部编数学七年级下册【单元测试】第九章不等式与不等式组(综合能力拔高卷)(解析版)含答案

人教版七年级数学下册
【单元测试】第九章 不等式与不等式组（综合能力拔高卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：
___________
本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满分100分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·全国·七年级期末）已知（m ﹣4）x |m ﹣3|＋2＞6是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．4或2
D ．不确定【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m-3|=1，m-4≠0，分别进行求解即可．
【详解】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m ≠4，解得m=2．
故选：B ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
2．（2021·四川·七年级期中）不等式32x a -<恰有两个负整数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．79
a <£B ．79a £<C ．9a 7-<£-D ．9a 7-£<-【答案】A 【分析】先解不等式得到32a x ->，再根据恰有2个负整数解得到3322
a --£<-即可．
【详解】解：解不等式32x a -<，得到不等式的解集为：32
a x ->，∵不等式恰有两个负整数解，∴3322
a --£<-，整理得到：97
a -£-<-∴a 的取值范围是：79a <£，
故选：A ．
【点睛】本题考查不等式的整数解问题，解题的关键是利用数轴分析，其次解题时必须理解题意，属于基础题，中考常考题型．
3．（2021·河南·七年级期末）若关于x 的不等式组22432x x x x a ->-ìí<+î
的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．2
a ³B ．2a <-C ．2a >D ．2
a £【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x ＜2可得关于a 的不等式，解之可得．【详解】解：解不等式组22432x x x x a ->-ìí<+î①②
，由①可得：x ＜2，
由②可得：x ＜a ，
因为关于x 的不等式组22432x x x x a ->-ìí<+î①②
的解集是x ＜2，所以，a ≥2，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期中）如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是
（ ）
A ．a-b ＞0
B ．ac ²＞bc²
C ．c-a ＞c-b
D ．a+3＜b-3
【答案】A
【分析】在不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】解：Q a ＞b ，0,a b \-> 故A 符合题意；
Q a ＞b ，
当0c ¹时，22,ac bc > 故B 不符合题意；
Q a ＞b ，
,,a b c a c b \-<--<- 故C 不符合题意；
Q a ＞b ，
+333,a b b \>+>- 故D 不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键.
5．（2021·上海市建平中学西校期末）如图，数轴上点A 、B 、C 分别表示数a 、b 、c ，则下列不等式中错误的是（ ）．
A ．b a c a -<-
B ．a b a c +<+
C ．b c a a <
D ．ac bc
<【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置得到0a b <<，0c >，则a b >，c b >，c a >，由此逐一判断即可．
【详解】解：由数轴可知0a b <<，0c >，∴a b >，c b >，c a >，
A 选项：∵b c <，∴b a c a -<-，故A 不符合题意；
B 选项：∵b c <，∴a b a c +<+，故B 不符合题意；
C 选项：∵b c <，0a <，∴b c a a
>，故C 符合题意；D 选项：∵a b <，0c >，∴ac bc <，故D 不符合题意．
故选C ．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子正负，不等式的性质，熟知数轴和不等式的性质是解题的关键．
6．（2021·全国·七年级单元测试）“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分类垃圾桶10个，放在校园的公共区域，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶350元/个，B 型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方式有（ ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
【答案】C
【分析】设购买A 型分类垃圾桶x 个，则购买B 型垃圾桶（10-x ），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x 个，则购买B 型垃圾桶（10-x ）个，由题意得：()35040010365010x x x ì+-£í£î
，解得710x ££，则x 可取7、8、9、10，即有四种不同的购买方式．
故选：C ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的
整数解是解答本题的关键．
7．（2022·河南·郑州中学七年级期末）把不等式组112325
x x -ì>-ïíï+£î的解集表示在数轴上，下列
符合题意的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的解法求解，再由在数轴上表示解集的方法进行判断即可．【详解】解：112325x x -ì>-ïíï+£î①②
解不等式①得x -1
＞解不等式②1
x £解不等式组得：11x -<£，在数轴上表示如下．
故选：C ．
【点睛】本题考查了解不等式组及解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
8．（2021·重庆长寿·七年级期末）从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个
数记为m ，若数m 使关于x 的不等式组22141x m x m >+ìí--³+î
无解，且使关于x 的一元一次方程（m －2）x ＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m 的个数有（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【分析】不等式组整理后，根据无解确定出m 的范围，进而得到m 的值，将m 的值代入检验，使一元一次方程的解为整数即可．
【详解】解：解：不等式组整理得：221x m x m >+ìí
--î…，由不等式组无解，得到221m m +--…，
解得：1m -…，
即1m =-，0，1，2，3，5；
当m=-1时，一元一次方程（m －2）x ＝3解为x=-1，符合题意；
当m=0时，一元一次方程（m －2）x ＝3解为x=-1.5，不合题意；
当m=1时，一元一次方程（m －2）x ＝3解为x=-3，符合题意；
当m=2时，一元一次方程（m －2）x ＝3无解，不合题意；
当m=3时，一元一次方程（m －2）x ＝3解为x=3，符合题意；
当m=5时，一元一次方程（m －2）x ＝3解为x=1，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键．
9．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）若a ，b 为实数，下面四个命题中，正确的是（ ）
A ．若0a b ->，则220
a b ->B 2>，则220a b ->
C ．若0a b -¹，则220
a b -¹D ．若a ¹220
a b -¹【答案】B
【分析】可根据不等式的性质、算式平方根的定义或取特殊值法判断即可．
【详解】解：A 、若a=1，b=－2，满足a －b ＞0，但a 2＜b 2，故选项A 错误；B 、若
2>，则22a b >，即220a b ->，故选项B 正确；C 、若a=1，b=－1，满足a －b ≠0，但a 2=b 2，即a 2－b 2=0，故选项C 错误；
D 、若a=－1，b=1，满足a ¹a 2=b 2，即a 2－b 2=0，故选项D 错误，
故选：B ．
【点睛】本题考查不等式的性质、算式平方根的定义，会利用特殊值法判断命题的正误是解答的关键．
10．（2021·重庆沙坪坝·七年级期中）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x 道题，根据题意可列不等式（ ）
A ．10x ﹣5（20﹣x ）≥125
B ．10x+5（20﹣x ）≤125
C ．10x+5（20﹣x ）＞125
D ．10x ﹣5（20﹣x ）＞125
【答案】D
【分析】根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
10x-5（20-x ）＞125，
故选：D ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。

11．（2021·上海·期中）若关于x 的不等式(3)3m x m -<-的解集为1x >-，则m 的取值范围为__．
【答案】3
m <
【解析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：不等式(3)3m x m -<-的解集为1x >-，
30m \-<，
3m <．
故答案为：3m <．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，掌握不等式性质，不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向发生改变是解题关键．
12．（2022·浙江·七年级单元测试）解不等式50.53142x x ->--
，则符合这不等式的最小负整数为______．
【答案】-3
【分析】首先根据不等式的解法求解不等式，从而求出最小负整数解．【详解】解：50.53142
x x ->--
，∴1514322x x +>-+，∴311x >-，∴113
x >-，∴不等式的最小负整数解为-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（2021·全国·七年级期中）若方程组31323x y k x y k
-=+ìí+=-î的解满足2x ﹣3y ＞1，则k 的的取
值范围为 ___．【答案】34
k >##0.75k >【分析】将①－②即可得2342x y k -=-，结合题意即可求得k 的范围．
【详解】解：31323x y k x y k -=+ìí+=-î①②
①-②得，2342
x y k -=-Q 2x ﹣3y ＞1
421
k \->解得3
4
k >故答案为：3
4k >
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，利用加减消元法得出方程组的解是解题关键．
14．（2021·全国·七年级单元测试）对于任意实数p ，q ，定义一种运算：@p q p q pq
=-+例如：2@323235=-+´=，请根据上述定义解决问题，若关于x 的不等式组2@4@2x x m
<ìí³î有3个整数解，则m 的取值范围为___．
【答案】85
m -<£-【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m 的不等式组，求出m 的范围即可．
【详解】解：根据题意得22422x x x x m -+<ìí-+³î
，化简得2432x x m
+<ìí-³î，
解得：223x m x <ìï+í³ïî
，∴不等式组的解集是223
m x +£<∵不等式组有3个整数解，∴2213
m +-<£-，解得85m -<£-．
故答案为：85m -<£-．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m 的不等式组是解此题的关键．
15．（2021·上海·七年级期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为x 元，则x 的取值范围是____________
【答案】37.540
x £<【分析】根据“八八折销售至少可获得10%的利润、九折销售可获得不足20%的利润”列不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意，得：
0.88303010%0.9303020%
x x -³´ìí-<´î解得：37.5≤x ＜40，
故答案为：37.5≤x ＜40．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解题意抓住题目中的关键语句，列出不等式组．此题用到的公式是：进价+利润=售价．
16．（2021·北京·七年级期中）把一堆花生分给一群猴子，如果每只猴子分3颗，就剩8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子分到的花生不足5颗．求猴子的只数与花生的颗数分别为________．
【答案】5只和23颗或6只和26颗．
【分析】设猴子的只数为x 只，根据题意列出不等式组，求整数解即可．
【详解】解：设猴子的只数为x 只，根据题意列出不等式组得，
0385(1)5x x <+--<，解得，1342
x <<，因为x 为整数是，
所以，5x =或6x =，
花生的颗数为颗35823´+=或36826´+=颗
故答案为：5只和23颗或6只和26颗．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是准确把握题目中的不等量关系，列出不等式组．
17．（2021·河南浉河·七年级期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x <>，即：当n 为非负整数时，如果1
122
n x n -<+…，则x n <>=．如：0.480<>=， 3.54<>=．如果43
x x <>=，则x =___________．【答案】0或34或32
【分析】根据x <>的定义可得一个关于x 的一元一次不等式组，解不等式组、结合43
x 为非负整数即可得．【详解】解：由题意得：4
1413232x x x -<+≤，即41324132x x x x ì-£ïïíï<+ïî
①②，解不等式①得：32
x ≤，
解不等式②得：32
x >-，则不等式组的解集为3322
x -<≤，
x Q 为非负实数，302
x \££，4023
x \££，43
x Q 为非负整数，403x \=或413x =或423
x =，解得0x =或34x =或32
x =，故答案为：0或34或32
．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解x <>的定义是解题关键．
18．（2021·重庆巴南·七年级期末）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了A,B,C 三类礼品盒进行包装．A 类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B 类礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C 类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．已知A,B,C 三类礼品盒的数量都为正整数，并且A 类礼品盒少于44盒，B 类礼品盒少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m ，则m=_______________
【答案】640
【分析】设A 类包装有x 盒，B 类包装有y 盒，C 类包装有z 盒，根据题意列出x 、y 、z 的三元一次方程组，再由x 、y 的取值范围列出不等式组求得m 的整数值范围， 进而代入验算，可得m 的值.
【详解】解：设A 类包装有x 个，B 类包装有y 个，C 类包装有z 个，
根据题意得436515454525664x y z x y z x y z m ++=ìï++=íï++=î
①②③ .
由①-②，得5y z -= ④，
由①×3-③×2，得 31051532y z m -+=´- ⑤，则159527m y -=，则10540+1847
m x -=´，由44,49x y <<得10540+18444715952497m m -ì<ïï´í-ï<ïî
，解得626654m <<.根据题意可知，x ，y ，z ，m 都是正整数,且根据③可知m 为偶数,
经代入验算可知，只有当640,35,45,m x y ===时，满足题意.
故答案为：640．
【点睛】本题主要考查了列三元一次方程组解应用题，列一元一次不等式组解应用题，难度较大.
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。

19．（2022·浙江·七年级期中）求下列不等式（不等式组）的解：
（1）112123x x ++£+ （2）122,33(1)2(12).
x x x -ì>-ïíï->-î【答案】（1）5x ³-；（2）-1＜x ＜7
2
【分析】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）求出两个不等式的解集，找出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）112123
x x ++£+，去分母得：()()312126x x +£++，
去括号得：33246x x +£++，
移项合并得：5x ³-；
（2）12233(1)2(12)x x x -ì>-ïíï->-î①②
，
解不等式①得：x ＜72
，解不等式②得：x ＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x ＜72
．【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，主要考查学生的计算能力．
20．（2021·全国·七年级单元测试）已知关于x 、y 的二元一次方程组256217
x y m x y +=+ìí-=-î的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值．
（1）求该二元一次方程组的解（用含m 的代数式表示）
（2）求m 的取值范围．
【答案】（1）218
x m y m =-ìí=+î；（2）192m <<．【分析】
（1）运用加减消元法，即可求得x 和y ；
（2）根据x 、y 都是整数，列出不等式组，即可求出m 的取值范围．
【详解】解：（1）：256217x y m x y +=+ìí-=-î
①②，由②得：217x y =-，
将217x y =-代入①中，
∴()221756y y m -+=+，
43456y y m -+=+，
5540y m =+，
8y m =+，
将8y m =+代入217x y =-中，
∴()28172161721x m m m =+-=+-=-，
∴二元一次方程组的解为：218
x m y m =-ìí=+î．（2）∵二元一次方程组的解x 、y 是正数，且x 的值小于y 的值，
∴21080218x m y m m m =->ìï=+>íï-<+î
，∴解得：192
m <<，∴m 的取值范围是：
192m <<．【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的综合，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法．
21．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若一个正整数m 既能表示成22a b +（a ，b 是正整数，且a b >）．又能表示成22x y -（x ，y 是正整数，且x y >）的形式，则称这个数为“优秀数”．
例如：22512=+，22532=-，所以5是“优秀数”．
(1)判断17是否是“优秀数”，并说明理由；
(2)对于一个三位“优秀数”n ，22n a b =+，22n x y =-，且满足y 是a 的2倍、x 与b 的差为40，求满足条件的n 的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)425或832
【分析】
（1）根据定义可得22221714,1798=+=-，进而判断即可；
（2）根据已知条件列出式子，可得216320a b =+，进而根据为三位数，求得的范围，根据求一个数的算术平方根以及为正整数的条件确定的值，进而求得的值即可求解．
【详解】(1)解：是优秀数
∵∴是优秀数
(2)
，，
.
y 是a 的2倍、x 与b 的差为40，则解得即是三位数，n b ,a b b a 172222
1714,1798=+=-17Q 22n a b =+22n x y =-()()()2
2,n a b ab n x y x y \=+-=+-Q \2,40
y a x b =-=402x b y a
=+ìí=î()()
22402402a b b a b a \+=+++-22228041600
a b b b a +=+-+258016000
a b --=216320
a b =+()2
222163208256a b b b b \+=++=++n Q ()282561000
b \++<
，为正整数，
即是正整数，是正整数
或则或或满足条件的n 的值为或【点睛】本题考查了平方差公式，求一个数的算术平方根，一元一次不等式的应用，根据算术平方根确定的值是解题的关键．
22．（2021·江苏丹阳·七年级期末）定义：如果一个两位数a 的十位数字为m ，个位数字为n ，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，解答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________；
②计算：________；________；（m 、n 分别为一个两位数的十位数字与个位数字）
()2
8744b \+<2228784,27729==Q b 828
b \+<20
b <Q 216320
a b =
+a \=a
\20
b <Q 5b \=16
20a =24
2222205425n a b \=+=+=222416576256832
+=+=\425832
b m n ¹0m ¹0n ¹()W a 14a =411455+=55115¸=(14)5W =(36)W =(10)W m n +=
（2）如果一个“互异数”b 的十位数字是x ，个位数字是y ，且；另一个“互异数”c 的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b 和c ；
（3）如果一个“互异数”d 的十位数字是x ，个位数字是，另一个“互异数”e 的十位数字是，个位数字是3，且满足，请直接写出满足条件的所有x 的值________；
（4）如果一个“互异数”f 的十位数字是，个位数字是x ，且满足的互异数有且仅有3个，则t 的取值范围________．
【答案】（1）①21；②9，m+n ；（2）b=25，c=49；（3）3或4；（4）10＜t ≤12
【分析】
（1）①由“互异数”的定义可得；
②根据定义计算可得；
（2）由W （b ）=7，W （c ）=13，列出二元一次方程组，即可求x 和y ；
（3）根据题意W （d ）+W （e ）＜25可列出不等式，即可求x 的值；
（4）根据“互异数”f 的十位数字是x+4，个位数字是x ，分类讨论f ，根据满足W （f ）＜t 的互异数有且仅有3个，求出t 的取值范围．
【详解】解：（1）①∵如果一个两位数a 的十位数字为m ，个位数字为n ，且m ≠n 、m ≠0、n ≠0，那么这个两位数叫做“互异数”，
∴“互异数”为21，
故答案为：21；
②W （36）=（36+63）÷11=9，W （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；
故答案为：9，m+n ；
（2）∵W （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ，且W （b ）=7，
∴x+y=7①，
∵W （c ）=13，
∴x+2+2y-1=13②，
()7W b =2x +21y -()13W c =3x +2x -()()25W d W e +<4x +()W f t <
联立①②解得，故b=10×2+5=25，
c=10×（2+2）+2×5-1=49；
（3）∵W （d ）+W （e ）＜25，
∴x+x+3+（x-2+3）＜25，
解得x ＜7，
∵x-2＞0，x+3＜9，
∴2＜x ＜6，
∴2＜x ＜6，且x 为正整数，
∴x=3，4，5，
当x=5时e 为33不是互异数，舍去，
故答案为：3或4；
（4）当x=0时，x+4=4，此时f 为40不是互异数；
当x=1时，x+4=5，此时f 为51是互异数，W （f ）=x+4+x=2x+4=6；
当x=2时，x+4=6，此时f 为62是互异数，W （f ）=x+4+x=2x+4=8；
当x=3时，x+4=7，此时f 为73是互异数，W （f ）=x+4+x=2x+4=10；
当x=4时，x+4=8，此时f 为84是互异数，W （f ）=x+4+x=2x+4=12；
∵满足W （f ）＜t 的互异数有且仅有3个，
∴10＜t ≤12，
故答案为：10＜t ≤12．
【点睛】本题以新定义为背景考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程和不等式．
23．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校七年级期中）某学校实践课准备用图甲所示的A 25x y =ìí=î
型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A 型板材50张，B 型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．①请完成下列表格：x 只竖式箱子y 只横式箱子
A 型板材张数(张)x
B 型板材张数(张) 3y
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n 张规格为3×3m 的C 型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A 型板材和2张B 型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A 型板材，另一部分全部切割成B 型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n 的最小值是 ，此时能制作横式箱子 只．
【答案】(1)①4x ，2y ；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只
(2)35，5
【分析】
(1)
根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得；(2) 设C 型板有x 张全部切成A 板，则有(n-x-1)张全部切成B 板，根据一张3×3m 的C 型板可以切成3×3=9张A 型板或3张B 型板，得(3+9x)张A 板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张
B 板，得 ，可得，联立成方程组，再对x ，n 进917233813x n x -=--1111126n x =+111112627n x n x ì=+ïíï=+î
行讨论，即可求得．
【详解】(1)解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A 板，4张B 板，做一个横式箱子，需2张A 板，3张B 板，
故答案为：4x ，2y ；
②根据题意，得
，解得，答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只；
(2)
解：设C 型板有x 张全部切成A 板，则有(n-x-1)张全部切成B 板，
且一张3×3m 的C 型板可以切成3×3=9张A 型板或3张B 型板，
得(3+9x)张A 板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B 板，
因为竖式箱子制作20只用掉20张A 板，80张B 板，
则剩余A 板(9x-17)张，B 板(3n-3x-81)张，根据题意，得，整理，得，∵9x-17≥0，
∴，∵3n-3x-81≥0，
∴n ≥x+27，
25043100x y x y +=ìí+=î
1020x y =ìí=î
917233813x n x -=--1111126
n x =+179
x ³
，解得，∵，且x 为整数，∴x 取最小值为2时，(不符合题意，舍去)，当x=3时，n=35，
∴x 取最小值为3时，n=35最小．
此时，剩余A 板10张，可以做5只横式板．
∴n 的最小值是35，此时能制作横式箱子5只．
故答案为：35，5．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
24．（2022·河南洛阳·七年级期末）某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分
A 、
B 两类：A 类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B 类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A 类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？
【答案】（1）应该购买B 类年票，理由见解析；（2）应该购买B 类年票，理由见解析；（3）111112627
n x n x ì=+ïíï=+î1792609x n ì=ïïíï=ïî
179
x ³111116n =+
小明一年中进入拓展中心不低于30次
【分析】
（1）因为80元小于120元，故无法购买A 类年票，继而分别讨论直接购票与购买B 类年票，这两种方式何者次数更多即可．
（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A 类年票、购买B 类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．
（3）小明选择购买A 类年票，说明A 类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B 类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．
【详解】解：（1）由于预算限制，小丽不可能买A 类年票；若直接购票，可以进中心次；若购买B 类年票，可进中心次，所以应该购买 B 类年票．
（2）若直接购买门票，需花费元；若购买A 类年票，需花费120元；若购买B 类年票，需花费元；所以应该购买B 类年票．
（3）设小明每年进拓展中心约x 次，根据题意列出不等式组： ，解得，故．所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．
【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．
25．（2021·天津河西·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
8010=8¸(8060)210-¸=2010=200´60+202=100´10120602120x x ³ìí+³î
1230
x x ³ìí³î30x ³////AB CD x ////BC DE y 4cm,5cm,2cm AB CD OA DE ====P A 1cm ABC C Q O 2cm OED D ,P Q
（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）
或．【分析】
（Ⅰ）先求出的长，再根据的长即可得；
（Ⅱ）先分别求出点运动到点所需时间、点运动到点所需时间，从而可得，再分和两种情况，分别利用三角形的面积公式、梯形的面积公式即可得；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，分和两种情况，分别建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（Ⅰ）轴，，
，
轴，，
；
（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，
,,B C D t t OPQ OPQ t ()()()4,5,4,2,8,2B C D 04t <<OPQ 25cm t 45t ££OPQ ()2528cm t -1605t <<952
t <£OE ,,OA AB DE P C Q D 05t <£04t <<45t ££04t <<45t ££////AB CD x Q 4cm AB CD ==8cm OE AB CD \=+=////BC DE y Q 5cm,2cm OA DE ==()()()4,5,4,2,8,2B C D \P 437(cm)AB BC +=+=Q 8210(cm)OE DE +=+=1052
=t 05t <£
点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为
，因此，分以下两种情况：
①如图，当时，，则三角形
的面积为；②当时，
如图，过点作，交延长线于点，
，
，
则三角形的面积为，
，，
P B Q E 842
=04t <<5cm,
2cm OA OQ t ==OPQ 211255(cm )22
OQ OA t t ×=´´=45t ££P PM DE ^ED M ()()4cm,28cm,4cm PM EQ t PB t \==-=-()()9cm,173cm EM OA PB t MQ EM EQ t \=-=-=-=-OPQ OPME PMQ OEQ S S S --梯形三角形三角形4811(9)4(173)8(28)222t t t +=
×--´--´-2528(cm )t =-
综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；
（Ⅲ）①当时，
则，
解得，则此时的取值范围为；②当时，
则，
解得，则此时的取值范围为，综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（Ⅱ），正确分两种情况讨论是解题关键．04t <<OPQ 25cm t 45t ££OPQ ()2528cm t -04t <<516t <165
t <t 1605t <<
45t ££52816t -<9
2
t >t 952
t <£OPQ 1605t <<
952t <£。