高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教B版必修5

第三章 不等式整体设计
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．
1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．
2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a ＞b ，
＞bc(忘了c ＞0)， ⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>d ⇒ac ＞bd(忘了a 、b 、c 、d∈R ＋)等等．
3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，
从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．
4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．
6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．
本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．
三维目标
1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式
的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见
问题；理解并掌握均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的应用方法与技巧． 2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．
3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．
重点难点
教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．
2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．
3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．
教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路 1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．
思路 2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．
推进新课新知探究提出问题
本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？
怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？
均值不等式
a＋b
2
≥ab 的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？
三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？
活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a＋b
2
≥ab(a＞0，b＞0)．
由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式
a＋b
2
≥ab(a＞0，b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.
x1,2＝
－b±Δ
2a
x1＝x2＝－
b
2a
由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．
应用示例
例1已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x|| x ＋2|＞3}，C ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m∈R }．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩B ⊆C ，分别求出m 的取值范围．
活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．
解：(1)∵A＝{x|－4＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1或x ＜－5}，C ＝{x|m －1＜x ＜m ＋1}， 欲使A∩C＝Ø，只需m －1≥2或m ＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.
(2)欲使A∩B ⊆C ，∵A∩B＝{x|1＜x ＜2}，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m≤2，m≥1，即1≤m≤2.
点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．
变式训练
设集合A ＝{x|(x －1)2
＜3x ＋7，x∈R }，则集合A∩Z 中有__________个元素． 答案：6
解析：由(x －1)2＜3x ＋7可得－1＜x ＜6，结合题意可得A ＝(－1,6)．
例2若正数x 、y 满足6x ＋5y ＝36，求xy 的最大值．
活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．
解：∵x、y 为正数，则6x 、5y 也是正数，∴6x ＋5y 2≥6x·5y＝30xy ， 当且仅当6x ＝5y 时，取“＝”．∵6x＋5y ＝36，则30xy ≤362，即xy≤545
.∴xy 的最大值为545
. 点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y ＝36，∴y＝36－6x 5.代入xy ，得xy ＝x·15(36－6x)＝－65x 2＋365
x(x ＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．
变式训练
已知2x ＋3y
＝2(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是__________． 解法一：由x ＞0，y ＞0，得2＝2x ＋3y ≥22x ·3y
. ∴xy≥6，当且仅当2x ＝3y
＝1，即x ＝2，y ＝3时，xy 取得最小值为6. 解法二：令2x ＝2cos 2θ，3y ＝2sin 2θ，θ∈(0，π2)，∴x＝22cos 2θ，y ＝32sin 2θ
. ∴x·y＝64sin 2θcos 2θ＝6sin 22θ
. ∵sin 22θ≤1，当且仅当θ＝π4
时等号成立，这时x ＝2，y ＝3.∴xy 的最小值是6. 解法三：由2x ＋3y ＝2，得y ＝3x 2x －2
.∴xy＝3x 2－(x ＞1)． 令x －1＝t ，t ＞0，x ＝t ＋1.∴3x 2－＝＋22t ＝32(t ＋1t ＋2)≥32(2t·1t
＋2)＝6.
当且仅当t ＝1时等号成立，即x －1＝1，x ＝2.∴xy 有最小值6.
答案：6
例3不等式ax x －1
＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，求a. 活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．
解法一：将ax x －1＜1化为－＋1x －1＜0，即[(a －1)x ＋1](x －1)＜0. 由已知，解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知a －1＜0，∴[(1－a)x －1](x －1)＞0.
∴(1－a)x －1＜0，x ＞11－a .于是有11－a ＝2.解得a ＝12
. 解法二：原不等式转化为[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，即(a －1)x 2＋(2－a)x －1＜0. 依题意，方程(1－a)x 2＋(a －2)x ＋1＝0的两根为1和2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ＝2，
a －2a －1＝3，解得a ＝12
. 点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化
的意义．
变式训练
若关于x 的不等式x －a x ＋1
＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝__________. 答案：4
例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．
解：设净水池长为x m ，则宽为200x
m ，高为h m ，则总造价 f(x)＝400(2x ＋2·200x )·h＋100·200x ·h＋60×200＝800h(x ＋225x
)＋12 000(x ＞0)， 当且仅当x ＝225x
(x ＞0)，即x ＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低．
点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．
知能训练
1．已知集合A ＝{x||2x ＋1|＞3}，B ＝{x|x 2
＋x －6≤0}，则A∩B 等于( )
A ．[－3，－2)∪(1,2]
B ．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C ．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]
2．已知a∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a ，设不等式f(x)＞0的解集为A ，又知集合B ＝{x|1＜x ＜3}，若，求a 的取值范围． 3．已知关于x 的不等式x ＞ax 2＋32
的解集是{x|2＜x ＜m}，求不等式ax 2－(5a ＋1)x
＋ma ＞0的解集．
4．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.
5．已知a 、b 、c 、d∈R ，求证：ac ＋bd≤
2＋b 22＋d 2.
答案：
1．A 解析：易得A ＝{x|x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．
2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，
解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a 2.由此可知x 1＜0，x 2＞0. (1)当a ＞0时，A ＝{x|x ＜x 1}∪{x|x＞x 2}．
的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2＜3，解得a ＞67. (2)当a ＜0时，A ＝{x|x 1＜x ＜x 2}．
的充要条件是x 2＞1，即1a ＋2＋1a 2＞1，解得a ＜－2. 综上，使
成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪(67，＋∞)． 3．解：x ＞ax 2＋322－x ＋32＜0,2＜x ＜m －2)(x －m)＜
2－(2＋m)x ＋2m ＜0.对照不等号方向及x 2的系数可知a ＞0且a 1＝12＋m ＝3
22m ，解得a ＝18
，m ＝36. ∴ax 2－(5a ＋1)x ＋ma ＞18x 2－(5×18＋1)x ＋36×18＞2－13x ＋36＞－4)(x
－9)＞＜4或x ＞9. 点评：条件中的不等式含参数a ，而其解集中又含有参数m ，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x ＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x ＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．
4．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，解集为{x|x ＜2}．
(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)(x －2a )＜0，这时两根的大小顺序为2＞2a
，所以解集为{x|2a
＜x ＜2}． (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)(x －2a
)＞0，①当0＜a ＜1时，两根的大小顺序为2＜2a ，所以原不等式的解集为{x|x ＞2a
或x ＜2}；
②当a ＝1时，2＝2a
，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R }； ③当a ＞1时，两根的大小顺序为2＞2a ，解集为{x|x ＞2或x ＜2a
}． 综上所述，不等式的解集为a ＝0时，{x|x ＜2}，a ＝1时，{x|x≠2}，a ＜0时，{x|2a
＜x ＜2}，
0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}，a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a
}． 点评：本例应对字母a 分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．
5．证明：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2
＝(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd)2＋(bc －ad)2≥(ac＋bd)2， ∴2＋b 22＋d 2≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 点评：能否联想到均值不等式ab ≤
a ＋
b 2或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a 2＋b 2)(
c 2＋
d 2
)的变形问题． 课堂小节
1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？
2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．
作业
本章巩固与提高A 组3、4、7、8、9；B 组6、7、8、9.
设计感想
1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．
2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．
3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路 1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用．本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习．思路 2.(直接引入)我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用．
推进新课
新知探究
提出问题
在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式组的解集表示平面上的区域？
确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？
利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？
解线性规划实际问题的方法步骤是什么？
活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c ＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax ＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．
(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)
用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：
Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0，
C＜0)
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＞0，
C＜0)
Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＜0，
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＜0，
本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
(1)阅读题意，寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；
(4)由实际问题的实际意义作答．
讨论结果：(1)～(4)略．
应用示例
例1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －6≥0，
x －y≥0，
y≤3，
x ＜5
表示的平面区域．
活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后
对出现的问题作点评．
解：不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －6≥0，
x －y≥0，
y≤3，
x ＜5表示的平面区域
如图所示．
点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握．
变式训练
已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，y≤2x－1，
x ＋y≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数
m 等于( )
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3 答案：B
解析：画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数
z ＝x －y 取得最小值．故由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x －1，
x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13.代入x －y ＝－1，得
m ＋1
3
－2m －13
＝－1，解得m ＝5.
例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：
工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．
活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．
解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x 、y 人． 线性约束条件：
⎩⎪⎨⎪
⎧
97%·240x＋95.5%·160y≥2 400，0≤x≤8，6≤y≤12，
化简即为⎩⎪⎨⎪
⎧
29.1x ＋19.1y≥300，0≤x≤8，
6≤y≤12.
目标函数为z ＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋5.6x ＋3.6y ， 化简即为z ＝20x ＋18y.根据题意知即求目标函数z 的最小值．
画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小．然而A 点非整数点．故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知(6,7)为满足题意的整数解．
此时zmin＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．
答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．
点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．例3A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：
怎样确定调运方案，使总的运费最少？
点评：本例表中的数据较多．可设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x、y表示，即12－x－y，则B运到D、E、F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.
解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D、E、F 分别为8－x,6－y，x＋y－6.
约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，
y≥0，
12－x －y≥0，
8－x≥0，
6－y≥0，x ＋y －6≥0.
目标函数为f ＝－3x ＋y ＋100.
可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x ＝8，y ＝0时，f 最小，即运费
最省．
故当从A 运到D8千吨、从A 运到F4千吨、从B 运到E6千吨、从B 运到F2千吨时，总的运费最少．
点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性． 变式训练
行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y ＝nx 100＋x 2
400(n 为常数，n∈N )．做两次刹车试验，有数据如图，其中5＜y 1＜7,13
＜y 2＜
15.
(1)求出n 的值；
(2)要求刹车距离不超过18.4 m ，则行驶的最大速度应为多少？
解：(1)将x 1＝40，x 2＝70分别代入y ＝nx 100＋x 2
400，有y 1＝25n ＋4，y 2＝710n ＋49
4
.
依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧
5<2
5
n ＋4<7，13<710n ＋49
4<15
(n∈N )．解得n ＝3.
(2)y ＝3x 100＋x
2
400
≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.
知能训练
1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y≥0，x －y≥0，
2x －y －2≥0，则ω＝y －1
x ＋1
的取值范围是( )
A ．[－1，13]
B ．[－12，1
3]
C ．[－12，＋∞) D．[－1
2，1)
2．如图所示，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，
y≥0，
y ＋x≤s，
y ＋2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y
的最大值的变化范围是(
)
A ．[7,8]
B ．[7,15]
C ．[6,8]
D ．[6,15] 3．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？
答案：
1.
D 解析：设点D(x ，y)在图中阴影部分内，如图．ω＝y －1x ＋1
，即动点(x ，y)与定点A(－
1,1)连线的斜率．当动点为B 点时，ω取得最小值，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝0，
2x －y －2＝0，得B 点坐标为
(1,0)．∴ω＝－1
2.当动点在x －y ＝0上，且x→＋∞时，ω趋向于最大值，即经过A 点，
斜率为ω的直线与x －y ＝0平行．∴ω∈[－1
2
，1)．
2．A 解析：由题意知要求在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，y≥0，
y ＋x≤s，
y ＋2x≤4
下，目标函数z ＝3x ＋2y 的
取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域．
由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z
2
，
∴当x ＋y ＝3时，在B 点处z 取最大值；随着x ＋y ＝3的上移，z 的最大值也随着增大．当平移经过C 点时，z 的最大值达到最大，且B(1,2)，C(0,4)．
∴当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 3．解：设8角邮票可买x 张，2元邮票可买y 张，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧
8x ＋20y≤100，
x≥2，
y≥2，
x 、y∈N .
不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内，x 、y 都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
课堂小节
1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？ 2．本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．
作业
1．本章巩固与提高A 组14、15；B 组14、15. 2．本章自测与评估．
设计感想
1．本课时设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．
2．本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．
3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．
(设计者：郑吉星)
备课资料
一、备用例题
【例1】 已知0＜x ＜1
3
，求函数y ＝x(1－3x)的最大值．
活动一：原函数式可化为y ＝－3x 2
＋x ，利用二次函数求某一区间的最值． 解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)。