【创新设计】高三数学 一轮复习 第5知识块第5讲 数列的综合应用课件 文 新人教A版
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【状元笔记】
本题是递推关系型数列的综合问题，在求解这类题的过程中，注意题中各限制 条件的作用，如本题中的正项数列，t＞0等条件在解题中的应用。对递推关系式 进行适当的转化是解决此类问题的关键，如在处理本题第(1)问时，将前后两个 递推关系式相减后因式分解的变形过程是解题的切入点。在与不等式有关的证 明中应注意放缩法的正确应用.
2．数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的 综合． (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支 内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分 解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最 后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．
(3)问题等价于求cn＝an－bn＝1 270＋230n－2 000×1.05n－1(n∈N*)的最大值． 当n≥2时，cn－cn－1＝230－100×1.05n－2， 当cn－cn－1>0，即230－100×1.05n－2>0时， 1．05n－2<2.3，得n<19.1，因此，当2≤n≤19时，cn－1<cn； 于是，当n≥20时，cn<cn－1，∴c19是数列{cn}的最大项， c19＝a19－b19≈827(元)． 即在A公司工作比在B公司工作的月工2009·江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比
中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 解析：由题意可知
B．24
C．60
D．90
S10＝10×(－3)＋ 答案：C
×2＝60.
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则 第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
(2)由(1)求出bn，再求Tn，然后证明2Tn－9bn－1＋18≥4与
≤4.
(1)解：∵a1，a2，a7成等比数列，
∴即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)，
又a1＝1，d≠0，∴d＝4.
【例 ∴Sn＝na1＋
3】
(20d0＝9·n＋皖2南n(八n－校1第)＝二2n次2－联n考. )已知等差数列{an}的前n项和为
比较可知，甲方案获利多于乙方案获利.
函数、数列、不等式是高中重要的知识交汇点，以数列为背景的不等式证 明问题及以函数为背景的数列构造问题在全国各省市的高考试题中都扮演 着重要的角色．函数、数列、不等式的交汇问题具有命题操作过程简单， 构造技巧强的特点，因此一直受到高考命题者的青睐．
思维点拨：(1)利用已知条件求a1和d；
A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3 解析：白色地面砖的块数为等差数列，首项为6，公差为4，即得通项为 4n＋2. 答案：A
4．一张厚度为0.1 mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共 折叠20次(假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度h1 与一座塔的高度h2＝100 m的大小关系为h1________h2. 解析：设厚度构成数列{an}，则a1＝0.1，a2＝0.2，a3＝0.4，…，a21＝ 0.1·220，即{an}为公比为2的等比数列而220>1 000 000，∴h1>h2. 答案：>
已知正项数列{an}满足Sn＋Sn－1＝t·a ＋2(n≥2，t＞0)，a1＝1， 其中Sn是数列{an}的前n项和． (1)求a2及通项an；
(2)记数列 求证：0＜t≤1.
的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．
【规范解答】
解：(1)由a1＝1，S2＋S1＝ta ＋2，得a2＝0(舍去)或a2＝
1．(2009·四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5
的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
解A．析9：0 ∵ ＝a1·a5，B．∴1(0a01＋d)2＝a1(a1C＋．4d1)4．5
D．190
∴d2＝2a1d，而d≠0，∴d＝2a1＝2.
S10＝10×1＋
∴Tn＝
＝n2＋n，∴2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18＝2n2
－ 16n ＋ 36 ＝ 2(n2 － 8n ＋ 16) ＋ 4 ＝ 2(n － 4)2 ＋ 4≥4 ， 当 且 仅 当 n ＝ 4 时 取 等
∴2Tn－9bn－1＋18>
(n>1).
号．①
【方法规律】 1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类
且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. 解解得：d＝设2{a求，n}{q的a＝n公}2，，差{b为n}d的，通{b项n}公的式公．比为q，依题意有q>0且 ∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
【例2】 在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A
数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好 性质也会降低解题的运算量，从而减少差错． 2．等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易 忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习． 3．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程(组) 时，仔细体会两种情形中解方程(组)的方法的不同之处．
乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利1＋(1＋0.5)＋(1＋
2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝
＝32.5(万元)
而贷款本息和为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×
≈17.53(万元)． ∴乙方案扣除贷款本息后，净获利为32.5－17.53≈15.0(万元)．
又Sn＋Sn－1＝t·a ＋2，①
Sn－1＋Sn－2＝t·a ＋2(n≥3)，②
①－②，得an＋an－1＝t(a
即(an＋an－1)[1－t(an－an－1)]＝0，
∵数列{an}为正项数列，∴an－an－1＝ (n≥3)，
即数列{an}从第二项开始是公差为 的等差数列．
(2)证明：T1＝t＜2；当n≥2时，Tn＝t＋ 要使Tn＜2对所有的n∈N*恒成立，只要Tn＝t＋t2 ·
思维点拨：设出等比数列，从等差数列建立方程，再判定{bn}的特征．
解：(1)由已知得
解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2， 可即得2qa2－1＝5q＋，2＝a30＝.解2q得，q1＝2，q2＝ 又由S题3＝意7得，q可>1知，∴q＋＝22＋.∴2qa＝1＝7，1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1(n∈N*)．
解：(1)此人在A，B公司第n年的月工资数分别为： an＝1 500＋230×(n－1)(n∈N*) bn＝2 000(1＋5%)n－1(n∈N*)． (2)若该人在A公司连续工作10年， 则他的工资收入总量为12(a1＋a2＋…＋a10)＝304 200(元)，若该人在B公司连续工作 10年，则他的工资收入总量为12(b1＋b2＋…＋b10)≈301 869(元)，因为在A公司收入 的总量高些，因此该人应该选择A公司．
Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝
数列{bn}的前n项和为Tn，
求证：2Tn－9bn－1＋18>
(n>1)
当且仅当n＝ ，即n＝3时取等号．②
(2)证明又：①由②(中1)知等b号n＝不能同时取到，
∴{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，
变式2：银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并
入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30% 的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均 按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多．(计算结果精确到千元，参 解考：数甲据方：案1.11100≈年2获.5利94的，和1.311＋0≈(11＋3.73806%)．)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝ ≈42.62(万元)．到期时银行贷款的本息和为10(1＋10%)10≈10×2.594＝25.94(万 元)． ∴甲方案扣除贷款本息后净获利42.62－25.94≈16.7(万元)；
＜t＋t2≤2成立，故0＜t≤1得证．
【易入误区】
(1)在转化递推关系时，忽视各项为正这一条件，得出多解或错解a2＝0；(2)在求an 时，因思路混乱，可能导致计算繁杂或转化方向不明确而出现错解；(3)不注意n的
取值范围，在得出an－an－1＝ 后，错误得出an＝ 缩不当，出现错误的推理过程．
；(4)在证第(2)问时，放
公
司 许诺第一年月工资数为1 500元 ，以后每年月工资比上一年月工资增加230
元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月
工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分
别是多少？
(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应 聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？ (3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确 到1元)？并说明理由．
4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系， 优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列 概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常 用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、 “等价转换”等．
5．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计 算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽 象出数学模型，并用它解决实际问题.
第5讲 数列的综合应用
【考纲下载】
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系， 并能用相关知识解决相应的问题.
1．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量有一个固定的具体量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常 数)． (2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型 是 等比模型． (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)， 同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长 模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前
对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定
条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键． 【例1】 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3
＝
7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2， 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
故Tn＝
ln 2，n＝1,2，….
变式1：设{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等 比数列，
【状元笔记】
本题是递推关系型数列的综合问题，在求解这类题的过程中，注意题中各限制 条件的作用，如本题中的正项数列，t＞0等条件在解题中的应用。对递推关系式 进行适当的转化是解决此类问题的关键，如在处理本题第(1)问时，将前后两个 递推关系式相减后因式分解的变形过程是解题的切入点。在与不等式有关的证 明中应注意放缩法的正确应用.
2．数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的 综合． (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支 内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分 解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最 后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．
(3)问题等价于求cn＝an－bn＝1 270＋230n－2 000×1.05n－1(n∈N*)的最大值． 当n≥2时，cn－cn－1＝230－100×1.05n－2， 当cn－cn－1>0，即230－100×1.05n－2>0时， 1．05n－2<2.3，得n<19.1，因此，当2≤n≤19时，cn－1<cn； 于是，当n≥20时，cn<cn－1，∴c19是数列{cn}的最大项， c19＝a19－b19≈827(元)． 即在A公司工作比在B公司工作的月工2009·江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比
中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 解析：由题意可知
B．24
C．60
D．90
S10＝10×(－3)＋ 答案：C
×2＝60.
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则 第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
(2)由(1)求出bn，再求Tn，然后证明2Tn－9bn－1＋18≥4与
≤4.
(1)解：∵a1，a2，a7成等比数列，
∴即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)，
又a1＝1，d≠0，∴d＝4.
【例 ∴Sn＝na1＋
3】
(20d0＝9·n＋皖2南n(八n－校1第)＝二2n次2－联n考. )已知等差数列{an}的前n项和为
比较可知，甲方案获利多于乙方案获利.
函数、数列、不等式是高中重要的知识交汇点，以数列为背景的不等式证 明问题及以函数为背景的数列构造问题在全国各省市的高考试题中都扮演 着重要的角色．函数、数列、不等式的交汇问题具有命题操作过程简单， 构造技巧强的特点，因此一直受到高考命题者的青睐．
思维点拨：(1)利用已知条件求a1和d；
A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3 解析：白色地面砖的块数为等差数列，首项为6，公差为4，即得通项为 4n＋2. 答案：A
4．一张厚度为0.1 mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共 折叠20次(假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度h1 与一座塔的高度h2＝100 m的大小关系为h1________h2. 解析：设厚度构成数列{an}，则a1＝0.1，a2＝0.2，a3＝0.4，…，a21＝ 0.1·220，即{an}为公比为2的等比数列而220>1 000 000，∴h1>h2. 答案：>
已知正项数列{an}满足Sn＋Sn－1＝t·a ＋2(n≥2，t＞0)，a1＝1， 其中Sn是数列{an}的前n项和． (1)求a2及通项an；
(2)记数列 求证：0＜t≤1.
的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．
【规范解答】
解：(1)由a1＝1，S2＋S1＝ta ＋2，得a2＝0(舍去)或a2＝
1．(2009·四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5
的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
解A．析9：0 ∵ ＝a1·a5，B．∴1(0a01＋d)2＝a1(a1C＋．4d1)4．5
D．190
∴d2＝2a1d，而d≠0，∴d＝2a1＝2.
S10＝10×1＋
∴Tn＝
＝n2＋n，∴2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18＝2n2
－ 16n ＋ 36 ＝ 2(n2 － 8n ＋ 16) ＋ 4 ＝ 2(n － 4)2 ＋ 4≥4 ， 当 且 仅 当 n ＝ 4 时 取 等
∴2Tn－9bn－1＋18>
(n>1).
号．①
【方法规律】 1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类
且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. 解解得：d＝设2{a求，n}{q的a＝n公}2，，差{b为n}d的，通{b项n}公的式公．比为q，依题意有q>0且 ∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
【例2】 在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A
数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好 性质也会降低解题的运算量，从而减少差错． 2．等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易 忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习． 3．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程(组) 时，仔细体会两种情形中解方程(组)的方法的不同之处．
乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利1＋(1＋0.5)＋(1＋
2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝
＝32.5(万元)
而贷款本息和为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×
≈17.53(万元)． ∴乙方案扣除贷款本息后，净获利为32.5－17.53≈15.0(万元)．
又Sn＋Sn－1＝t·a ＋2，①
Sn－1＋Sn－2＝t·a ＋2(n≥3)，②
①－②，得an＋an－1＝t(a
即(an＋an－1)[1－t(an－an－1)]＝0，
∵数列{an}为正项数列，∴an－an－1＝ (n≥3)，
即数列{an}从第二项开始是公差为 的等差数列．
(2)证明：T1＝t＜2；当n≥2时，Tn＝t＋ 要使Tn＜2对所有的n∈N*恒成立，只要Tn＝t＋t2 ·
思维点拨：设出等比数列，从等差数列建立方程，再判定{bn}的特征．
解：(1)由已知得
解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2， 可即得2qa2－1＝5q＋，2＝a30＝.解2q得，q1＝2，q2＝ 又由S题3＝意7得，q可>1知，∴q＋＝22＋.∴2qa＝1＝7，1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1(n∈N*)．
解：(1)此人在A，B公司第n年的月工资数分别为： an＝1 500＋230×(n－1)(n∈N*) bn＝2 000(1＋5%)n－1(n∈N*)． (2)若该人在A公司连续工作10年， 则他的工资收入总量为12(a1＋a2＋…＋a10)＝304 200(元)，若该人在B公司连续工作 10年，则他的工资收入总量为12(b1＋b2＋…＋b10)≈301 869(元)，因为在A公司收入 的总量高些，因此该人应该选择A公司．
Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝
数列{bn}的前n项和为Tn，
求证：2Tn－9bn－1＋18>
(n>1)
当且仅当n＝ ，即n＝3时取等号．②
(2)证明又：①由②(中1)知等b号n＝不能同时取到，
∴{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，
变式2：银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并
入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30% 的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均 按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多．(计算结果精确到千元，参 解考：数甲据方：案1.11100≈年2获.5利94的，和1.311＋0≈(11＋3.73806%)．)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝ ≈42.62(万元)．到期时银行贷款的本息和为10(1＋10%)10≈10×2.594＝25.94(万 元)． ∴甲方案扣除贷款本息后净获利42.62－25.94≈16.7(万元)；
＜t＋t2≤2成立，故0＜t≤1得证．
【易入误区】
(1)在转化递推关系时，忽视各项为正这一条件，得出多解或错解a2＝0；(2)在求an 时，因思路混乱，可能导致计算繁杂或转化方向不明确而出现错解；(3)不注意n的
取值范围，在得出an－an－1＝ 后，错误得出an＝ 缩不当，出现错误的推理过程．
；(4)在证第(2)问时，放
公
司 许诺第一年月工资数为1 500元 ，以后每年月工资比上一年月工资增加230
元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月
工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：
(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分
别是多少？
(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应 聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？ (3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确 到1元)？并说明理由．
4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系， 优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列 概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常 用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、 “等价转换”等．
5．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计 算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽 象出数学模型，并用它解决实际问题.
第5讲 数列的综合应用
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能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系， 并能用相关知识解决相应的问题.
1．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量有一个固定的具体量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常 数)． (2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型 是 等比模型． (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)， 同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长 模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前
对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定
条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键． 【例1】 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3
＝
7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2， 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列．
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
故Tn＝
ln 2，n＝1,2，….
变式1：设{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等 比数列，