2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.4.2 等比数列的性质 Word版

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第14课时 等比数列的性质
知识点一 等比数列的性质运用
1．在等比数列{a n ｝中,a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20
a 10
等于( ）
A ．2
3
B ．错误!
C ．错误!或错误!
D ．－错误!或－错误! 答案 C
解析 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6, ① 又a 4＋a 14＝5， ②
由①，②组成方程组得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＝2
，a 14＝3
或错误!
∴错误!＝错误!＝错误!或错误!．故选C ．
2．一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A ．10项
B ．11项
C ．12项
D ．13项 答案 C
解析 设该等比数列为｛a n }，
由已知a 1a 2a 3＝2，a n －2a n －1a n ＝4及等比数列的性质,得（a 1a n )3＝8，所以a 1a n ＝2． 又因为a 1a 2a 3…a n ＝64＝26＝（a 1a n )6， 所以该数列有12项．故选C ．
3．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ） A ．27 B ．27或－27
C ．81
D ．81或－81 答案 B
解析 ∵q 2
＝a 3＋a 4
a 2＋a 1
＝9，∴q ＝±3，
因此a 4＋a 5＝（a 3＋a 4)q ＝27或－27．故选B ．
4．若数列a 1，a 2
a 1
，错误!,…，错误!，…是首项为1,公比为－错误!的等比数列,则a 5
等于（ ）
A ．－64
B ．－32
C ．32
D ．64 答案 C
解析 ∵数列a 1,a 2
a 1
，错误!，…，错误!，…是首项为1，公比为－错误!的等比数列，
∴a 5＝a 1×错误!×错误!×错误!×错误!＝1×（－错误!）×(－错误!）2
×（－错误!)3×（－错误!)4
＝（－2）10＝32．
知识点二 等比数列的综合问题
5．已知{a n ｝为各项都是正数的等比数列,若a 4a 8＝4，则a 5a 6a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．64 答案 B
解析 由题意得a 4a 8＝a 错误!＝4,又因为数列｛a n }为正项等比数列，所以a 6＝2，则a 5a 6a 7＝a 3，6＝8,故选B ．
6．设S n 为数列{a n ｝的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N ＊，其中k 是常数． (1）求a 1及a n ；
(2)若对于任意的m ∈N ＊，a m ，a 2m ,a 4m 成等比数列，求k 的值． 解 （1）由S n ＝kn 2＋n ,得a 1＝S 1＝k ＋1． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1． 经验证，n ＝1时，上式也成立，
∴a n ＝2kn －k ＋1．
（2）∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 错误!＝a m ·a 4m ．
即(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理，得mk （k －1)＝0． ∵对任意的m ∈N ＊成立, ∴k ＝0或k ＝1．
7．设关于x 的一元二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0（n ＝1，2，3，…）有两根α和
β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
(1）试用a n 表示a n ＋1；
（2)求证：数列a n －错误!是等比数列； （3)当a 1＝7
6时，求数列｛a n ｝的通项公式．
解 (1）根据根与系数的关系，有错误!
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得错误!－错误!＝3， 所以a n ＋1＝错误!a n ＋错误!．
(2）证明：因为a n ＋1＝错误!a n ＋错误!， 所以a n ＋1－错误!＝错误!a n －错误!．
所以数列a n －错误!是以错误!为公比的等比数列． （3）当a 1＝错误!时，a 1－错误!＝错误!,
故数列a n －错误!是首项为错误!，公比为错误!的等比数列， 所以a n ＝错误!＋错误!n (n ＝1，2，3，…）．
知识点三 等差数列与等比数列的综合运用
8．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c ( )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
答案A
解析解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1,
c＝log212＝log23＋2．
∴b－a＝c－b．
解法二：∵2a·2c＝36＝（2b)2，∴a＋c＝2b．∴选A．
9．已知等差数列｛a n｝的公差为2,若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．答案－6
解析由题意，知a3＝a1＋4,a4＝a1＋6．
∵a1,a3，a4成等比数列，
∴a错误!＝a1a4，∴（a1＋4）2＝(a1＋6）a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6．
易错点一忽略等比数列中的任何一项都不为零
10．设等比数列｛a n｝的公比为q，k∈N*，b n＝a（n－1）k＋1＋a（n－1)k＋2＋…＋a nk(n＝1，2，…），试判断数列{b n}是否是等比数列？如果是，求出其公比；如果不是，请说明理由．
易错分析本题易忽略q＝－1且k为偶数时b n＝0的情况而错判{b n}是等比数列．解由b n＝a1q(n－1）k(1＋q＋…＋q k－1)，
得b n＋1＝a1q nk（1＋q＋…＋q k－1)．
①当1＋q＋…＋q k－1＝0，即当q＝－1且k为偶数时，b n＝0，此时，数列{b n}不是等比数列．
②当1＋q＋…＋q k－1≠0时，
错误!＝错误!＝q k(q k为常数），
此时，数列｛b n}是首项为b1＝a1，公比为q k的等比数列．
易错点二对等比数列中项的符号变化规律弄不清导致错误
11．已知－7,a1，a2,－1四个实数成等差数列，－4，b1,b2，b3，－1五个实数成等比数列，则错误!＝________．
易错分析本题极易由b错误!＝（－4)×(－1）＝4，求得b2＝±2而致错．
对于等比数列｛a n｝，若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数,则所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．如本题中,无论公比是正数还是负数，b2与－4一定同号．
解解法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得d＝2,q2＝错误!，所以a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×错误!＝－2，
所以错误!＝错误!＝－1．
解法二：因为－7,a1，a2，－1四个实数成等差数列，
所以a2－a1＝错误![(－1）－(－7)]＝2，
因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，
所以－4,b2,－1成等比数列，所以b错误!＝(－4）×（－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2,
由b错误!＝－4×b2＞0知b2＜0,所以b2＝－2，
所以错误!＝错误!＝－1．
一、选择题
1．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15等于( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4
答案C
解析∵T13＝4T9，
∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)
∴a10a11a12a13＝4，
∵a10a13＝a11a12＝a8a15．
∴（a8a15）2＝4,∴a8a15＝±2,
又∵等比数列｛a n}是递减数列,
∴q〉0,即a8a15＝2，故选C．
2．在公差大于0的等差数列｛a n｝中，2a7－a13＝1，且a1,a3－1,a6＋5成等比数列,则数列{(－1）n－1a n｝的前21项和为( )
A．21 B．－21 C．441 D．－441
答案A
解析公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7－a13＝1，
可得2a1＋12d－(a1＋12d）＝1，即a1＝1,a1，a3－1，a6＋5成等比数列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5），即为（1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，
数列｛(－1）n－1a n｝的前21项和为
a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21
＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．故选A．
3．定义在（－∞，0）∪（0，＋∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）｝仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在(－
∞，0）∪(0,＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝错误!;④f(x）＝ln ｜x｜．则其中是“保等比数列函数"的f(x)的序号为（)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
答案C
解析由等比数列性质知a n a n＋2＝a2n＋1，
①f（a n)f（a n＋2)＝a2n a2＝n＋2（a错误!)2＝f2（a n＋1)，
故正确；
②f（a n)f(a n＋2）＝2a n2a n＋2＝2a n＋a n＋2≠22an＋1
＝f2(a n＋1），故不正确；
③f（a n)f(a n＋2)＝｜a n｜|a n＋2｜＝错误!
＝f2（a n＋1），故正确；
④f（a n)f(a n＋2）＝ln ｜a n｜ln ｜a n＋2|≠ln ｜a n＋1|2
＝f2（a n＋1),故不正确．故选C．
4．在数列｛a n｝中，a1＝2，当n为奇数时，a n＋1＝a n＋2;当n为偶数时，a n＋1＝2a n a12等于( )
－1，则
A．32 B．34 C．66 D．64
答案C
解析依题意，a1，a3,a5,a7，a9，a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66．故选C．
5．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p，a,q是等比数列，p，b，c，q是等差数列,则一元二次方程bx2－2ax＋c＝0( ）
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个同号相异实根
D．有两个异号实根
答案A
解析∵p，a,q是等比数列，p,b，c,q是等差数列，
∴a 2＝pq ,2b ＝p ＋c ,2c ＝b ＋q ，b ＋c ＝p ＋q ．解得b ＝错误!，c ＝错误!； ∴Δ＝(－2a )2－4bc ＝4a 2－4bc
＝4pq －错误!(2p ＋q )（p ＋2q )＝－错误!p 2－错误!q 2＋错误!pq ＝－89
（p 2
－2pq ＋q 2）＝－错误!（p －q ）2．
又∵p ≠q ,∴－错误!(p －q ）2＜0，即Δ＜0,原方程无实根． 故选A ． 二、填空题
6．在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2．
插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝（a 2a 7)·(a 3a 6）·(a 4a 5)＝（a 1a 8）3＝23＝8． 7．记等比数列｛a n }的前n 项积为T n (n ∈N *）,已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________．
答案 4
解析 ∵a m －1a m ＋1－2a m ＝0，
由等比数列的性质可得，a 错误!－2a m ＝0， ∵a m ≠0，∴a m ＝2．
∵T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝(a 1a 2m －1）(a 2a 2m －2）…a m ＝a 错误!a m ＝a 错误!＝22m －1＝128, ∴2m －1＝7，∴m ＝4．
8．已知各项都为正数的等比数列｛a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14,则满足a n ·a n
＋1
·a n ＋2＞错误!的最大正整数n 的值为________． 答案 4
解析 ∵a 2·a 4＝4＝a 23，且a 3＞0，∴a 3＝2．又a 1＋a 2＋a 3＝错误!＋错误!＋2＝14，
∴错误!＝－3（舍去）或错误!＝2，即q ＝错误!，a 1＝8．又a n ＝a 1q n －1＝8×错误!n －1＝错误!
n －4
,∴a n ·a n ＋1·a n ＋2＝错误!3n －9＞错误!，即23n －9＜9，∴n 的最大值为4．
三、解答题
9．在正项等比数列{a n ｝中,a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列｛a n ｝的通项公式．
解 原式可化为错误! ∴错误!或错误!
∴a 3＝8,a 5＝2，q ＝错误!或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2． ∴当q ＝错误!时，a 1＝32，a n ＝64×错误!n ＝26－n ． 当q ＝2时，a 1＝错误!，a n ＝2n －2．
10．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2各边的中点得△A 3B 3C 3，…,如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △
A 2
B 2
C 2,S △A 3B 3C 3，…是等比数列．
证明 由题意，得△A n B n C n （n ＝1，2,3…)的边长A n B n 是首项为1，公比为1
2的等比
数列，
故A n B n ＝错误!n －1．
所以S △AnBnCn ＝错误!×错误!2n －2． 所以错误!＝错误!＝错误!．
因此,数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．。