南航矩阵论研究生试卷及答案
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（1)求系数矩阵 的满秩分解;
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
不变因子为 ；…………………（3分）
初等因子为 ;……………………(２分)
Jｏrｄａn标准形为 ．……………………(2分)
(２) 不相似,理由是２阶行列式因子不同；…………………(5分）
相似，理由是各阶行列式因子相同.…………………(5分)
共６页第 ４页
三、（20分）已知线性方程组 不相容.
(2) 证明矩阵幂级数 收敛;
(3) 求矩阵幂级数 的和．
解答:(1) .………(10分)
(２)因为 是相容范数，且 ，则 在收敛半径内,因此级数收敛.……………(5分）
(3) .……………(５分）
共６页第6页
五、（20分)设 是两个 阶矩阵,其中 ,证明:
（１） 若对任意 ,有 则 可逆;
(2）若 都是Herｍite正定矩阵,则 的特征值均为正数;
（３） ，这里 是Heｒmitｅ矩阵.由于 与 有相同的特征值,且 ,所以 的特征值均为非负数,从而 ．…………………(4分)
当 时,有 ，从而 .设 这里 也是Herｍite矩阵,则
.
于是 ,由此得到 .…………(2分)
.
(3）若 都是Hermｉｔe半正定矩阵,则 ,并且当等号成立时,必有 .
解答：
（1） 由 可得, ,由于 是相容范数，则 , 的特征值都不为零，因此 可逆.………………………(6分）
(2) ,这里 是可逆的Ｈermitｅ矩阵,从而 .由于 与 有相同的特征值，且 ,所以 的特征值均为正数.
………………(8分)
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
不变因子为 ；…………………（3分）
初等因子为 ;……………………(２分)
Jｏrｄａn标准形为 ．……………………(2分)
(２) 不相似,理由是２阶行列式因子不同；…………………(5分）
相似，理由是各阶行列式因子相同.…………………(5分)
共６页第 ４页
三、（20分）已知线性方程组 不相容.
(2) 证明矩阵幂级数 收敛;
(3) 求矩阵幂级数 的和．
解答:(1) .………(10分)
(２)因为 是相容范数，且 ，则 在收敛半径内,因此级数收敛.……………(5分）
(3) .……………(５分）
共６页第6页
五、（20分)设 是两个 阶矩阵,其中 ,证明:
（１） 若对任意 ,有 则 可逆;
(2）若 都是Herｍite正定矩阵,则 的特征值均为正数;
（３） ，这里 是Heｒmitｅ矩阵.由于 与 有相同的特征值,且 ,所以 的特征值均为非负数,从而 ．…………………(4分)
当 时,有 ，从而 .设 这里 也是Herｍite矩阵,则
.
于是 ,由此得到 .…………(2分)
.
(3）若 都是Hermｉｔe半正定矩阵,则 ,并且当等号成立时,必有 .
解答：
（1） 由 可得, ,由于 是相容范数，则 , 的特征值都不为零，因此 可逆.………………………(6分）
(2) ,这里 是可逆的Ｈermitｅ矩阵,从而 .由于 与 有相同的特征值，且 ,所以 的特征值均为正数.
………………(8分)