2019届高考数学专题二函数零点精准培优专练理201811081138

培优点二函数零点1．零点的判断与证明
例1：已知定义在
1,上的函数f x x ln x 2，
求证：f x存在唯一的零点，且零点属于3,4．【答案】见解析
1x 1
【解析】
，x
1,，f
x0，f x 在1,+单调
递增，
f x1
x x
，f 42ln20，f 3f
40
，
，使得
f
00 31ln30f x
x03,4
因为f x单调，所以f x的零点唯一．2．零点的个数问题
例2：已知函数f x满足f
x f 3x，当x1,3，f
x ln x ，若在区间1,9内，
函数g
x f x ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）
ln31 A．,
3e
ln31
B．,
93e
ln31
C．,
92e
ln3
ln3
D．,
93
【答案】B
f x f x f x f f x f
x x x 【解析】3，当x 3,9时，
ln
33
3
，
ln x 1x
3
所以
f x x
ln3x
9
3，而g x f x ax有三个不同零点y f x与y ax有三个
不同交点，如图所示，可得直线y ax应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln31
a
93e
1
3．零点的性质
例3：已知定义在R上的函数f x满足：
f x x2x0,12
2
x2x0,1
2x x
1,0
2
，且f x 2f
x，
g x
2x
5
x 2
，则方程f x g x 在区间5,1上的所有实根之和为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现f x 在1,1关于0,2中心对称，
由f x
2f x可得f x是周期为2的周期函数，则在下一个周期3,1中，f
x关于
2,2中心对称，以此类推。

从而做出f x的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g x图像，
g x 2x 51
2
x 2x
2
，可视为将y
1
的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单
位，
x
所以对称中心移至2,2，刚好与f x对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点x x x，
123
其中x
，
23x与
1
x 关于2,2中心对称，所
以有
3
x x 。

所以
134
x x x
．故选
1237
C．
4．复合函数的零点
例 4：已知函数 f
x x
x ，若方程 2
2
4
3
f x bf x
c
恰有七个不相同的实根，则
实数b 的取值范围是（ ）
A ．
2, 0
B ．
2,1
C ．0,1
D ．0, 2
2
【答案】B
【解析】考虑通过图像变换作出 f x
的图像（如图），因为
2
f x bf x
c
最多只能解
出 2个 f x ，若要出七个根，则 f
x
， f
x
，所以
1
1
2
0,1
b f 1 x
f 2 x
1,2 ，解
得：b 2,1．
对点增分集训
一、选择题 1．设 f x ln x x 2 ，则函数 f x 的零点所在的区间为（
）
A ．
0,1
B ．1, 2
C ．
2,3
D ．
3, 4
【答案】B
【解析】∵ f 1
ln11 2 1 0 ， f 2 ln 2 0 ，∴ f 1 f 2 0 ，
∵函数 f x ln x x 2 的图象是连续的，且为增函数，
∴ f
x 的零点所在的区间是
1, 2
．故选 B ．
2．已知 a 是函数 f x
的零点，若 0 x
a ，则 2
x log x
f x 的值满足（
）
1 0
2
A ． f
x
B ．
f x 0
C ． f
x
D ． f x 的符号不确定
【答案】C 【解析】 f x 在 (0,) 上是增函
数，若
0 x
a ，则 f x f
a
．
00
3．函数
2
f(x)2x a
的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（）
x
A．1,3B．1,2C．0,3D．0,2
3
【答案】C
【解析】因为f x在(0,)上是增函数，则由题意得f 1f
2(0a)(3a)0，解得
0a 3，故选C．
4．若a b c，则函数f
x (x a)(x b)(x b)(x c)(x c)(x a)的两个零点分别位于
区间（）
A．(a,b)和(b,c)内B．
(,a)和(a,b)内
C．(b,c)和(c
,)内D．(,a)和(c
,)内
【答案】A
【解析】∵a b c，∴f
a (a b)(a c)0，f
b (b c)(b a)0，
f
c (c a)(c b)0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b)，(b,c)内分别存在零点，又函数f x是二次函数，最多有两个零点．因此函数f x的两个零点分别位于区间(a,b)，(b,c)内，故选A．
5．设函数f x是定义在R上的奇函数，当x 0时，
e3
f x x x ，则f x的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数f x是定义域为R的奇函数，所以f
00，即0是函数f x的一个零点，
当x 0时，令e30
f x x ，则e x x 3，分别
画出函数
x y x
和
1e
y x 的图
象，
23
如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f x有一个零点，
根据对称性知，当x 0时函数f x也有一个零点．
综上所述，f x的零点个数为3．故选C．
6．函数
f x
220
x x x
的零点个数为（）
1ln x x 0
A．3 B．2 C．7 D．0
4
【答案】
B
x 0
x 0
【解析】方法一：由 f
x
0得 ，解得 x
2 或 x e ，
或
x x 2 0 x
x 2
2
2
因此函数 f x 共有 2个零点．
方法二：函数 f x 的图象如图所示，由图象知函数 f x 共有 2个零点．
7．已知函数
f x
1 x 0
，则使方程 x f x m 有解的实数 m 的取值范围是
（ ）
1
x 0 x A ．1,
2
B ．
(,2] C ． (
,1) (2,
)
D ．
(
,1]
[2,
)
【答案】D
【解析】当 x 0 时， x f x m ，即 x 1 m ，解得 m 1；当 x 0 时， x f x m ，
即 1 x
m ，
x
解得 m 2，即实数 m 的取值范围是 (,1]
[2,
) ．故选 D ．
8．若函数 f
x
3ax 1 2a 在区间 (1,1) 内存在一个零点，则 a 的取值范围是（
）
1 A ．
, 5 1 B ．
5
, 1 , 1
C ． 1,
5
D ． (
,
1)
【答案】B
【解析】当 a 0 时， f
x 1与 x 轴无交点，不合题意，所以 a 0 ；函数 f
x
3ax 1 2a
1
在区间(1,1)内是单调函数，所以f (1)f 10，即(5a 1)(a 1)0，解得a
1或a
．故
5选B．
9．已知函数
f x
0x0
，则使函数g x f x x m有零点的实数m 的取值范围是
e x x 0
（）
A ．0,1B．(,1)
5
C ． (,1] (2,)
D ． (,0] (1,)
【答案】D 【解析】函数 g
x f x x m 的零点就是方程 f x x m 的根，画出
h x f x
x
x x 0 e x x x
的大致图象（图略）．观察它与直线 y
m 的交点，得知当 m
或 m
1时，有交点，即函数 g
x f
x x m 有零点．故选 D ．
10．已知 f x
是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 y f (2x
1)
f (
x ) 只有一个
零点，
2
则实数
的值是（ ）
A ．
1 4
1 8 B ．
7 3 D ． 8 8
C ．
【答案】C 【解析】令 y f (2x 2
1)
f
(
x )
0 ，则 f (2x 2
1)
f (
x ) f (x
) ，因为 f
x 是
R
上的单调函数，所以 2x 2 1 x
，只有一个实根，即 2x 2 x
1
0 只有一个实根，则
18(1 ) 0，解得
7 ． 8
11．已知当 x
0,1
时，函数
y (mx 1) 的图象与 y
x m 的图象有且只有一个交点，
则正
2
实数 m 的取值范围是（ ）
A ． (0,1][2 3,+)
B ．0,1[3,)
C ． (0, 2][2 3,+
)
D ． (0, 2]
[3,+
)
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数
2
2
2
1 f (x ) (mx
1)
m x
m
与 g (x ) x m
的
大致图象．分两种情形： （1）当 0 m 1
时， 1 m
，如图①，当 x 0,1时， f
x 与 g x 的图象有一个
交点，符合 1
题意．
6
1
（2）当m1时，0 1
m
，如图②，要使f x与g x的图象在0,1上只有一个交点，
只需g1f1，即2
1m(m1)，解得m3或m0（舍去）．
综上所述，m0,1[3,)．故选B．
12．已知函数y f x和y g x在2,2的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程f g x0有且只有6个根
（2）方程g f x0有且只有3个根
（3）方程f f x0有且只有5个根
（4）方程g g x0有且只有4个根
则正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总
数．
（1）中可得g x，g x，g x，进而g x有2个对应的
x，
12,120
31,2g x
12
有2个，
g x有2个，总计6个，（1）正确；
3
（2）中可得f x，f x，进而f x有1个对应的x，
f x有3个，总
计12,120,1
12
4个，
（2）错误；
（3）中可得 f x
， f x ， f x ，进而 f x 有 1个对应的
x ，
1
2, 1
2
3
1,2
f x
1 2
7
有 3个，
f x 有 1个，总计 5个，（3）正确；
3
（4）中可得： g
x
， g
x
，进而 g x
有 2个对应的 x ，
1
2, 1
2
0,1
g x 有 2个，共
1
2
计 4个，（4）正确
则综上所述，正确的命题共有 3个．
二、填空题 13．函数
f x 2
x
| log x |
0 5 ．
的零点个数为________．
【答案】2
x
【解析】由 f x 0，得 | log |
| log
| x 1
0.5
2
，作出函数 x
y 1
| log 0．5 x |和 2 1
| log 0．5 |和 2
y 1
2
的图象，
由上图知两函数图象有 2个交点，故函数 f
x 有 2个零点．
14．设函数 y x
3
与
1
y
2
x 2
1
2
的图象的交点为 (x , y ) ，若 0 0
x n n ， n
，则 0 ( , 1)
x 所在
的区间是______． 【答案】
1,
2
x
2
3
1
【解析】令
f x
x
2
，则 f x
，易知 f x 为增函数，且 f 1 0 ，
f 2
0 ，∴ 0
x 所在的区间是
1, 2．
15．函数
f x
220
x x
的零点个数是________．2x 6ln x x 0
【答案】2
【解析】当x 0时，令x220，解得x
2（正根舍去），所以在(,0]上有一个零点；
当x 0时，
1
f'(x)20
恒成立，所以f x在(0,)上是增函数．又因为
x
f
2
2ln20，f
3ln30，所以f x在(0,)上有一个零点，综上，函数f x的
零点个数为2．
8
16．已知函数 f
x
x x ， x R ，若方程 f x a | x
1| 0 恰有 4个互异的实数根，则
|
2 3 |
实数 a 的取值范围是________________． 【答案】
0,1
(9,
)
【解析】设
2
y f x x
x ，
1
| 3 |
y 2 a | x 1| ，
在同一直角坐标系中作出 1 | 2 3 |
y x x ，
y 2 a | x 1| 的图象如图所
示．
由图可知 f x a | x 1|
0 有 4个互异的实数根等价于
y x 2 x 与 1 | 3 | y a x 的图象
有 2 | 1| y x 2 3x
4个不同的交点且 4个交点的横坐标都小于 1，所以
y a 1 x
有两组不同解， 消去 y 得 x 2 (3 a )x a 0 有两个不等实根，
所以
(3 a )2 4a 0 ，即 a 2
10a 9 0，
解得 a
1或 a 9 ．又由图象得 a 0 ，∴ 0 a
1或 a 9 ．
三、解答题
17．关于 x 的二次方程 x 2 (m
1)x
1
0 在区间
0, 2
上有解，求实数 m 的取值范围．
【答案】 (
,1]
【解析】显然 x 0 不是方程 x 2
(m 1)x
1
0 的解，
1
0 x 2时，方程可变形为
，
1 m x
x
又∵
1 y x
在
0,1
上单调递减，在
1, 2
上单调递
增，
x
∴
1
y x
在0,2上的取值范围是[2,)，∴1m2，∴m1，
x
故m的取值范围是(,1]．
18．设函数
1
f(x)1(x 0)．
x
（1）作出函数f x的图象；
9
（2）当0a b且f a f
b时，求
11
的
值；
a b
（3）若方程f x m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）0m 1．
【解析】（1）如图所示．
（2）∵
1
1x0,1
1
x
f x
()1
x1
1x1,
x
故f x 在0,1上是减函数，而在(1,)上是增函数．
由0a b且f a f b，得0
a 1b且
11
11，∴
a b
11
2．
a b
（3）由函数f x的图象可知，当0m 1时，方程f x m有两个不相等的正根．
10。