甘肃省会宁县第一中学高三第四次月考月数学理试题含答案

会宁一中2020届高三级第四次月考
数学（理科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数
i
i
a -+2是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A.-2
B.2
C.
12
D.-1
2.已知集合{}(,)|2M x y x y =+=，{}(,)|2N x y x y =-=，则集合=N M I （ ） A.{}0,2 B ．()0,2 C ．{})2,0( D ． {})0,2(
3.“0k =”是“直线1y kx =-与圆2
2
1x y +=相切”的（ ） A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时
n 的值为（ ）
A ．504
B ．505
C ．506
D ．507
5.如图，我们从这个商标中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（ ）
A.11)(2-=x x f B ．1
1
)(2+=x x f
C ．11
)(-=
x x f D ．1
1)(-=x x f 6.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(]
,0x ∈-∞时， ()()0f x xf x '+<成立，若
()()0.6
0.6
22a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，1
1
8822log log c f ⎛⎫
⎛⎫
=⋅
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c >>
B.a c b >>
C.c b a >>
D.c a b >>
7．设E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点,且
1,2==EF AB ,给出下列四个命题:
①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°; ③11D B ⊥平面1B EF ;
④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60°.其中正确的命题为: （ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．①④
8.已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则
1
sin 22
α=（ ） A ．
310
B ．
35 C ．310
-
D ．
110
9.若函数()sin (0)6f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，则ω的最小值为（ ） A.
23
B ．
34
C ．
43
D ．
32
10.若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移
4
π
个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把
图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则
()y f x =的一个对称中心为（ ）
A.(0,0)
B ．(
,1)4
π
C ．(
,1)2
π
D ．3(
,0)4
π
11.已知不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x 表示的平面区域为D ，若对任意的D y x ∈),(，不等式
02≥--t y x 恒成立，则实数t 的最大值为（ ）
A.1 B ．1- C ．5- D ．4-
12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()
3f x f x x
'->，则关于x 的不等式3
1(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A.)6,3(
B.)3,0(
C.)6,0(
D.),6(+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.
13.若直线)0(03:1>=++m m y x l 与直线0362:2=-+y x l 的距离为
10，则
=m .
14.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点
(,1)e --
（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .
15.在直三棱柱111C B A ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，同时在三棱柱
111C B A ABC -外有一个外接球2O ,若BC AB ⊥,4,3==BC AB ,则球2O 的体积
为 . 16.已知函数()⎪⎭
⎫
⎝⎛≤≤=
2211x x x f ，记()m k d ,为函数()x f y =图像上的点到直线m kx y +=的距离的最大值，那么()m k d ,的最小值为 .
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分
17.（本小题12分）已知直线l ：120kx y k -++= (k R ∈). （Ⅰ）证明：直线l 过定点；
（Ⅱ）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
18.（本小题12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且
.cos 3cos )32(C a A c b =-
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若角6
π
=
B ,点M 为B
C 边上靠近点C 的一个四等分点，且21=AM ，求ABC ∆的
面积S .
19.（本小题12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥AB 侧面11B BCC ,1AB AC = （Ⅰ）求证：平面⊥1ABC 平面C AB 1；
（Ⅱ）若2==BC AB ,︒
=∠601BCC ，求二面角11B AC B --的余弦值． 20.（本小题12分）已知数列{n a }满足...3,2,1,53,111=+=+=+n n a a a n n . （Ⅰ）证明：当2≥n 时，311=--+n n a a ；
（Ⅱ）求和: 12221254433221...+--++-+-n n n n a a a a a a a a a a a a .
21.（本小题12分）已知函数)0()2(ln )(2>-+=x x
e x x a x
f x
.
（Ⅰ）若函数)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，求证：a x x ln 221<+.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数
方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==t y t x 2321（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ，点P 的极坐标是)3
2,3152(π
. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PMN ∆的面积.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数R a x a x x f ∈-+-=|,1||2|)(. （Ⅰ）若2-=a ，解不等式5)(≤x f ；
（Ⅱ）当2<a 时，函数)(x f 的最小值为3，求实数a 的值.
会宁一中2020届高三级第四次月考
数学（理科）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

CDCBD CAAAB CA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.
13.
217 14.(,1)e 15.π62929 16.8
2 三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，
第22、23题为选考题.
（一）必考题：共60分
17.（本小题12分）(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，
令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：2
1x y =-⎧⎨=⎩
，
∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-. (2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k
A k
+-
，(01
2)B k +，． 依题意得：120120k
k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)111
12(44)(224)422222
k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=
⋅+==++≥⨯⨯+=， 当且仅当 140k k =
>，即1
2
k =，取“＝” ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=． 18.（本小题12分）
(1)
6
π
（2）34 19.（本小题12分） (1)如图，设，连接AG.
因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G 为
的中点，
因为
，
所以为等腰三角形，所以
，
又因为AB ⊥侧面，且
平面
，
所以
又因为， 所以平面AB
，又因为
平面
，
所以平面
平面
；
（2）由（1）知平面AB ，所以B
以G 为坐标原点，以
的方向为x 轴正方向，以
的方向为y 轴正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系G-xyz. 由B
易知四边形
为菱形，因为
所以，
则可得， 所以
设平面的法向量，
由
得：
，取z=1，所以
，
由（1）知=为平面AB 的法向量，
则
易知二面角
的余弦值.
20.（本小题12分）
（1）⋅⋅⋅=+=++3,2,1,531n n a a n n Θ ① ⋅⋅⋅=+-=+∴-4,3,2,5)1(31n n a a n n ②
1
2221254433221+--⋅⋅⋅+-+-n n n n a a a a a a a a a a a a 1
2221254433221+--⋅⋅⋅+-+-n n n n a a a a a a a a a a a a ①－ ②得⋅⋅⋅==--+3,2,311n a a n n
（2）
)()()(12122534312+--+⋅⋅⋅+-+-=n n n a a a a a a a a a ))(3(2642n a a a a +⋅⋅⋅+++-=
由（1）得{}n a 2为公差为3的等差数列，又由7,8221==+a a a 得 ∴
2
332
9)32)1(7)(3(2n
n n n n -
-=⋅-+-= 21.（本小题12分）已知函数)0()2(ln )(2>-+=x x
e x x a x
f x
.
（1）若函数)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的基础上，求证：a x x ln 221<+.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数
方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==t y t x 2321（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ，点P 的极坐标是)3
2,3152(
π
. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线的距离；
（2）若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PMN ∆的面积. （1）由
消去，得到
，则
，∴
，
所以直线的极坐标方程为.点到直线的距离为
.
（2）由，得，所以，，
所以，
则的面积为
.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数R a x a x x f ∈-+-=|,1||2|)(. （Ⅰ）若2-=a ，解不等式5)(≤x f ；
（Ⅱ）当2<a 时，函数)(x f 的最小值为3，求实数a 的值. (Ⅰ) 时，不等式为 ①当 时，不等式化为
，，此时
②当 时，不等式化为，
③当
时，不等式化为
，
，此时
综上所述，不等式的解集为
（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即
时，
所以f (x )min ＝f （）＝－＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，
故a ＝－4. 法二：
所以，又，所以.。