学案1：7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)
新知探究
正弦函数的性质
上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．
(2)单调区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)表示的是一个个区间，即…，⎣⎡⎦⎤－π2，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，5π2，…，而不表示成…∪⎣⎡⎦⎤－π2，π2∪⎣⎡⎦
⎤3π2，5π
2∪….要特别与集合表示⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－π2＋2k π≤x ≤π
2＋2k π，k ∈Z 区别开来．
小试身手
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2－sin x 的最小正周期为2π( ) (2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
2为奇函数( ) (3)当且仅当x ＝－π
2时，y ＝3－sin x 取最大值( )
2．函数y ＝sin x 的一条对称轴是( ) A ．x ＝π
2
B ．x ＝π
4
C ．x ＝0
D ．x ＝π
3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭
⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫
π4，3π4
C.⎝⎛⎭⎫π，3π2
D.⎝⎛⎭
⎫3π
2，2π 4．函数y ＝1－2sin x 的最大值为________． 课堂讲练
题型一 正弦函数的定义域、值域问题 典例 (1)求函数y ＝2sin x ＋3的定义域． (2)求下列函数的值域．
①y ＝－2sin x ＋1；②y ＝sin x
sin x ＋2；
③y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2. 类题通法
(1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像.
(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法． 活学活用
1．函数f (x )＝ln(1－2sin x )的定义域为____________． 2．求下列函数的值域． (1)y ＝sin 2x －sin x ； (2)y ＝|sin x |＋sin x .
题型二 正弦函数的周期性与奇偶性问题 典例 (1)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝x sin(π＋x )；
②f (x )＝2sin x －1.
(2)求下列函数的最小正周期． ①f (x )＝sin 2x ； ②f (x )＝|sin x |. 类题通法
(1)判断与正弦函数有关的奇偶性问题时易忽视定义域关于原点对称这一前提条件. (2)有关正弦函数的最小正周期的求法：①定义法；②图像法. 活学活用
1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇函数又偶函数
D ．非奇非偶
2．函数y ＝1
2－sin 3x 的最小正周期为________．
题型三 正弦函数的单调性问题 题点一：求单调区间
1．求函数y ＝sin(－x )的单调递增区间．
题点二：利用正弦函数单调性比较大小 2．比较大小： (1)sin 4π7与sin 19π7
；
(2)sin ⎝⎛⎭⎫－13π5与sin 19π5.
题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围
3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________． 类题通法
(1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内.
(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解.
参考答案
新知探究
R [－1,1] 2π 奇函数
小试身手
1．【答案】(1)√ (2)√ (3)×
2．【答案】A
【解析】由图像知正弦函数的对称轴为x ＝π
2＋k π(k ∈Z )．
3．【答案】C
【解析】通过观察y ＝|sin x |的图像可得． 4．【答案】3
【解析】当且仅当sin x ＝－1时，y max ＝3. 课堂讲练
题型一 正弦函数的定义域、值域问题
典例 解：(1)要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－3
2
.如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3
.
所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π
3，k ∈Z . (2)①[直接法]
∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤－2sin x ≤2. －1≤－2sin x ＋1≤3，即－1≤y ≤3， ∴值域为[－1,3]． ②[反解法]
原式可化为y sin x ＋2y ＝sin x ， ∴sin x ·(y －1)＝－2y ，∴sin x ＝2y
1－y
， ∵－1≤sin x ≤1，
∴－1≤2y 1－y ≤1.解得－1≤y ≤1
3，
故函数y ＝sin x
sin x ＋2的值域为⎣⎡⎦⎤－1，13. ③[换元法]
y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2
＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∵－1≤sin x ≤1，
∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9， y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]． 活学活用
1．【答案】⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z 【解析】要使函数有意义只需1－2sin x ＞0， 即sin x ＜
22
. 在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上，适合条件的x 的取值范围是3π4＜x ＜9π4. 所以该函数的定义域为⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z . 2．解：(1)y ＝sin 2x －sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x －122－14. ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x ＝12时，y 取最小值为－1
4；
当sin x ＝－1时，y 取最大值为2. ∴y ＝sin 2x －sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－1
4，2. (2)当sin x ≥0时，|sin x |＝sin x ； 当sin x ＜0时，|sin x |＝－sin x ，
∴原式可化为y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2sin x sin x ≥0
，
0sin x ＜0.
由－1≤sin x ≤1，可知0≤y ≤2， ∴函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域是[0,2]. 题型二 正弦函数的周期性与奇偶性问题 典例 解：(1)①f (x )＝－x sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数． ②由2sin x －1≥0，得sin x ≥1
2，
∴x ∈⎣
⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π
6(k ∈Z )．
∴函数f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．
(2)①∵sin 2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ， ∴f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π. ②作出f (x )＝|sin x |的图像，观察知T ＝π.
活学活用 1．【答案】A
【解析】f (－x )＝2sin(－2x )＝－2sin 2x ＝－f (x )． 2．【答案】2π3
【解析】利用定义或作出图像知T ＝2π
3.
题型三 正弦函数的单调性问题 题点一：求单调区间
1． 解：∵y ＝sin(－x )＝－sin x ，且函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π(k ∈Z )上是增加的， 在⎣⎡⎦
⎤π2＋2k π，3π
2＋2k π(k ∈Z )上是减少的， ∴函数y ＝sin(－x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π
2＋2k π(k ∈Z )． 题点二：利用正弦函数单调性比较大小 2．解：(1)∵sin 19π7＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π7＝sin 5π
7， y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤
π2，π上是减少的， 且π2＜4π7＜5π
7＜π， ∴sin
4π7＞sin 5π7. 即sin
4π7＞sin 19π7
. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π5＝－sin 3π5 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5
，
sin 19π5＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π5＝－sin π5. 函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π
2上是增加的， 且0＜π5＜2π5＜π
2
，
所以sin π5＜sin 2π5，－sin π5＞－sin 2π
5.
即sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＜sin 19π5
. 题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围 3．【答案】⎝⎛⎦
⎤0，π
2 【解析】由函数y ＝sin x 的图像(图略)可知，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π
2上为增函数， ∴[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0＜a ≤π
2
.。