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；
bij -1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；
矩阵Q的每一个元素定义为：
1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；
qij -1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；
0 支路 j 不在割集 i 中。
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规定 基本割集矩阵[Qf]
①割集方向为树支方向；
②支路排列顺序先树支后连支； ②
③割集顺序与树支次序一致。３
４
例 选 1、2、3支路为树
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例：已知网络的结点—支路关联矩阵为
1 1 0 1 0 0 1 0 ①
A
0
1
1 0
1 01 0 1 0 0 1
1 0
0
1
② ③
1 2 3 456 78
1、画出此网络的有向图。
2、选择一个树，使与此树相 ①
1
应的基本割集矩阵Q=A 3、列出与此树相应的B。 7
23
③4
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；
ajk ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点； ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
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8
例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 1 0 01 1 0
4 0 1 0 0 -1 -1
•
I
s1
•
I
s2
•
......I
sb
T
[Z]=diag[Z1 Z2……Zb]
支路电流列向量 支路电压列向量
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规定 ① 连支电流方向为回路电流方向；
②支路排列顺序为先连支后树支，回路
顺序与连支顺序一致。
例 选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。
回 支1 3 4 2 5 6
②
1 1 0 0 -1 -1 0
３
４
[B] = 2 0 1 0 1 0 1 ①
设： [i] [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]T
②
il1
il
il
2
il 3
独立回 路电流
矩阵形式的KCL： [ B ] [ i ]=[ i ] ①
３ 2
２
４1
６
BT il ④
3５00 1
1
0
0 0
③1
0
0 1
1 1 0
1 0 1
1 1
il1 il 2 il 3
il1
6
8
②
5
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15.4 回路电流方程的矩阵形式
一、复合支路
反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩 阵形式是网络矩阵分析法的基础。
为了方便列矩阵方程，需要先定义支路的模式，
故引入复合支路的概念。
.
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
U Sk +
.
I Sk
规定标准 支路
+
.
-
Uk
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0 支路 j 不在回路 i 中。
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例 取网孔为独立回路，顺时针方向
②
回 支1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 00 1
[B] = 2 0 0 0 -1 1 -1
3 1 -1 0 0 -1 0
基本回路矩阵Bf
３
４
① 1６ 2
③
５
２
④
3 1
若选取一个树的单连支回路作为独立回路组， 对应回路矩阵称基本回路矩阵[Bf]
同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。
（可含有耦合关系或受控源）。
(ZkYk）
.
.
U Sk 0 I Sk 0
.
(ZkYk） - U Sk +
.
I Sk 0
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Zk (Yk)
.
I Sk
.
- U Sk +
.
I Sk
.
U Sk 0
Zk (Yk)=0
.
U Sk
-+
.
I Sk
.
I Sk 0
第15章 电路方程的矩阵形式