宜兴外国语学校2018-2019年九年级上期末复习试卷(一)含解析

江苏省无锡市宜兴外国语学校2018-2019学年九年级（上）期末
数学复习试卷（一）(解析版)
一、精心选一选
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
2．若两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，则两圆的位置关系是（）
A．相交 B．内含 C．外切 D．相离
3．一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是（）A．80πcm2B．40πcm2C．80cm2D．40cm2
4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若⊙O的半径为10，CD=4，那么AB的长为（）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，∠C=15°，且，则∠E的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
6．抛物线y=（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）
A．开口向上；直线x=﹣3；（﹣3，5）B．开口向上；直线x=3；（3，5）
C．开口向下；直线x=3；（﹣3，﹣5）D．开口向下；直线x=﹣3；（3，﹣5）
7．在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）
A．B．C．D．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）
A．B．C．1 D．0
9．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
10．若抛物线y=x2﹣2x+k与x轴有且只有一个交点，k=．
11．若一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，则这组数据的极差是，方差是．12．若将一个半径为5，表面积为15π的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为．
13．若函数是二次函数，则m的值为．
14．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=．
15．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y
轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为．
16．如图，将半径为1cm的圆形纸板，沿着三边AB、BC、CA分别长6cm、5cm、4cm的△ABC的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是．
17．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．
三、认真答一答
18．（12分）解方程
①3x2﹣4x=0
②x2﹣4x+2=0（用配方法）
③y（y+10）=24．
19．已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求阴影部分的面积．
20．如图，已知O是原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的位似比为2），画出图形并写出点B、C的对应点的坐标；
（2）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
21．如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y=﹣图象上的概率．
22．已知二次函数y=x2﹣（m﹣2）x+的图象经过（﹣1，6），
（1）求m的值并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设此二次函数的图象与x 轴的交点为A、B（A在B右边），与y轴交于点C，P在抛物线的对称轴上，当∠APC=90°时，求P点的坐标．
23．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为z=﹣（x﹣8）2+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
24．如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB=．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P 运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．
（1）点Q的运动速度为cm/s，点B的坐标为；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的？
25．如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
2018-2019学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级
（上）期末数学复习试卷（一）
参考答案与试题解析
一、精心选一选
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
2．若两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，则两圆的位置关系是（）
A．相交 B．内含 C．外切 D．相离
【考点】圆与圆的位置关系．
【分析】由两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，
又∵3+4=7，8＞7，
∴两圆的位置关系是相离．
故选D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
3．一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是（）A．80πcm2B．40πcm2C．80cm2D．40cm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为5cm，则底面周长=10πcm，侧面展开图的面积=×10π×
16=80πcm2．故选A．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若⊙O的半径为10，CD=4，那么AB的长为（）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，先求得OD，再根据勾股定理求得AD，由垂径定理得出AB的长．【解答】解：连接OA，
∵OC=10，CD=4，
∴OD=6，
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，
∴62+AD2=102，
∴AD=8，
∵OC⊥AB，
∴AB=16．
故选C．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解答这类题要告诉学生常做的辅助线，是解此题的关键．
5．如图，∠C=15°，且，则∠E的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】连接OA、OB、OC和OD，根据圆心角定理求出∠AOD的度数，又知==，即可求出∠AOB=∠BOC=∠COD=110°，进而求出∠BAC=55°，再根据∠BAC=∠C+∠E，即可求出∠E的度数．
【解答】解：连接OA、OB、OC和OD，
∵∠C=15°，
∴∠AOD=30°
∵==，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=110°，
∴∠BAC=∠BOC=55°，
∵∠BAC=∠C+∠E，
∴∠E=40°．
故选C．
【点评】本题主要按考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系的知识点，解答本题的关键是求出∠BAC的度数，本题比较简单．
6．抛物线y=（x﹣3）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）
A．开口向上；直线x=﹣3；（﹣3，5）B．开口向上；直线x=3；（3，5）
C．开口向下；直线x=3；（﹣3，﹣5）D．开口向下；直线x=﹣3；（3，﹣5）
【考点】二次函数的性质．
【分析】抛物线y=（x﹣3）2+5，开口方向由a的大小判定，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
【解答】解：由y=（x﹣3）2+5可知，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，
顶点坐标为（3，5）．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
7．在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）
A．B．C．1 D．0
【考点】二次函数的最值；正比例函数的性质．
【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为
；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大
值为；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为
．
综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
9．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形内角与外角．
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
二、填空题
10．若抛物线y=x2﹣2x+k与x轴有且只有一个交点，k=1．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】当抛物线与x轴只有一个交点时，其b2﹣4ac=0，根据此条件得到关于k的方程后求得k的值即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+k与x轴有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac=0，
即：（﹣2）2﹣4×1×k=4﹣4k=0，
解得：k=1．
故答案为：k=1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的相关知识，当抛物线与横轴只有一个交点时，其b2﹣4ac=0，这点同学们可以记清．
11．若一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，则这组数据的极差是4，方差是．【考点】方差；算术平均数；极差．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据“极差=最大值﹣最小值、方差s2= [（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（x n﹣x¯）2]”计算极差与方差．
【解答】解：∵这一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，
∴（1+2+x+4）=3
∴x=5，
∴极差=5﹣1=4
∴S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（3﹣3）2]=×9=
故答案为：4；
【点评】本题考查了极差与方差的计算方法，关键是要记住公式并理解公式中各个量的含义
12．若将一个半径为5，表面积为15π的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为4．【考点】圆锥的计算．
【分析】应先求得扇形的弧长，进而除以2π求得围成圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
【解答】解：∵是半径为5，表面积为15π的扇形，
∴弧长l=2×15π÷5=6π，
∴圆锥的底面半径为：6π÷2π=3，
∴圆锥的高==4．
【点评】用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
13．若函数是二次函数，则m的值为﹣3．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7=2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．
【解答】解：若y=（m﹣3）x m2﹣7是二次函数，
则m2﹣7=2，且m﹣3≠0，
故（m﹣3）（m+3）=0，m≠3，
解得：m1=3（不合题意舍去），m2=﹣3，
∴m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，根据已知得出m2﹣7=2，注意二次项系数不为0是解题关键．
14．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中
线AD、BE的交点），BF=6，则DF=．
【考点】三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．
【解答】解：∵点F是△ABC的重心，
∴EF=BF=×6=3，
∵AB=BC，BE是中线，
∴AE=AC=×8=4，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF===5，
∴DF=AF=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键，此内容已经不作要求，此题可斟酌使用．
15．如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y
轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=，，求点A′的坐标为（）．
【考点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由已知条件可得：BC=1，OC=2．设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E，易
得△BCF≌△OA′F，那么OA′=BC=1，设A′F=x，则OF=2﹣x．利用勾股定理可得A′F=，
OF=，利用面积可得A′E=A′F×OA′÷OF=，利用勾股定理可得OE=，所以点A’的坐
标为（）．
【解答】解：∵OB=，
∴BC=1，OC=2
设OC与A′B交于点F，作A′E⊥OC于点E
∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′，∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1，设A′F=x
∴OF=2﹣x
∴x2+1=（2﹣x）2，
解得x=
∴A′F=，OF=
∵A′E=A′F×OA′÷OF=
∴OE=
∴点A’的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度，进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标．
16．如图，将半径为1cm的圆形纸板，沿着三边AB、BC、CA分别长6cm、5cm、4cm的△ABC的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是
15+2π．
【考点】轨迹．
【分析】圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°的弧长，根据弧长公式即可求得长度，然后加上三角形的周长即可求解．
【解答】解：圆在三角形的三个角的顶点处旋转的角度是：360°，
则旋转的路线长是：l==2π，
圆心O所经过的路线的长度=6+5+4+2π=15+2π．
故答案为：（15+2π）．
【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确理解圆心经过的路线是关键，注意掌握弧长的计算公式．
17．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值．
【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
三、认真答一答
18．（12分）（2019秋•宜兴市校级期末）解方程
①3x2﹣4x=0
②x2﹣4x+2=0（用配方法）
③y（y+10）=24．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】①左边因式分解后可得两个一元一次方程，解一元一次方程可得x的值；
②将常数项移至右边，再根据等式性质和安全平方式将左边配成完全平方式，两边直接开平方后可得；
③将方程化为一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：①x（3x﹣4）=0，
∴x=0或3x﹣4=0，
解得：x1=0，x2=；
②x2﹣4x=﹣2，
x2﹣4x+4=﹣2+4，
即（x﹣2）2=2，
∴x﹣2=±，
∴x1=+2，x2=﹣+2；
③原方程整理成一般式为：y2+10y﹣24=0，
左边因式分解得：（y﹣2）（y+12）=0，
∴y﹣2=0或y+12=0，
∴y1=2，y2=﹣12．
【点评】本题主要考查因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法的步骤是解题的关键．
19．已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；圆周角定理；扇形面积的计算．
【分析】（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，由AC为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠CBA为直角，再由CF垂直于FE，得到∠F为直角，根据同位角相等两直线平行可得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，可得出∠AMO为直角，根据两直线平行同位角相等可得出∠ODE为直角，则EF为圆O的切线；
（2）在直角三角形CFE中，由CF的长，及∠E为30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出CE的长，再利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形ODE中，由∠E为30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OE=2OD，又OE=OA+AE，可得出AE=OA=OC，由CE的长求出半径OA的长，及OE的长，又OD垂直于EF，CF垂直于EF，得到一对直角相等，再由一对公共角相等，可得出三角形ODE与三角形CFE相似，根据相似得比例，将各自的值代入求出DE的长，再由∠E为30°求出∠DOE为60°，然后由阴影部分的面积=三角形ODE的面积﹣扇形OAD的面积，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式计算即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D为的中点，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°， 则EF 为圆O 的切线；
（2）在Rt △AEF 中，∠ACB=60°，∴∠E=30°， 又∵CF=6， ∴CE=2CF=12，
根据勾股定理得：EF==6
，
在Rt △ODE 中，∠E=30°，
∴OD=OE ，又OA=OE ，
∴OA=AE=OC=CE=4，OE=8， 又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E ， ∴△ODE ∽△CFE ，
∴
=
，即=
，
解得：DE=4
，
又∵Rt △ODE 中，∠E=30°， ∴∠DOE=60°，
则S 阴影=S △ODE ﹣S 扇形OAD =×4×4
﹣
=8
﹣
．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理的逆定理，以及扇形面积的求法，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
20．如图，已知O 是原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的位似比为2），画出图形并写出点B、C的对应点的坐标；
（2）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【考点】作图-位似变换．
【分析】（1）延长BO，CO到B′、C′，使OB′、OC′的长度是OB、OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
【点评】本题考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
21．如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y=﹣图象上的概率．
【考点】列表法与树状图法；绝对值；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）根据题意列表，然后根据列表求得所有可能的结果与|m+n|＞1的情况，根据概率公式求解即可．
（2）根据（1）中的树状图，即可求得点（m，n）落在函数y=﹣图象上的情况，由概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）表格如下：
（﹣
由表格可知，所有等可能的结果有12种，其中|m+n|＞1的情况有5种，（7分）
所以|m+n|＞1的概率为P1=；
（2）点（m，n）在函数y=﹣上的概率为P2==．
【点评】此题为一次函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．反比例函数上的点的横纵坐标的积为反比例函数的比例系数．第二象限点的符号为（﹣，+）．
22．已知二次函数y=x2﹣（m﹣2）x+的图象经过（﹣1，6），
（1）求m的值并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设此二次函数的图象与x 轴的交点为A、B（A在B右边），与y轴交于点C，P在抛物线的对称轴上，当∠APC=90°时，求P点的坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）将点（﹣1，6）代入抛物线中即可求出m的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据解析式求得A、C的坐标以及对称轴，然后设P（3，n），根据题意得出=，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m﹣2）x+的图象经过（﹣1，6），
∴6=+（m﹣2）+，
∴m=5，
∴y=x2﹣3x+，
（2）令y=0，则x2﹣3x+=0，
解得x1=1，x2=5，
∴A（5，0），B（1，0），
令x=0，则y=，
∴C（0，），
∵y=x2﹣3x+，
∴对称轴x=3，
∵P在抛物线的对称轴上，
设P（3，n），
当∠APC=90°时，
∴=
解得n=﹣或n=4，
∴P（3，﹣）或（3，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、三角形相似的判定和性质．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
23．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为z=﹣（x﹣8）2+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）本题考查的是分段函数的有关知识；
（2）设利润为w，则根据题意得y﹣z=w．已知y，z的函数关系式，易求解．
【解答】解：（1）y=；
（2）设利润为W，则
W=
W=x2+14，对称轴是直线x=0，当x＞0时，W随x的增大而增大，
=+14=17.125（元）
∴当x=5时，W
最大
W=（x﹣8）2+18，对称轴是直线x=8，当x＞8时，W随x的增大而增大，
=×9+18=19=19.125（元）
∴当x=11时，W
最大
综上可知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．利用配方法求出最大值．
24．（2019•无锡二模）如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB=．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A 出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．
（1）点Q的运动速度为4cm/s，点B的坐标为（18，8）；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的？
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】（1）结合函数图象得出当2秒时，BP=2，此时△BPQ的面积为8cm2，进而求出AO为8cm，即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可；
（2）首先得出PB=t ，BQ=30﹣4t ，则QM=（30﹣4t ）=24﹣t ，利用S △PBQ =t （24﹣
t ）求出即可；
（3）首先得出△BPQ 的面积，进而得出F 点坐标，进而得出直线EF 解析式为：S=4t ，当
S=12时，求出t 的值，再将S=12代入S=﹣t 2+12t 求出t 的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得出：当2秒时，△BPQ 的面积的函数关系式改变，则Q 在AO 上运动2秒，
当2秒时，BP=2，此时△BPQ 的面积为8cm 2， ∴AO 为8cm ，
∴点Q 的运动速度为：8÷2=4（cm/s ），
当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO=12cm ，
∵cosB=，∴可求出AB=6+12=18（cm ）， ∴B （18，8）；
故答案为：4，（18，8）；
（2）如图（1）：PB=t ，BQ=30﹣4t ， 过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，
则QM=（30﹣4t ）=24﹣t ，
∴S △PBQ =t （24﹣
t ）=﹣t 2+12t （5≤t ≤7.5），
即曲线FG 段的函数解析式为：S=﹣t 2+12t ；
（3）∵S 梯形OABC =（12+18）×8=120，
∴S=
×120=12，
当t ＞2时，F （5，20），
∴直线EF 解析式为：S=4t ，当S=12时，4t=12，解得：t=3，
将S=12代入S=﹣t 2+12t ，解得：t=，
∵5≤t ≤7.5，故t=
，
综上所述：t=3或t=，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
25．（2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标
为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
【考点】二次函数综合题．。