高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)

高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z = A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．
310
B ．
25
C ．
12
D ．
35
3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+
4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
6．已知a r 与b r
均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
X
a 1 P
13 13
13
则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
9．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c
+==-ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
32
钱 D ．
53
钱 11．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的
距离为
3
2
c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±
B ．2y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
12．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A ．()()()()02332f f f f ''<<<-
B ．()()()()03322f f f f ''<<-<
C ．()()()()03232f f f f ''<<<-
D ．()()()()03223f f f f ''<-<<
二、填空题
13．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
14．函数2()log 1f x x =-________．
15．3
7
1()x x
+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）
16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是__________． 19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
20．已知函数sin(2)()22y x ϕϕ
ππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
三、解答题
21．已知数列
{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
23．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，
PH 是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ; （Ⅱ）若AB 6=
APB ADB ∠=∠=60°
,求四棱锥P ABCD -的体积． 24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的
满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？
5.92≈≈≈）
25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛
⎫
=-= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）
112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为
()33{,,.1
2
x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为
CDP V ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=
+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
基本事件总数32
52n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数
212
232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．
【详解】
由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，
因为基本事件总数32
52n C C 10==，
他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212
232m C C C 3==，
所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10
==． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项B ；故选A ．
考点：线性回归直线.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】
根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ．
本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
6．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
=
，所以应选A ．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】
根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.
所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】
解：1111
()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，
222111111()()()(1)333333
a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =
++-+-=-+=-+ 01a <<Q ，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
9．D
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由1lg lg()lgsin b A c
+==-lg
lg 22
b b
c c =⇒=且
sin A =
A 为锐角，所以45A =o ，由2
b c =，根据正弦定理，得
sin )cos sin B C B B B =
=-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.
10．B
解析：B 【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则
22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又
225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4
42263
3a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故
选B.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的
关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，
可得：
=
，可得b c =，b
a =C 的渐近线方程为y =．
故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
12．B
【解析】 【分析】
根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过
()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，
()()032f f ''∴<<，
()()()()
323232
f f f f --=
-Q ，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线
的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，
()()()()03322f f f f ''∴<<-<.
故选：B . 【点睛】
本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.
二、填空题
13．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
15．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用 解析：35
【解析】
由题意，二项式3
71()x x
+展开的通项372141771()
()r r
r r r r T C x C x x
--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4
735C =.
考点：1.二项式定理的展开式应用.
16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为
24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径
=22
(2)10x y -+=.
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆
心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12+
【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2
=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
因为直线与圆相切，所以111201 2.2
a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以 解析：(2,3)
【解析】 【分析】 【详解】
因为ABC ∆为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ⎧
<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以046
3A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<
⎪⎩，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==，所以(2,3)b
a ∈. 19．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（），则
、
、
成等比数列，则
或
（舍），则原三个数：15、20、25
20．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()
()1
1
4123312n n n n +++--
-+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
11222222212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
1
1
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()()()()()()1
1
1111111
1112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n
n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1
412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1) ； (2)36000；（3）
.
【解析】 【分析】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×
0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33
+. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．
所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH I BD=H. 所以AC ⊥平面PBD. 故平面PAC ⊥平面PBD.
（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥.
所以 因为∠APB=∠ADR=600
所以,HD=HC=1.
可得
等腰梯形ABCD 的面积为S=1
2
所以四棱锥的体积为V=
13x （ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．
24．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50% 【解析】 【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据； （2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案． 【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得
()1
928486788974837877898310
x =
+++++++++=， 则有
()()()()()()()()()()2222222222
21928384838683788389837483838378837783898310
S ⎡⎤=
-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦
33=
所以均值83x =，方差233s =.
（3）由题意知评分在()
8333,8333-+即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人， 则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5
0.550%10
== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题． 25．（I ）(4,),(22,)24
π
π
（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】
（I ）圆1C 的直角坐标方程为22
(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=
联立得22(2)4
{40
x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,),(22,)24
ππ
（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为
20x y -+=
由参数方程可得122
b ab y x =
-+，所以1,12,1,222b ab
a b =-+==-=解得
26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
；（2）6
π． 【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，
故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为
12
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π
6
）． 当θ∈[θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×
800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π
2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π
2
）， 则()()
()()2
2
2
'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．
令()'=0f θ，得θ=π6
， 当θ∈（θ0，π
6
）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（
π6，π
2
）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π
6
时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。