高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示优化训练北师大版必修57

马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
e1·e2+7t e22=2t 2+15t+7. ∴2t2+15t+7 ＜0.
∴-7<t<
1
.设 2te1+7e 2= λ（e1+te 2）（λ<0 ），
2
则 2t= λ，且7=t λ，∴2t2=7.
14
∴t=
，λ= 14 .
11
A.
5
11
B.-
C.2
D.-2
5
解析： 将所给坐标代入公式λ =| OA |cos 〈 e,OA 〉，或利用特殊值 .
方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=| OA |cos 〈 e,OA 〉 =
e? OA 5
| e | OA |
43 ( , ) ?(1, 2) 5? 5 5
5
4 6 2. 55
2 3
答案：
2
3.已知向量 a 与 b 同向， b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量 a 的坐标；
（ 2）若 c=(2,-1) ，求 (b· c)a.
解： (1)∵向量 a 与 b 同向， b=(1,2),∴a= λb=( λ,2λ).
又∵ a·b=10 ，∴有λ+4 λ=10.解得λ=2>0.
等于 ( )
A.-2
B.2
C.-2 或 2
D.0
解析： ∵ BC = AC - AB ，
∴n· BC = n·（ AC - AB ） = n· AC -n· AB =2- （ 1× 1-1× 1） =2.
答案： B
4.已知 a= （λ，2）， b= （-3， 5），且 a 和 b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( )
m
(m<1,m ≠ -1).
2
1.下列各向量中，与 e= （3，2）垂直的向量是 ( )
A.a= （ 3， -2）
B.b= （ 0， 0）
C.c= （ -4， 6）
D. d= （ -3， 2）
解析： ∵ 3×（ -4） +2× 6=0 ，故选 C.
答案： C
2.已知向量 a= （ 2， 1）， b= （ 3， x），若（ 2a-b）⊥ b，则 x 的值是 ( )
答案： D
2.( 高 考 福 建 卷 , 文 14)在 △ ABC 中 ， ∠ A=90 ° ， AB =(k,1), AC =(2,3), 则 k 的 值 是
______________.
解析： 由 AB 与 AC 垂直，列出关于 k 的方程，解方程即可 .
3 ∵∠ A=90 °，∴ AB ⊥ AC .∴ AB · AC =2k+3=0. ∴ k= .
(5)若四边形 ABCD 为梯形，则 DC = λAB 或 AD = λBC ，其中λ为实数，且λ>0, λ≠1.
2 m 3,
m1
∴
(λ>0, λ≠1) 或
4n 3
n
2,
(λ>0, λ≠1).
1
整理得 m、 n 的取值条件为 n=m+2(m<2,m ≠ -1)或 n=
2
30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后 )
答案：（ 1， 3 ）
7.直角三角形 ABC 中， AB = （ 2，3）， AC = （ 1，k），求实数 k 的值 .
2 解：（ 1）当∠ A=90 °时，易知 AB · AC =0 ，即 2+3k=0 ， k= .
3 11
（2）当∠ B=90 °时， BC = AC - AB = （ -1， k-3），易知 AB · BC =0 ，即 k= . 3
符合向量 a 与 b 同向的条件，∴ a=(2,4).
(2)∵ b· c=1 × 2+2 × (-1)=0,
∴(b· c)a=0.
4.求向量 a=(1,2)在向量 b=(2,-2)方向上的投影 .
解： 设 a 与 b 的夹角为θ，
a?b
则 cosθ=
|a |?|b |
1 2 2 ( 2) 12 2 2 ? 2 2 ( 2) 2
),
3
∴|2 a-b| 的最大值为 4，最小值为 0.
答案： D
4.A、B、C、D 四点的坐标依次是 (-1，0)、(0，2)、(4，3)、 (3，1)，则四边形 ABCD 为（ ）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D. 平行四边形
解析： ∵ AB =(1,2), DC =(1,2), ∴ AB = DC .又线段 AB 与线段 DC 无公共点，
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
（1）若四边形 ABCD 为平行四边形，则 AB = DC ，
∴(3,3)=(2-m,4-n), 解得 m=-1,n=1. ∴当 m=-1,n=1 时，四边形 ABCD 为平行四边形 .
（2）当 m=-1,n=1 时， AB =(3,3), AD =(-2,1).
cos = OA ? OB 建立坐标的方程组， 但较麻烦 .注意到 OA 与 x 轴的正方向所成的角为
，
6 | OA || OB |
6
再逆时针旋转 ，故 OB 与 x 轴正方向所成的角为
，故可采用几何法求点 B 的坐标 .另外
6
3
若注意到 A 、 B 关于直线 y=x 对称，则得到 B 点坐标 .由分析易知 OB 的坐标为（ 1， 3 ） .
答案： D
5.已知 | a|= 2 13 ,b=(-2,3)且 a⊥ b,则 a 的坐标为 ________________.
解析： 设 a=(x,y)，则 x2+y 2=52.由 a⊥b 得 -2x+3y=0.
x 6, x 6,
由以上两个条件得
y 4, y 4.
答案： (6， 4)或(-6， -4)
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
方法二：利用数形结合的思想，作图可得
C，检验 B、 D 可知 D 正确 . 答案： D
.令向量 e 过原点，故 O1 A1 与 e 方向相反 .排除 A、
2.若向量 b 与向量 a=(1,-2)的夹角是 180°，且 | b|= 3 5 ，则 b 等于 ( )
A.3
B.-1
C.-1 或 3
解析： ∵（ 2a-b）⊥ b， ∴（ 2a-b）·b =2a·b-b2=2 × 2× 3+2 × 1×x-32-x 2=0. 整理，得 x2-2x-3=0 ，解得 x=-1 或 3.
答案： C
D.-3 或 1
3.A、B、C 为平面内不共线的三点， 若向量 AB =（ 1，1），n=（ 1，-1）且 n· AC =2 ，则 n·BC
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
2.6 平面向量数量积的坐标表示
5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前 )
1.已知向量 a= （ -4， 7），向量 b= （ 5， 2），则 a· b 的值是 ( )
A.34
B.27
C.-43
D.-6
解析： a· b=-4 × 5+7 × 2=-6.
（3）当∠ C=90 °时， AC · BC =-1+k 2-3k=0 ， k= 3
13
.
2
2 11 3 13
综上可知， k 的值为
或或
.
33
2
8.设两向量 e1、 e2 满足 | e1|=2 ， | e2|=1 ，e1 与 e2 的夹角为 60°，若向量 2te1+7e2 与向量 e1+t e2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 . 解： ∵ e12=4 ，e22=1 ， e1· e2=2 × 1× cos60°， ∴（ 2te1+7 e2）·（ e1+t e2） =2t e12+ （ 2t2+7 ）
（2）解： ∵ a= （ 1， 2），∴ | a|=
5 .又 | b|=
5
，故 | a|| b|=
5
.
2
2
又∵（ a+2 b）⊥（ 2a-b）， ∴（ a+2b ）·（ 2a-b）=0 ，即 2a2+3 a·b-2b2=0.
5
5
∴2× 5+3 a· b-2× =0 ， a· b= .
4
2
a?b
∴cosθ=
∴ OP · OA =- a2t+ a2,故当 t=0 时， OP · OA 的最大值为 a2.
答案： D
6.若将向量 OA = （ 3 ，1）绕原点按逆时针方向旋转
标为 _OB 的坐 6
解 析 ： 设 出 OB 的 坐 标 ， 然 后 用 | OA |=| OB | 和 OA 、 OB 的 夹 角 为 ， 即 6
6.已知 A 、 B、 C、 D 四点的坐标分别为 A(1,0)、B(4,3)、 C(2,4)、D(m,n). 当 m、 n 满足什么条
件时，四边形 ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形
(A、 B、 C、 D 按逆时
针方向排列 )?
解： 由条件知 AB =(3,3), BC =(-2,1), AD =(m-1,n), DC =(2-m,4-n).
2
（1）解法一： 设 c=（ x， y）.
∵| c|= 2 5 ，∴ x 2 y2 2 5 ，即 x2+y 2=20.
①
又 c∥a，∴ 2x-y=0.
②
x 2, x 2,
由①②可得
或
y 4 y 4.
|c| 2 5
解法二： ∵c∥ a，故可设 c=λa，则 | λ|=
=2.
|a| 5
∴λ= ± 2.故向量 c 的坐标为（ 2， 4）或（ -2， -4） .
10
.
10
10
2
∴a 在 b 方向上的投影为 | a|cos θ= 5 (
)
.
10
2
10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )
43
1.已知平面上直线 l 的方向向量 e=( , )，点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是
55
O 1、A1，
则 O1 A1 = λe，其中λ等于( )
B、C.由共线可知
3.已知向量 a=( cosθ,sinθ)，向量 b=( 3 ,-1），则 |2 a-b| 的最大值和最小值分别是 ( )
A. 4 2 ,0
B.4, 2 2
C.16，0
D.4 ， 0
解析： a· b=2sin( -θ),|2 a-b|= 4a 2 4a ? b b 2 3
8 8sin(
∴AB ∥ DC 且 |AB|=|DC|.
∴四边形 ABCD 为平行四边形 .
又|AB|= 5 ， |BC|= 17 ，∴ |AB| ≠ |BC|. ∴平行四边形 ABCD 不是菱形也不是正方形 .
又 AB · BC =4+2=6 ≠ 0，∴ AB 与 BC 不垂直 .∴平行四边形 ABCD 不是矩形 .
A.(-3， 6)
B.(3，-6)
解析： 由题意 b 与 a 共线，
C.(6， -3)
D.(-6 ， 3)
方法一：设 b= λ(-1,2),且λ>0, 有 (-λ)2+(2 λ)2=( 3 5 )2 b=(-3,6).
方法二：由题意可知，向量 b=-3 a. 答案： A
a、 b 共线且方向相反，故可由方向相反排除
2
∴t=
14
时， 2te1+7 e2 与 e1+t e2 的夹角为π， t 的取值范围是（ -7，
2
1
）.
2
9.已知 a、 b、 c 是同一平面内的三个向量，其中
a= （1， 2） .
（1）若 | c|= 2 5 ，且 c∥ a，求 c 的坐标；
14
）∪（
2
14
，
2
5
（2）若 | b|=
，且 a+2 b 与 2a-b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ.
10
A.λ＜
3
10
B.λ≤
3
10
C.λ＞
3
10
D.λ≥
3
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
解析： ∵ a 和 b 的夹角为钝角，∴ 答案： C
10
a· b＜ 0，即 -3λ+10 ＜ 0，λ＞ .
3
5.已知 O 为原点，点 A 、 B 的坐标分别为（ a， 0）、（ 0， a）.其中常数 a＞ 0，点 P 在线段 AB
| a || b |
5 2 =-1. 5
2
又θ∈［0，π］，∴θ= π，即a 与 b 的夹角为π.
上，且 AP =t AB （ 0≤ t≤ 1），则 OA · OP 的最大值为 ( )
A.a
B.2a
C.3a
D.a2
解析： 由 AP =t AB ，可得 OP - OA =t OB -t OA ，
故 OP =t OB +(1-t) OA =t(0, a)+(1-t)( a,0)=(0,at)+( a-at,0)=( a-at,at).
则| AB |= 3 2 ,| AD |= 5 ,| AB | ≠ | AD |. 因此，使四边形 ABCD 为菱形的 m、n 不存在 .
（3）当 m=-1,n=1 时， AB · AD =(3,3)· (-2,1)=-3≠ 0，即 AB 、 AD 不垂直 .因此使四边形
ABCD 为矩形的 m、 n 不存在 . (4)由 (2)(3)知，使四边形 ABCD 为正方形的 m、 n 不存在 .