(完整word版)平面几何的定值与最值问题

第二十三讲平面几何的定值与最值问题
【趣题引路】
传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1。

这个信徒想,我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，•然后再到集市的路程最短呢?
（1) （2）
解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β。

那么朝圣者沿A→P→B的路线去走，距离最短.
证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.
连结BP•′与切线MN•交于R，AR+BR〉AP+BP.
∵RP′+AP′〉AR.
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB〉AR+BP〉AP+BP。

不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，解决它的方法是采用“等角原理"。

【知识延伸】
平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.
在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变.
例1如果△ABC的外接圆半径R一定，求证：abc
S
是定值。

（S表示△ABC的面积）
解析由三角形面积S=1
2
absinC和正弦定理
sin
c
C
=2R,
∴c=2RsinC.
∴abc
S
=
2
sin
c
C
=
4sin
sin
R C
C
=4R是定值。

点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R，即为定值。

平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系，例如在变动一些几何元素时，•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形（或者至少证明不等式可以成为等式）。

例2 如图，已知⊙O的半径R=33，A为⊙O上一点，过A作一半径为r=3的⊙O′，问OO′何时最
长?最长值是多少？OO′何时最短?最短值是多少?
解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时）OO′最短,且最短长度为33-3 ;
当O′落在OA的延长线上（即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .
点评
⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个，但由于⊙O′过A点，所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.
求证：OA+OB是定值。

证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦，AP=PB,不妨记为r。

•另记x1=OA,x2=OB。

对△POA应用余弦定理，
得x12+OP2—2OP·cos∠AOP·x1=r2。

故x1为方程x2—2OP·cos 1
2
∠AOB·x+(OP2-r2）=0的根，同理x2亦为其根.
因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理，得x1+x2=2OP（1
2
∠AOB)是定值.
点评
当x1=x2时，x1+x2为此定值，事实上此时OP一定是直径。

例2 如图,在矩形ABCD中，AB=8，BC=9,⊙O与外切，且⊙O与AB、BC•相切.⊙O′与AD、CD相切，设⊙O的半径为x，⊙O与⊙O′的面积的和为S，求S•的最大值和最小值。

解析设⊙O′的半径为y，过O与O′分别作CD与BC的垂线OH,O′F,•垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E，则有：O′E=8—（x+y),OE=9—（x+y)
由勾股定理可得：
(x+y）2=［8-(x+y）]2+［9-(x+y)］2. 整理，得(x+y-29)（x+y-5）=0，由题意知1≤x≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴
S=πx+πy=π(2x-10x+25)， =2π［(x-5
2
)2+
25
4
］，
故当x=5
2
时,S min=
25
2
π; 当x=4时,S=17π。

点评先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解。

中考真题欣赏
例 (南京市中考题）如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,又⊙O1切⊙O2•的直径BE
于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R ，且R ≥2r 。

•求证:PC ·AC 是定值.
解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2（如图）, 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R （定值）. 再证明如图的情况:连结CO 1,PO 2，• 则PO 2•必过点O 1，•且O 1C ⊥BE,
得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -， 从而BC=R+22R Rr -,EC=R —22R Rr -.
所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr ，故PC ·AC 是定值. 点评
解答几何定值问题时，可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手，找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明。

竞赛样题展示
例1 （第十五届江苏省初中数学竞赛题）如图，正方形ABCD 的边长为1，•点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合）,分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.
求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.
解析 ∵S △DPC = S △APC =1
2
AP ·CC ′，
得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC = 1
2
AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2
AP。

又1≤AP ≤2，
故2≤BB ′+CC ′+DD•′≤2，
∴BB ′+CC ′+DD ′的最小值为2,最大值为
2。

点评 本题涉及垂线可考虑用面积法来求.
例2 （2000年“新世纪杯”广西竞赛题）已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点，AE 是△ABC 外接圆的一条弦，若∠BAE=∠CAD 。

求证:AD.AE 为定值。

证明 如图 (1）,当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时，连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ADC。

∴AB AE
AD AC
=，即AD·AE=AB·AC为定值。

如图 (2）,当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD。

此时，∠ACD=∠AEB.
∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC
=
即AD·AE=AB·AC为定值.
综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值.
点评
先探求定值,当AD⊥BC，AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件，•不难发现△ACD∽△AEB，所以AD·AE=AB·AC，因为已知AB，AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明。

全能训练
A级
1。

已知MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。

求证:点A、B与MN的距离的和为定值。

2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T。

求证：PC：PT是定值。

3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，过P作任一直线交⊙O1于点E，交⊙O2于点F.求证：∠EQF为定值.
4.以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ,RS。

求PQ+RS的最大值和最小值.
5.如图，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN•∥BC，•且MN与△ABC的内切圆相切。

求:MN的最值.
C
A
B M
N
B 级
1。

如图1，已知正方形ABCD 的边长为3，点E 在BC 上,且BE=2，点P 在BD 上,则PE+PC 的最小值为（ ) A.23 B. 13 C. 14 D.15
E D
C
A
B P S
Q
A
B P
M
(1） (2) （3)
2.用四条线段a=14,b=13，c=9,d=7。

作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中，中位线长的最大值是__________.
3.如图2,⊙O 的半径为2，A 、B 两点在⊙O 上,切线AQ 和BQ 相交于Q,P 是AB•延长线上任一点，QS ⊥OP 于S,则OP ·OS=_______。

4.已知，如图3,线段AB 上有任一点M,分别以AM ，BM 为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE 、MBCD 的外接圆⊙O 、⊙O ′交于M 、N 两点，则直线MN 的情况是（ •)
A 。

定直线 B.经过定点 C.一定不过定点 D 。

以上都有可能
5。

如图，已知⊙O 的半径为R ，以⊙O 上一点A 为圆心，以r 为半径作⊙A,•又PQ 与⊙A 相切,切点为D ，且交⊙O 于P 、Q.求证:AP ·AQ 为定值.
6.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D ，设此两圆的半径为R 1,R 2。

求证:AC:AD=R 1:R 2.
A 级(答案)1.定长为圆的直径;
2.利用特殊位置探求定值（当PC R
R r
+（R,r 是两圆的半径). 3。

因∠E,∠F 为定角（大小固定)易得∠EQF 为定值。

4。

如图，设OA=a （定值），过O 作OB ⊥PQ ，OC ⊥RS,B 、C 为垂足,
设OB=x ，OC=y ，0≤x ≤a,（0≤y ≤a ）,且x 2+y 2=a 2
. 所以21x -（21x -21y -） 。

所以21x -2
1y -。

∴（PQ+RS ）2=4（2—a 2
2221a x y -+
而x 2y 2=x 2(a 2-x 2）=—（x 2
-
22a ）2+4
4
a。

当x 2
=22a 时,（x 2y 2
）最大值=44
a 。

此时224(22)a a -+-
当x 2
=0或x 2
=a 2
时，（x 2y 2
)最小值=0，此时（PQ+RS ）最小值=2（21a -)。

5。

设BC=a,BC 边上的高为h ，内切圆半径为r.
∵△AMN ∽△ABC, 2MN h r BC h -=，MN=a （1-2r
h )，• 由S △ABC =rp,∴r=
2ABC S ah p p
∆=， ∴MN=a （1-a p ）=p ·a p (1—a p ）≤p 2
(1)2a
a p p ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=4
p
，
当且仅当
a p =1—a
p
,即a=2p 时，取等号，∴MN 的最大值为4p .
B 级(答案）
1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P ，此时PE+PC=AE 最短.
R S
Q
C
B
A P
2。

11。

5 (1）当上底为7，下底分别为14，13,9时，中位线长分别为10.5,10,8； （2)当上底为9和13时，均构不成梯形。

3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°，
∴S,P,•Q ，M 四点共圆，故OS ·OP=OM ·OQ.
又∵OM ·OQ=OA 2
=2,∴OS ·OP=2。

4。

B 。

由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时，直线MN 变为⊙O•′的切线， 当M 在点B 时，直线MN 变为⊙O 的切线。

这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线，交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时，MN 是AB•的垂直平分线，也过第三个顶点,所以选B. 5.如图，作⊙O 的直径AB ，连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D ，∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•
而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值. 6。

作AN ⊥CD,垂足为点N ，连结AB ，有AC.AB=AN 。

2R1，①
AB ·AD=AN ·2R 2
.② ①÷②,得
1
2
R AC AD R
，∴AC ：AD=R 1:R 2.。