浙教版九年级数学下册练习题：2.3 三角形的内切圆

2．3 三角形的内切圆
A组
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则O是△ABC的(B)
A. 三条边的垂直平分线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点
,(第1题))
,(第2题))
2．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(B)
A. 1
6 B.
π
6 C.
π
8 D.
π
5
(第3题)
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)
A. (－2，3)
B. (－3，2)
C. (3，－2)
D. (2，－3)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝(D)
,(第4题))
A.
3
3 B.
3
2 C.
3 D. 2
5．已知△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则∠EOF＝__120°__．
6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
(1)求△ABC的面积．
(2)求⊙O的半径．
(3)求AF的长．
,(第6题))
,(第6题解)) 【解】(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC＝1
2×3×4＝6.
(2)由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5，
∴r＝AC＋BC－AB
2＝
3＋4－5
2＝1，
即⊙O的半径为1.
(3)如解图，连结OE，OD.
易知四边形OECD为正方形，
∴CD＝OE＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
7．如图，I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2.将∠ACB平移使其顶点与点I重合，角的两边与AB边相交于点E，F，求图中阴影部分的周长．
,(第7题))
,(第7题解)) 【解】连结IA.
∵I是△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAI.
由平移的性质，得IE∥AC，∴∠CAI＝∠EIA，
∴∠BAI＝∠EIA，∴AE＝IE.
同理，IF＝BF，
∴C△IEF＝IE＋EF＋IF＝AE＋EF＋FB＝AB＝4.
B组
(第8题)
8．如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是(2，0)，点C的坐标是(0，－2)，点A的
坐标是(－3，b)，若反比例函数y＝k
x(x<0)的图象经过点A，则k＝－15．
【解】过点A作AD⊥x轴于点D.
∵△ABC的内心在x轴上，∴∠ABO＝∠OBC.
在Rt△OBC中，∵tan∠OBC＝OC
OB＝
2
2＝1，
∴∠OBC＝45°，∴∠ABO＝45°.
∵点B(2，0)，C(0，－2)，A(－3，b)，∴AD＝b，BD＝2－(－3)＝5.
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝AD
BD＝
b
5＝1，
∴b＝5，即点A(－3，5)．
∵反比例函数y＝k
x(x<0)的图象经过点A，
∴k＝－15.
(第9题)
9．如图，E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结BD，BE，CE.若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__．
【解】∵∠CBD＝32°，
∴∠CAD＝32°.
∵E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠CAD＝64°，
∴∠EBC＋∠ECB＝(180°－64°)÷2＝58°，
∴∠BEC＝180°－58°＝122°.
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，E为△ABC的内心，连结AE并延长交⊙O于点D，连结BD并延长至点F，使得BD＝DF，连结CF，BE.
(1)求证：DB＝DE.
(2)求证：直线CF为⊙O的切线．
,(第10题))
,(第10题解))
【解】 (1)∵E 是△ABC 的内心， ∴∠BAE ＝∠CAE ，∠EBA ＝∠EBC.
∵∠BED ＝∠BAE ＋∠EBA ，∠DBE ＝∠EBC ＋∠DBC ，∠DBC ＝∠CAE ， ∴∠DBE ＝∠BED ，∴DB ＝DE. (2)如解图，连结CD.
∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAB ＝∠DAC ， ∴BD ︵＝CD ︵
.∴BD ＝CD.
∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF，∴∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．
(第11题)
11．如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.
(1)填空：当AC＝BC(答案不唯一)时，EF∥AB(填上符合题目要求的一个条件即可)．
(2)当EF∥AB时，设⊙O的半径r为1，DE，AC的延长线相交于点G，求GF的长．【解】(1)由题意，易得CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF.
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，
∴∠A＝1
2(180°－∠C)＝∠CFE，∴EF∥AB，
∴当AC＝BC时，EF∥AB. (2)连结OE，OF.
易得四边形OECF为正方形，∴CE＝CF＝r＝1，∴EF＝ 2.∵EF∥AB，CE＝CF，∴AC＝BC.∵∠ACB＝90°，∴AB＝2AC.
∴r＝1＝AC＋BC－AB
2＝
（2－2）AC
2，
解得AC＝2＋2，∴BC＝2＋2，AB＝2 2＋2，∴AD＝AF＝2＋1.
∵EF∥AB，∴△GEF∽△GDA，
∴GF
GA＝EF
DA，即
GF
2＋1＋GF
＝
2
2＋1
，
解得GF＝2＋2.
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，O为BC边上的一点，过B，I两
点的⊙O交BC于点D，tan∠CBI＝1
3，AB＝6.
(1)求BD的长．
(2)求BC的长．
,(第12题))
,(第12题解)) 【解】(1)如解图，连结CI并延长，交AB于点E，连结DI.
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB.
又∵AC＝BC，∴CE垂直平分AB，
∴BE＝1
2AB＝3.
∵∠ABI＝∠CBI，tan∠CBI＝1 3，
∴EI
BE＝
DI
BI＝
1
3，
∴IE＝1，∴BI＝BE2＋EI2＝10，
∴DI＝10
3，∴BD＝BI
2＋DI2＝
10
3.
(2)∵BI平分∠ABC，∴∠EBI＝∠IBC，∴∠IBC＝∠BIC－∠BEI＝∠BIC－90°.∵∠DIC＝∠BIC－90°，∴∠IBC＝∠DIC.又∵∠BCI＝∠ICD，
∴△BIC∽△IDC，∴BI
ID＝
BC
IC＝3.
∵CI＝CE－EI＝BC2－9－1，∴BC＝3(BC2－9－1)，
解得BC＝15
4(负值舍去)．
数学乐园
13．如图①～④，在直角边长分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，在图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，求S1＋S2＋S3＋…＋S10的值．
导学号：56250045
,(第13题))
【解】 在图①中，∵三角形的两直角边长分别为3和4，∴斜边长为5，
∴内切圆半径r ＝3＋4－52
＝1，
∴内切圆面积S ＝πr 2＝π.
(第13题解)
在图②中标出字母如解图所示．
∵S △ABC ＝12×3×4＝12×5×CD ，∴CD ＝125
. 由勾股定理，得AD ＝
32－⎝⎛⎭⎫1252＝95
， ∴BD ＝5－95＝165. 同①可得⊙O 的半径＝95＋125－32＝35，⊙E 的半径＝125＋165－42＝45
， ∴S ⊙O ＋S ⊙E ＝π×⎝⎛⎭⎫352＋π×⎝⎛⎭
⎫452＝π. ……
由上述规律可知，在图⑩中，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝π.。