江苏省栟茶高级中学2012届高三数学考前热点专题训练(2) 三角、向量与复数2 苏教版

2012届考前热点专题训练（2）（三角、向量与复数2）
班级____ 学号_____姓名_______
一、填空题
1.已知函数y =sin(ωx +ϕ)（ω>0, －π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ=
910
π
．
2. 函数2112cos ()22()1
x x
f x x --=-的对称中心的坐标为__(1,1)-_______． 3. 若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围
为
⎡⎢⎣⎦
. 4.在△ABC 中，已知AB = 3，O 为△ABC 的外心，且OA BC ⋅ = 1，则AC =
_____． 5.若函数()()sin 0f x x ωω=>，在区间0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上递减，则ω的值为
3
2
. 6.下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2
,4(π
πθ∈，
则)(cos )(sin θθf f >；②若锐角α、β满足,sin cos βα> 则2
π
βα<
+; ③在
ABC ∆中，
“B A >”是“B A sin sin >”成立的充要条件;④要得到函数)4
2cos(π
-=x y 的图象,只需将2sin x y =的图象向左平移4
π
个单位.其中真命题的有__2____个.
7.若3123,cos(),sin(),24135
ππβααβαβ<<<-=+=-则sin cos αα+的值为
65 .
8.在ABC
中，60,B AC ∠==则2AB BC +的最大值为
___．
9.在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c
c b
+
的取值范围是___[2，5]_________．
9.解：2
2222cos sin 22cos b c b c a bc A a bc A
A c b bc bc bc bc
++≤+=
==+==sin A +2cos A =5sin()5A φ+≤．
10.在△ABC 中，角A 、 B 、 C 所对的边分别为,,a b c 若2cos a B c =，则212cos sin 2
A
B ++-的取值范围是 (3,22]+ .
11.在等边ABC 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=若,CP AB PA PB ⋅=⋅则实数λ的值是
___22
2
λ-=
______． 11.解：如图：取AB 中点D ，设1,AD BD PD x === 则()2(1)(1)CP AB CD DP AB x x x ⋅=+⋅=+-即，
21x ∴=-，22
2
λ-=
. 12.点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若AO xAB y AC =+，x + 2y = 1，则cos B =
7
9
_________． 13.如图，平面内有三个向量OC OB OA ,,，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为150°，且1OA OB ==，23OC =．若()OC OA OB λμλμ=+∈R ，，则λμ+的值为___-6______．
14.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足
1β=，且α与
βα-的夹角为120°，则α的取值范围是___（0，
2
33
]______． 15.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD =，||AD = 1，则AC AD ⋅ = __3_______．
二、解答题
A
O
B
C
x
y 1 23
5.0-
3-
3-
16.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c
，且(2)cos cos b A C -=． （1）求角A 的大小；
（2）若角6
B π
=
，BC 边上的中线AM
ABC ∆的面积． 16.解：（1
）∵(2)cos cos b A C -=，
∴(2sin )cos cos B C A A C =．
即2sin cos cos cos B A A C C A =．
∴2sin cos )B A A C =+．
则2sin cos B A B
，∴cos A =
，因为0A π<<则6
A π=． （2）由（1）知π6A
B ==，所以A
C BC =，23C π
=，
设AC x =，则1
2
MC x =，又
AM
在AMC ∆中由余弦定理得
2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=
即222()2cos120(7),22
x x
x x +-⋅⋅
=
解得2,x =故212sin 23
ABC S x π
∆==．
17.已知函数2()1sin cos ,
()cos ()12
f x x x
g x x π
=+=+
(1)设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值； （2） 求使得函数()()(
)(0)2
2
x
x
h x f g ωωω=+>在区间2[,]33
ππ
-
上是增函数的ω的最大值．
17.解：(1)1cos(2)
sin 26()1,()22
x x f x g x π
++=+= 022
x k π
π=+
0021cos(
)
2132()6
3
24
x k g x ππ
π
π+∴+
=+
∴=
= 或051cos(
)
33()24g x π
+==
∴013
()44
g x =或
（2）1cos()
sin 316()1sin()22223
x x h x x π
ωωπω++=++=++ 2332ππωπ-+≥- 且332x ωππ+≤ 所以12
ω≤
∴ω的最大值
12
18.设ABC △的内角,,A B C 所对的边长分别为c b a ,,，且c A b B a 2
1
cos cos =
-． （Ⅰ）求
B
A
tan tan 的值； （Ⅱ）求)tan(B A -的最大值，并判断当)tan(B A -取最大值时ABC △的形状．
18.解：（1）由c A b B a 21
cos cos =-可得
B A B A B A A B B A sin cos cos sin )sin(cos sin 2cos sin 2+=+=-
⇒
=⇒A B B A cos sin 3cos sin B
A
tan tan =3
（2）设t B =tan ，则t A 3tan =且0>t
)tan(B A -3
31323123132
2≤
+
=+=+-=
t
t t t
t t t
此时3633ππ=⇒=⇒=
A B t ，故2
π
=C ，△ABC 为直角三角形
19.在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段,OA OB 分别相交于点,M N ，若
sin ,OM OA θ=⋅ cos ON OB θ=⋅ 其中，(0,)2
π
θ∈
（1）求sin2θ的值；
（2）记ABC ∆的面积为1S ，平行四边形OABC 的面积为S ，试求1
S S
之值. 19.解：（1）由题意得OC AB OB OA ==-
所以(1sin )MC OB OA θ=-+⋅，又cos sin MN OB OA θθ=⋅-⋅ 又因为,,M N C 三点共线，得
cos sin 11sin θθ
θ
=
+，则sin cos sin cos θθθθ-=⋅（1） （1）式两边平方，得2212sin cos sin cos θθθθ-⋅=⋅，即2sin 24sin240θθ+-=
解得：sin 22)θ=-或舍去
（2）由题意得，11
||||sin 2
S OM ON AOB =
⋅∠
=11sin 222AOB S S θ∆⋅=
即
1
S S =20.在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥，M 是BC 中点
（1）若||||AB AC =，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值； （2）若O 是线段AM 上任意一点，且||||2AB AC ==
OA OB OC OA +的最小值；
（3）若点P 是BC 边上的一点，且22AP AC AP AB ⋅=⋅=，||2AP =，求||AB AC AP ++的最小值.
20.解：（1）设向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角为θ
(2)(2)
cos |2||2|
AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅
+=
+⋅+，令||||AB AC a ==，224cos 5θ== （2）||||2,||1AB AC AM ==
∴=
设||OA x =则||1OM x =-，而2OB OC OM +=
所以221
1()22||||cos 222()22
OA OB OC OA OM OA OM x x x π⋅+=⋅=⋅=--=-- 当且仅当12x =
时 ()OA
OB OC ⋅+的最小值是12
- （3）设CAP α∠= 所以,2
BAP π
α∠=
-
2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=，||2AP = 1
2||cos 2
||cos AC AC αα
∴=∴=
1
2||cos(
)1||2
2sin AB AB π
αα
-=⇒=
2
2
2
222||22211442cos 4sin AB AC AP AB AC AP AB AC AC AP AB AP αα
∴++=+++⋅+⋅+⋅=++++
222
222
sin cos sin cos 10cos 4sin αααααα
++=++2222sin cos 45454549
1cos 4sin 4
444
αααα=++≥=+= 当且仅当2222sin cos tan cos 4sin 2ααααα=⇒=时，min
7
||2
AB AC AP ++=.。