湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学理试题Word版含答案

第一次月考数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 集合{}{}
2|03,|4A x x B x x =<≤=<，则集合A
B =（ ）
A ．(),2-∞-
B ．(]2,3-
C ．()0,+∞
D ．(),3-∞ 2. 已知命题:p “0a ∀>，有1x
e ≥成立”，则p ⌝为（ ）
A ．0a ∃≤，有1x
e ≤成立 B ．0a ∃≤，有1x
e ≥成立 C ．0a ∃>，有1x
e <成立 D ．0a ∃>，有1x
e ≤成立
3. 有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出
，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ ）
A ．
34 B ．38 C ．316π D ．12332
π
+ 4. 设抛物线2
2y px =的焦点在直线2380x y +-=上, 则该抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =- C ． 2x =- D ．1x =- 5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 和，
则3253
S S S S --的值为（ ） A ． 2 B ．3 C ．2- D ．3- 6. 执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（ ）
A ． 8n ≤
B ．8n ≥
C ．9n ≤
D ．9n ≥ 7. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象, 则函数()g x 的解析式是（ ）
A ．()sin 23g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ B ．()5cos 26
g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．()2sin 23
g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭ D ．()cos 26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
8. 已知112
2
log log a b <,則下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()ln 0a b ->
B ．
11
a b
> C ．1143a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．31a b
-<
9. 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A ． 2
21x
y x =-- B ．2sin 41
x x
y x =+
C ．ln x
y x
=
D ．()22x y x x e =- 10. 已知函数()221x f x x =+,函数()()sin 2206
g x a x a a π
⎛⎫
=-+>
⎪⎝⎭
,若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立, 则实数a 的取值范围是（ ）
A ． 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ． 2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．43,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．1
,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11. 已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右顶点,A O 为坐标原点, 以A 为圆心的圆
与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ． C D 12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其个多面体的三视图, 若该多面体的所有顶点都在球O 表面上，則球O 的表面积是（ ）
A ．36π
B ． 48π
C ．56π
D ．64π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 由曲线2y y x =
=所围成图形的面积为 ．
14. 已知函数()2log f x x =在区间[]2,2m m -内有定义且不是单调函数, 则m 的取值范围为 ．
15. 如图所示,1260,,xOy e e ∠= 分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，若
12m xe ye =+，记(),m x y =，设(),a p q =，若a 的模长为1，则p q +的最大值
是 ．
16. 如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，1Q 为CD 的中点，()1,2...,i P i n =为1AQ 的交点，过i P 作CD 的垂线，垂足为1i Q +，则
10
1
i i
i S DQ P =∆=∑ ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （1）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,求()f x 的取值范围;
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A 为锐
角,()2,3f A b c =
==, 求BC 边上的中线长. 18. （本小题满分12分）如图, 在多面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 为矩形,,ADE BCF ∆∆ 均为等边三角形,1
,,2
EF AB EF AD AB N ==
为线段PC 的中点. （1）求证:AF 平面BDN ;
（2）求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息, 安排一名工作人员收集, 整理了该超市
时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率;
（2）X 表示至第2分钟末已结算完的顾客人数, 求X 的分布列及数学期望. (注: 将频率为概率)
20. （本小题满分12分）如图, 设,A B 两点的坐标分别为())
,.直线,AP BP
相交于点P ,且它们的斜率之积为1
2
-. （1）求点P 的轨迹C 的方程;
（2）若直线MN 与轨迹C 相交于,M N 两点, 且2MN =,求坐标原点O 到直线MN 距离的最大值.
21. （本小题满分12分）已知函数()()21
ln 1x f x k x x x
-=-≥. （1）若()0f x ≥恒成立, 求k 的取值范围;
（2 2.2361=,试估计5
ln
4
的值.( 精确到0.001) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线,PAB C 为切点,OD BC ⊥, 垂足为D .
（1）求证:2AC CP AP BD =;
（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列, 且PC =求AC 的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线6
:3cos 4sin l ρθθ=-
+,曲线35cos :(55sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩
为参数).
（1）将直线l 化成直角坐标方程, 将曲线C 化成极坐标方程; （2）若将直线l 向上平移m 个单位后与曲线C 相切, 求m 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5
,2
f x x x a x R =-
+-∈. （1）求证: 当1
2
a =-
时, 不等式()ln 1f x >成立;
（2）关于x 的不等式()f x a ≥在R 恒成立, 求实数a 的最大值.
（炎德·英才大联考）湖南师范大学附属中学2017届高三
上学期第一次月考数学（理）参与答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5.BCBAA 6-10.ABCDA 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.13 14.()2,3 16.5
24
三、解答题
17.解：（1）()()
2
sin cos sin cos f x x x x x x x ==
（2）由()sin 2322f A A π⎛
⎫
=++= ⎪⎝
⎭,得sin 203A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,又A 为锐角,3A π∴=. 设BC 的中点为D ,则
()
()
222111119
,24922324424
AD AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫=
+∴=++=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,
192AD ∴=
,BC ∴边的中线长为2
.
18. 解：（1）连结AC 交BD 于M ,连结,MN 四边形ABCD 是矩形,M ∴是AC 的中点,
N 是CF 的中点,MN AF ∴, 又AF ⊄平面,BDN MN ⊂平面,BDN AF ∴平
面BDN .
（2）取BC 的中点,P AD 的中点Q ，连结PQ ,过F 作FO PQ ⊥交PQ 于点
O ,,,,BC FP BC PQ PQ FP P BC ⊥⊥=∴⊥面,EFPQ FO ⊂面
EFPQ ,BC FO ∴⊥,又,,FO PQ PQ
BC P FO ⊥=∴⊥平面ABCD
.
如图, 以O 为坐标原点,x 轴AB ⊥,y 轴BC ⊥建立空间直角坐标系,,ADE FBC ∆∆ 为
等边三角形,∴ 梯形EFPQ 为等腰梯
形,(
)11131111,,,0,,,0,,,022*******OP AB EF OF A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=
-=∴=∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
110,0,,,,2444F N ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
. (
)132310,2,0,,,,,2244AB AF BN ⎛⎫
⎛∴==-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则200,
1300222
y n AB x y z n AF =⎧⎧=⎪⎪
∴⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩,令z =(
)
32,0,2,1,6,2n n BN n BN =∴=-==
,cos 3n BN n BN n BN
∴==-,
∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为2
cos 3
n BN =
. 19. 解：设Y 表示顾客结算所需的时间.用頻率估计概率,得Y 的分布如下：
（1）表示事件“第三个顾客恰好等待分钟开始结算”, 则时间A 对应三种情形: ①第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为3分钟; ②第一个顾客结算所需的时间为3分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为1分钟; ③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟. 所以()0.10.30.30.10.40.40.22P A =⨯+⨯+⨯=. （2）X 所有可能的取值为:0,1,2.
① 0X =对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟, 所以
()()
020.5
P X P Y ==>=; ② 1X =对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟, 或第一个顾客结算所需的时间为2分钟,所以()10.10.90.40.49P X ==⨯+=; ③2
X =对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟, 所以()20.10.10.01P X ==⨯=; 所以X 的分布列为
00.510.49
20.010.51EX =⨯+⨯+⨯=.
20.
解：（1）设点M 的坐标为(),x y ,则
,AM BM k x k x =
≠=≠.
(1
22
x x =-≠-,化简得P 的轨迹方程为
(2
212
x y x +=≠. （2）① 若MN 垂直于x 轴, 此时MN 为椭圆的短轴,∴原点到直线MN 的的距离为0. ②若MN 与x 轴不垂直, 设直线MN 的方程为y kx b =+,原点O 到直线MN 的距离为h ,
由2
2
12
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
得:()()()2222222124220,
1681210k x kbx b k b k b +++-=∆=-+->,
()2221,...b k ∴<+*
设()()1122,,,M x y N x y ,则
()2121222
214,.
1212b kb
x x x x k k --+==++()()22222
8142,141212b kb MN k k k ⎡⎤
--⎛⎫⎢⎥==∴+--= ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
, 整理得()2222
1121,11,0111b k k k =-+≥∴<≤++, 即()20211b <-≤,即2
112b ≤<,
满足()*式
()2
22222
22
1111,2122122b b h b b b k ⎛⎫∴≤<
==-=--+ ⎪+⎝
⎭,∴当212b =时,2h 取得最大值为
1
2
, 即h 的最大值为
2
. 21. 解：（1）()22
1'x kx f x x
-+=. ①当22k -≤≤时,22
40,10k x kx -≤-+≥ 恒成立, 所以[)1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,(
)()10f
x f ≥= 恒成立.
②当22k k <->或时,()'0f x =, 解得1222k k x x ==,且
1212,1x x k x x +==.
(ⅰ) 若2k <-,则120,0x x <<,[)1,x ∴∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10f x f ≥= 恒成立.
(ⅱ) 若2k >,则121,1x x <>,当()21,x x ∈时,()()'0,f x f x < 单调递减,()()10f x f <=, 这与
()0f x ≥恒成立矛盾, 综上所述,k 的取值范围为(],2-∞.
（2）由得212ln x x x
-≥在[)1,+∞上恒成立, 取14x =>得<
即5ln 0.22361
4<==,由（1）得2k >时,21ln x k x x -< 在
1,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
时恒成立,
=,解得10k =取210k =>,则有2110x x x -<在⎛ ⎝上恒成立,
取x =52ln 0.222249-<∴>≈,50.2222ln 0.223614
<<(精确到0.001). 取5ln 0.2234
=. 22. 解：（1）PC ∴为圆O 的切线,,PCA CBP ∴∠=∠ 又CPA CPB ∠=∠,故CAP BCP ∠∆，AC AP BC PC
∴= 即AP BC AC CP =, 又2,2BC BD AC CP AP BD =∴=.
（2）设()0AP x x =>,则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得
()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC =∴+=>∴=∴=,由（1）知
,35,7
AP BC AC CP AC =∴⨯=∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 60ρθρθ++=,则由
cos ,sin x y ρθρθ==,
得直线l 的直角坐标方程为3460x y ++=,由35cos 55sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩,消去参数α,得
()()223525x y -+-=,
即()2261090x y x y +--+=*,由222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,代入()*可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=.
（2）设直线':340l x y t ++=与曲线C 相切, 由（1）知曲线C 的圆心为()3,5半径为5,
5=,解得4t =-或54t =-,所以'l 的方程为3440x y +-=或
34540x y +-=, 即314y x =-+或32742y x =-+,又将直线l 的方程化为3342
y x =--,所以35122
m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭或2731522m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 24. 解：（1）由()122,251153,2222
522,2x x f x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
,得函数()f x 的最小值为3,从而()()3,ln 1f x e f x ≥>∴>成立.
（2）由绝对值的性质得()()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝
⎭, 所以()f x 的最小值为
52a -,从而52a a -≥,解得54a ≤,因此a 的最大值为54.。