2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学三模试卷

2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项A、B、
C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置．）
1．（3分）下列各数中，无理数是（）
A．B．C．D．
2．（3分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（）
A．x＝1B．x≥1C．x≠0D．x≥0
3．（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
4．（3分）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（3，0），按以下步骤作图：①以点O为圆心，分别交OC，OB于点D，E，E为圆心，大于，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，则点G的坐标为（）
A．（3，）B．（，3）C．（，3）D．（3，）5．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，那么此点取自黑色部分的概率为（）
A．B．C．D．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 7．（3分）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，根据题意可列方程为（）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和反射光线使∠MDK＝∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2021年又将是一个新的时间坐标．过去40年，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．
10．（3分）关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为．
11．（3分）一组数据﹣1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有．12．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，D，则CD的长为．
13．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''；②△ABC∽△A'B'C'；
③AO：AA'＝1：2．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，点A2，A3，…，
A n在直线l上，点B1，B2，B3，…，
B n在x轴的正半轴上，若△OA1B1，△A2B1B2，A3B2B3，…，
△A n B n﹣1B n，依次均为等腰直角三角形，点B n的坐标是．
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．（6分）计算：+（π﹣2021）0﹣3tan30°﹣|1﹣|．
16．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝+2﹣2．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是AD上的点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，求证：BE＝FE．
18．（6分）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
19．（7分）4月23日是世界读书日，某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于
课外阅读的时间，部分信息如下：
数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）：
40，15，20，71，90，60，120，71，80，42，65，85，71，130．
乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）：
10，42，86，70，55，30，18，102，82，140，82，114，100，98．
数据描述：将阅读时间分为四个等级：A（0≤x＜40），B（40≤x＜80），C（80≤x＜120），D（120≤x＜160）．
甲同学按下表整理样本数据：
等级A B C D
人数a9b3乙同学绘制扇形统计图如图；
分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数中位数众数甲70c71
乙7279d 根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝，b＝，c＝，d＝；m＝度；
（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）
20．（7分）已知直线y＝x+m经过点A（2，3），且与x轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果一个反比例函数的图象与线段BA的延长线交于点D，且BA：AD＝3：2，求这个反比例函数的解析式．
21．（10分）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节与2021菏泽市文化旅游发展大会将于4月9日在菏泽会盟台会议中心隆重开幕．为配合菏泽“牡丹花会”，花农孙老伯培育了甲、乙两种牡丹各若干株．如果培育甲、乙两种牡丹各一株，那么共需成本500元，那么共需成本1200元．
（1）求甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种牡丹的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．孙老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种牡丹，请问孙老伯应该培育甲、乙两种牡丹各多少株？
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6
23．（10分）如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，BC所在的直线相交，交点分别为E
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值，请说明理由．
2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项A、B、
C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置．）
1．（3分）下列各数中，无理数是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是无理数；
B、是分数，故此选项不符合题意；
C、＝3，属于有理数．
D、＝4，属于有理数；
故选：A．
2．（3分）如果代数式的值为0，那么实数x满足（）
A．x＝1B．x≥1C．x≠0D．x≥0
【解答】解：∵代数式的值为0，
∴x﹣6＝0且x≠0，
解得x＝4，
故选：A．
3．（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和左视图
【解答】解：从上边看是一个十字，
“十”字是中心对称图形，
故选：C．
4．（3分）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（3，0），按以下步骤作图：①以点O为圆心，分别交OC，OB于点D，E，E为圆心，大于，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，则点G的坐标为（）
A．（3，）B．（，3）C．（，3）D．（3，）
【解答】解：由作法得OF平分∠BOC，
∴∠BOG＝∠COG，
∵O（0，0），5），B（3，
∴OB＝2，OA＝3，
∵四边形AOBC为矩形，
∴∠OBC＝90°，BC＝OA＝6，
在Rt△OBC中，∵tan∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOG＝∠BOC＝30°，
在Rt△BOG中，BG＝，
∴G点坐标为（3，）．
故选：D．
5．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，那么此点取自黑色部分的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为1，
则点取自黑色部分的概率为：＝，
故选：C．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣2k≥0，
即k≤4，且k≠3．
故选：D．
7．（3分）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，根据题意可列方程为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价每个（x﹣5）元＝，
故选：A．
8．（3分）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，且入射光线和反射光线使∠MDK＝∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2，
∵ME⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
又∵BE＝x，ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，∴6＜x＜1，
∴BD＝2x，CD＝7﹣2x．
∵∠MDK＝∠FDK，DK与BC垂直，
∴∠CDF＝∠BDE＝30°，
∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°，
∴FC＝CD＝，FD＝CD•sin60°＝（2﹣2x）×＝，
∴y＝FC•FD
＝（3﹣x）×
＝（1﹣x）2．
∴函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2021年又将是一个新的时间坐标．过去40年，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就8.2×108．
【解答】解：820000000＝8.2×102．
故答案为：8.2×102．
10．（3分）关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为2．
【解答】解：，
由①得，x＜3，
由②得x≤m﹣5，
∵数轴上不等式解集的表示方法可知m﹣1＝1，即m≥3．
故答案为：2．
11．（3分）一组数据﹣1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有6或﹣2．【解答】解：一组数据﹣1，0，5，5，X的极差是7，x﹣（﹣3）＝7；当X是最小值时，解得：x＝﹣2．
故答案为：7或﹣2．
12．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，D，则CD的长为．
【解答】解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△P AB的中位线，
∴CD＝AB＝．
故答案为．
13．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''；②△ABC∽△A'B'C'；
③AO：AA'＝1：2①②④．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，
∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；点C、O，
①①②④正确，
故答案为：①②④．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，点A2，A3，…，
A n在直线l上，点B1，B2，B3，…，
B n在x轴的正半轴上，若△OA1B1，△A2B1B2，A3B2B3，…，
△A n B n﹣1B n，依次均为等腰直角三角形，点B n的坐标是（2n﹣1，0）．
【解答】解：y＝x+1与y轴交点A1（4，1），
∵△OA1B4是等腰直角三角形，
∴OB1＝1，
∴B4（1，0）；
∵△A3B1B2，△A7B2B3，…，△A n B n﹣8B n依次均为等腰直角三角形，
∴A2B1＝＝2，A2B3＝＝（）2×＝（）6＝2，…，A n B n ＝（）n+1，
∴A2B7＝（）2＝6，A3B2＝（）4＝4，…，A n+8B n＝（）2n，
∵Bn的横坐标是A n+5B n﹣1，
∴B n（2n﹣2，0）；
故答案为（2n﹣3，0）．
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．（6分）计算：+（π﹣2021）0﹣3tan30°﹣|1﹣|．
【解答】解：原式＝
＝
＝8．
16．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝+2﹣2．【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝；
当，时，
ab＝（+5）（）3﹣22＝2﹣4＝﹣1，
a﹣b＝+2﹣（+2﹣，
∴原式＝．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是AD上的点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，求证：BE＝FE．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AD＝AF，
∴BD＝AF，
方法一：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴BE＝FE．
方法二：连接DF，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵点E是平行四边形ABDF对角线AD、BF的交点，
∴BE＝FE．
18．（6分）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解答】解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OB＝7cm．
过点A作AH⊥OF，垂足为点H．
在Rt△OAH中，∵，
∴AH＝AO⋅sin∠AOH＝20×sin37°≈12（cm）．
同理可得OH＝16（cm）．
由OB＝7，得BH＝2（cm）．
在Rt△ABH中，．
答：窗钩AB的长度约等于15cm．
19．（7分）4月23日是世界读书日，某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社甲
乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了20名学生每周用于课外阅读的时间，部分信息如下：
数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）：
40，15，20，71，90，60，120，71，80，42，65，85，71，130．
乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：分钟）：
10，42，86，70，55，30，18，102，82，140，82，114，100，98．
数据描述：将阅读时间分为四个等级：A（0≤x＜40），B（40≤x＜80），C（80≤x＜120），D（120≤x＜160）．
甲同学按下表整理样本数据：
等级A B C D
人数a9b3
乙同学绘制扇形统计图如图；
分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数中位数众数甲70c71
乙7279d
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝3，b＝5，c＝71，d＝82；m＝108度；
（2）甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
（3）根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有1500人，请估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）
【解答】解：（1）由甲同学收集的20个数据可得，a＝3，
将甲同学收集的20个数据按从小到大的顺序排列为：
10，15，40，43，65，71，71，85，90，120，130，
第10，11个数均为71，
乙同学收集的20个数据中，82出现了两次，所以众数d＝82；
20个数据中B等级有6人，则m＝360°×．
故答案为：3，5，71；108；
（2）甲同学的较好．因为甲同学选取的样本具有代表性．
乙同学调查的不足之处是：样本数据选取不具代表性；
（3）（人）．
故可估计每周课外阅读时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有600人．
20．（7分）已知直线y＝x+m经过点A（2，3），且与x轴交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果一个反比例函数的图象与线段BA的延长线交于点D，且BA：AD＝3：2，求这个反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，3），
∴5+m＝3，
解得m＝1．
∵直线与x轴交于点B，
∴x＝﹣4．
∴B（﹣1，0）．
（2）过点A，D作x轴的垂线，H，
∴AG∥DH，
根据题意可知：AG＝8，BG＝3，
∵BA：AD＝3：5，
∴GH＝2，DH＝5，
∴D（7，5），
∴反比例函数的解析式为y＝．
21．（10分）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节与2021菏泽市文化旅游发展大会将于4月9日在菏泽会盟台会议中心隆重开幕．为配合菏泽“牡丹花会”，花农孙老伯培育了甲、乙两种牡丹各若干株．如果培育甲、乙两种牡丹各一株，那么共需成本500元，那么共需成本1200元．
（1）求甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种牡丹的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．孙老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种牡丹，请问孙老伯应该培育甲、乙两种牡丹各多少株？
【解答】解：（1）设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元．
根据题意，得，
解之得，
答：甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为200元和300元．
（2）设孙老伯培育甲种牡丹z株，则孙老伯培育乙种牡丹株（6z﹣10）株．
根据题意，得，
解之得，
∴z＝29或30．
答：孙老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6
【解答】解：（1）DE与⊙O相切．
理由如下：连接CD、OD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵E为Rt△ADC的斜边AC的中点，
∴EA＝ED，
∴∠1＝∠A，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠2，
而∠B+∠A＝90°
∴∠8+∠2＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵∠DBC＝∠CBA，∠BDC＝∠BCA，
∴△BCD∽△BAC，
∴BD：BC＝BC：BA，
∴BD＝＝，
∵OB＝OC，EC＝EA，
∴OE为△CAB的中位线，
∴OF∥BD，
∴OF：BD＝OC：CB，
∴OF＝BD＝．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，BC所在的直线相交，交点分别为E
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，P A＝PC，
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE＝∠PCF，
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠P AE＝∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE＝CF．
在Rt△PCF中，＝tan30°＝，
∴＝；
故答案为：；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，则PM⊥PN，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝，
由（1）知，＝，
∴＝，
（3）答：变化，
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，则PM⊥PN，PN∥AB，
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM＝∠PCN，∠P AM＝∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴＝＝，得CN＝2PM，
在Rt△PCN中，＝tan30°＝，
∴＝，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝＝，
∴的值发生变化．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值，请说明理由．
【解答】（1）∵抛物线y＝﹣+bx+c图象经过A（﹣1，B（4，∴根据题意，得，
解得  ，
所以抛物线的解析式为：；
（2）①证明：∵把C（m，m﹣4）代入得
∴，
解得：m＝3或m＝﹣4，
∵C（m，m﹣1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m＝﹣7舍去，
∴m＝3，
∴点C坐标为（3，6），
过C点作CH⊥AB，垂足为H，
由A（﹣1，0），2），2）得  ，CH＝2，AB＝5
∵，∠AHC＝∠BHC＝90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH＝∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH＝90°
∴∠ACH+∠BCH＝90°
∴∠ACB＝90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，∴▱DECF是矩形；
②存在；
连接CD
∵四边形DECF是矩形，
∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．。