高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A5

由(Ⅰ)有 PQ∥DC，又 PQ＝12EB＝DC， 所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DP∥CQ， 因此 DP⊥平面 ABE，∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成 的角，
在 Rt△DPA 中，AD＝
5，DP＝1，sin∠DAP＝
5 5.
因此
AD
和平面
ABE
所成角的正弦值为
5 5.
例 2 如图，在三棱锥 P－OCB 中，PO⊥平面 OCB， OB⊥OC，OB＝OC＝ 2，PC＝4，D 为 PC 中点，求 OD 与平面 PBC 所成的角．
15 3 OH
∵VP－OBC＝VO－PBC，∴
315OH＝
14 3
∴OH＝ 12510，
∴sin∠ODH＝OOHD＝
12510＝
210 30
∴直线 OD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin
210 30
方法二：取 BC 中点 E，连结 PE，作 OF⊥PE 于点 F，
连结 DF，则 OF⊥平面 PBC.
【解析】 如图，过点 P 作 PA⊥α 于 A，PB
⊥β于 B，设 PA、PB 确定的平面为 γ，设 a∩γ ＝O，则 γ∩α＝OA，γ∩β＝OB，连 OP.
∵PA⊥α，PB⊥β，∴PA⊥a，PB⊥a，PA ∩PB＝P.∴a⊥γ.
又 AO⊂γ，BO⊂γ，∴AO⊥a，BO⊥a，
∴∠AOB＝120°.
∴CM＝MB＝12PB＝12
1＋22＝
5 2
在△BCM 中，BM·CM＝BC· BM2－B2C2
∴BM＝
2×
3 2＝
5
6 5
2
∵AB＝2，∴cos∠ANB＝AN22×＋ABNN×2－BANB2＝－23
故所求二面角为 arccos(－23)
解法二 ∵AB＝2，AC＝ 2，∠BAC＝45°，∴BC＝ 2，且 BC⊥AC ∵PA⊥平面 ABC ∴PA⊥BC， ∴BC⊥平面 PAC ∴平面 PAC⊥平面 PBC 过 A 作 AD⊥PC，垂足为 D ∴AD⊥平面 PBC，过 D 作 DE⊥CM，垂足为 E
• ③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两 垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角， 由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．
④射影法：利用面积射影公式 cosθ＝SS射 原，其中 S 原 为原斜面面积，S 射为射影面积，θ为平面角的大小，此
• (4)范围： 方法不必在图中画出平面角来．
• 2．二面角 • (1)定义：从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形 • 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱 ，这两个半平面
叫做二面角的 面．
• (2)二面角的平面角
• 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 • 直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面 垂
角的平面角．
• (3)求作二面角的方法
且 OE＝12SD＝21a，∠AEO(或其补角)等于直线 AE、SD 所成的
角．在正△SAB 中，AE＝ 23a.又在正方形 ABCD 中，AO＝12AC
＝
22a.在△AOE
中，cosAEO＝
23a2＋ 2×
21a2－ 23a×12a
22a2＝
33，
因此直线 AE、SD 所成的角的余弦值为 33，选 C.
• 【解析】 (1)证明 设AC∩BD＝H，连结EH，在△ADC中， 因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由 题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且 PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)证明 因为 PD⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，
5 3
∴二面角
A－CM－B
的大小为
π－arcsin
5 3
• 探究3 方法一是定义法 • 方法二是三垂线定理法
• 思考题3 P为120°的二面角α—a—β外一点，P到到α和β 的距离分别为5和8，求点P到棱a的距离．
• 【思路点拨】 本题已知二面角大小求点到直线的距离， 须使用垂面法，作出二面角的平面角，即过P点作PA⊥α， PB⊥β，A、B为垂足，设PA、PB确定的平面PAB与棱a交于 O点，连结AO、BO，得∠AOB即二面角的平面角，再配合 其他条件解题．
即为二面角的平面角．
设正方体的棱长为 2，则在△EQC1 中，EC1＝1，
C1Q＝2 55，EQ＝
3 5.
故平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成的角的余弦值
为 cosθ＝CE1QQ＝32.
【答案】
• 例4 如图，设E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点， 求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成的角的余弦值．
• 【解析】 如图，延长AE与A1C1的延长线交于点P，连结 PB1，则PB1即为二面角的棱．
• 过C1作C1Q⊥B1P交PB1于点Q，连结EQ. • ∵EC1⊥面A1B1C1D，由三垂线定理可得EQ⊥PB1，故∠EQC1
【解析】 方法一：过 O 作 OH⊥平面 PBC，垂足
为H. 连结 HD，则∠ODH 为 OD 与平面 PBC 所成的角．
∵PO⊥平面 OBC，OB⊥OC
Vp－OBC＝13·12OB·OC·OP
＝16×2×
42－2
22＝
14 3
VO－PBC＝31·OH·S△PBC
＝13OH·21BC·
PC2－14BC2＝
例 1 在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AD ⊥CD，DB 平分∠ADC，E 为 PC 的中点，AD＝CD＝1， • 题型一 直线与平面所成的角 DB＝2 2.
(1)证明 PA∥平面 BDE； (2)证明 AC⊥平面 PBD； (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值．
D．4
• 答案 C
解析 作 PP1⊥l 于 P1，PP2⊥β于点 P2，QQ1⊥l 于 Q1，QQ2⊥α于点 Q2，连接 P1P2、Q1Q2.则有 P1P2⊥l，Q1Q2
⊥l，∠PP1P2＝∠QQ1Q2＝60°，sin∠PP1P2＝PPPP21＝PP31＝
23，PP1＝2，因此动点 P 的轨迹是在半平 α 内与直线 l 平 行，且与直线 l 之间的距离是 2 的一条直线 m.同理 QQ1＝4， 因此动点 Q 的轨迹是在半平面 β 内与直线 l 平行，且与直 线 l 之间的距离是 4 的一条直线 n，P、Q 两点之间的距离 的最小值等于直线 m、n 间的距离，作 PM⊥n 于点 M，连 接 P1M，易知 l⊥平面 PP1M，∠PP1M＝60°，在△PP1M 中，P1M＝ 22＋42－2×2×4cos60°＝2 3，因此 P、Q 两 点之间距离的最小值是 2 3，选 C.
5．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长
都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦
值为( )
1
2
A.3
B. 3
3
2
C. 3
D.3
• 答案 C
解析 设 AB＝a，连结 AC、BD，设 AC∩BD＝O，则 O
是 BD 的中点．连结 OE，又 E 是 SB 的中点，因此 OE∥SD，
所以 PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又 PD∩DB＝D，故
AC⊥平面 PBD.
(3)解 由 AC⊥平面 PBD 可知，BH 为 BC 在平面
PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所成
的角．
由 AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2 2，可得 DH＝
CH＝
22，BH＝
2
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学第一轮复习 第十章《直线、平面、简单几何体A》课件10A5
微能力认证作业
• 1．直线与平面所成的角
• (1)定义：直线与平面所成的角是直线和它在平面内的
• 所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成 • 射影 ．当直线和平面垂直时，称直线和平面 90°角 0° •成 角 ． • (2)范围： [0°，90°]
• ①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
• ②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
• ③把该角放入三角形计算．
• 思考题1 (09·浙江)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝ BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的 中点．
• (Ⅰ)证明：PQ∥平面ACD； • (Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
• 二面角的大小是用它的平面角来度量的．找(或作)出二面 角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：
• ①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在 两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时， 要认真观察图形的特性．
• ②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面 的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．
∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角，
设 OD＝12PA＝1，
由题意可求得：OE＝12，OP＝ 214，PE＝ 215，
则 OF＝ 32010，
在 Rt△ODF 中，sinODF＝OODF＝
210 30 .
∴OD 与平面 PBC 所成的角为 arcsin
210 30
• 探究2 本题中求垂线段OH的长度用的是等体积法这样减 少了作垂线的步骤．
连结 AE，则 AE⊥CM
∴∠AED 为二面角 P－MC－A 的平面角
在 Rt△PAC 中，PA＝1，AC＝ 2，
∴AD＝PAP·CAC＝
36，AM＝CM＝12AB＝
5 2
∵AE·MC＝AC· AM2－A2C2
∴AE＝
65，∴sin∠AED＝AADE＝
5 3
∴二面角
P－CM－A
的大小为
arcsin
• 思考题2 (09·浙江)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等， 侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面 BB1C1C所成角的大小是( )
• A．30°
B．45°
• C．60°
D．90°
【解析】 过 A 作 AE⊥BC 于点 E，则易知 AE⊥面 BB1C1C，则∠ADE 即为所求，又 tan∠ADE＝DAEE＝ 3， 故∠ADE＝60°.故选 C. • 【答案】 C
[0°，180°]
• 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，则二面角E
－BD－C1的大小为
.
答案
π 2
• 2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都相等，则直线
BC1与平面角ABB1A1所成的角为
.
答案
6 arcsin 4
• 3．在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为2，
例 3 在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA • ＝题1型，二AC＝二面2，角AB＝2，∠BAC＝45°.M 为 PB 中点，
求面 AMC 与面 BMC 所成的二面角的大小．
【解析】 解法一： ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AB ∵M 为 PB 中点，∴AM＝MB 在△ABC 中，∵AB＝2，∠BAC＝45°，AC＝ 2 ∴BC＝ 2，∴△AMC≌△BMC 作 AN⊥MC，连结 BN，∴BN⊥CM ∴∠ANB 为二面角 A－MC－B 的平面角 ∵BC⊥AC，由三垂线定理可知 BC⊥PC
则侧面与底面所成的角为
，相邻两侧面所成的角
为
.
答案 arccos 33，π－arccos13
4．(09·全国Ⅰ)已知二面角 α-l-β 为 60°，动点 P、Q
分别在面 α、β内，P 到 β 的距离为 3，Q 到 α 的距离
为 2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为( )
A. 2
B．2
C．2 3
又 PO⊂γ，∴a⊥PO，∴PO 为 P 到棱 a 的距离．
∵PA⊥AO，PB⊥BO，∴P、A、O、B 四点共圆． ∴∠APB＝60°. 在△PAB 中，AB2＝PA2＋PB2－2PA·PBcos60°， ∴AB＝7. ∵PO 为四边形 PAOB 外接圆直径， ∴PO＝sinA6B0°＝134 3.
2 .
在 Rt△BHC 中，tan∠CBH＝CBHH＝13.
所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为31.
• 探究1 (1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键， 因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成 的角，才能将空间的问题转化为平面的问题求解．
• (2)求斜线与平面所成的角的步骤：
• 【解析】 (Ⅰ)证明 因为P，Q分别为AE，AB的中点， 所以PQ∥EB.
• 又DC∥EB，因此PQ∥DC，从而PQ∥平面ACD. • (Ⅱ)如图，连结CQ，DP. • 因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB. • 因为DC⊥平面ABC， • EB∥DC，所以EB⊥平面ABC. • 因此CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE.